蝴蝶定理初等證明的開(kāi)放性教學(xué)

【摘 要】蝴蝶定理是數(shù)學(xué)史上一道經(jīng)典的幾何題，幾百年來(lái)對(duì)它的研究一直不斷更新和發(fā)展。本文結(jié)合蝴蝶定理在我國(guó)的研究歷史，研究蝴蝶定理初等證明的開(kāi)放性，為將蝴蝶定理帶進(jìn)課堂提出教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】蝴蝶定理；開(kāi)放性教學(xué)

1蝴蝶定理簡(jiǎn)介

1.1 蝴蝶定理的一般形式簡(jiǎn)述

如圖一所示，EF是⊙O的弦，P是EF的中點(diǎn)，AB、CD是兩條過(guò)點(diǎn)P的弦，連接AD、BC，分別交弦EF于點(diǎn)M、N，則P是M、N的中點(diǎn)。

1.2 我國(guó)蝴蝶定理的研究歷史

蝴蝶定理是近代初等幾何中的名題之一，同時(shí)也是歐氏平面幾何的一個(gè)有趣的論斷。早在1815年，它作為一個(gè)征求證明的問(wèn)題，刊載于西歐的一本雜志《Gentlemans Diary（男士日記）》上，引起了數(shù)學(xué)愛(ài)好者們的關(guān)注[1]。但是“蝴蝶定理”這個(gè)叫法最早出現(xiàn)在1944年出版的《American Mathematical Monthly（美國(guó)數(shù)學(xué)月刊）》上，因其幾何形狀與蝴蝶相似而命名[2]。200年來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)愛(ài)好者們不斷給出新的、簡(jiǎn)潔的證明方法，給這個(gè)“老問(wèn)題”注入了“新活力”。

我國(guó)對(duì)蝴蝶定理的研究，開(kāi)始于20世紀(jì)80年代。1985年，杜錫錄教授①在《平面幾何中的名題及其妙解》一文中，將蝴蝶定理普及給大眾[3]。同年，楊路教授②在《談?wù)労ɡ怼芬晃闹兄赋觯瑢⑾褽F的中點(diǎn)P推廣到弦EF的任意一點(diǎn)，可得蝴蝶定理的坎迪（A.L.Candy）蝴蝶形式[4]：

………………………（1）

其中，EP=a，F(xiàn)P=b，MP=x，NP=y。

不久之后，馬明學(xué)者③在《蝴蝶定理的變異》一文中，將弦EF上的點(diǎn)P，拓展到弦EF外，開(kāi)拓了蝴蝶定理研究的新方向[5]。這一時(shí)期主要討論圓（橢圓）中蝴蝶定理的各種變形，直至1990年，中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔題中出現(xiàn)了箏形蝴蝶定理：

如圖二所示，箏形ABCD中，AB=AD、BC=CD，過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O作直線EF、MN，連接EN、MF，分別交BD于點(diǎn)P、Q，則PO=Q。

1990年，箏形蝴蝶定理出現(xiàn)在全國(guó)高中數(shù)學(xué)冬令營(yíng)選拔賽題目中。此后，我國(guó)對(duì)蝴蝶定理的研究進(jìn)入了一個(gè)新的高潮，不斷拓展對(duì)定理的變形和推廣。

1992年，張景中院士④在《蝴蝶定理的新故事》一文中，反復(fù)運(yùn)用線段比與面積比的互相轉(zhuǎn)化，證明了蝴蝶定理，并進(jìn)行推廣[6]。同年，李長(zhǎng)明教授對(duì)箏形蝴蝶定理進(jìn)行了證明與推廣[7]。1993年，陳舉、鄧御寇、劉海蔚從射影幾何的角度證明蝴蝶定理，并編寫(xiě)進(jìn)《高等幾何》教材中[8]。1998年，趙臨龍從射影幾何的角度，分析蝴蝶定理的推廣命題，并給出二次曲線的蝴蝶定理結(jié)論[9]，此結(jié)論已被《中國(guó)數(shù)學(xué)文摘》及《美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論》摘錄，成果斐然。2001年，王紹恒、王昌成在《用射影幾何觀點(diǎn)導(dǎo)出的歐式幾何命題》一文中，同樣從射影幾何的角度給出了蝴蝶定理的證明[10]。

2001年，全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，出現(xiàn)了蝴蝶定理變形題。2003年，橢圓內(nèi)的蝴蝶定理變形題出現(xiàn)在北京市數(shù)學(xué)高考試題中，引起了國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)愛(ài)好者的關(guān)注。對(duì)蝴蝶定理的研究推廣至今也沒(méi)有結(jié)束，這道經(jīng)典幾何題的開(kāi)放性使它很適合進(jìn)入到高中課堂。

2 蝴蝶飛進(jìn)課堂—蝴蝶定理在高中課堂中的應(yīng)用

2.1 蝴蝶定理的開(kāi)放性

隨著蝴蝶定理研究的深入，蝴蝶定理的證明不僅有許多高觀點(diǎn)下的證法，更有許多適合高中生的、初等數(shù)學(xué)的證法。這些證法的條件和結(jié)論都可以使開(kāi)放的，能夠拓展到其他情形。蝴蝶定理的初等證明可以從多方位、多角度、多層次讓學(xué)生探索，具有一定的挑戰(zhàn)性、層次性和開(kāi)放性，并且具有相當(dāng)大的可以發(fā)展的空間，并有效的拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間。

我國(guó)新課程標(biāo)準(zhǔn)也倡導(dǎo)就同一問(wèn)題提出不同層次的開(kāi)放性問(wèn)題，使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和探索創(chuàng)新能力。在教學(xué)過(guò)程中穿插一些開(kāi)放性題，打破了每道題都有其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)答案的傳統(tǒng)觀念，打破思維定勢(shì)，使學(xué)生的思維更加靈活多變。

隨著多媒體技術(shù)在課堂上的應(yīng)用和發(fā)展，蝴蝶定理的圖像演示可以利用動(dòng)畫(huà)等多媒體手段予以展示。這不僅契合了蝴蝶定理的變化性，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想， 而且形象直觀生動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。利用多媒體技術(shù)，學(xué)生可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)作圖，動(dòng)態(tài)計(jì)算證明，發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，探索新問(wèn)題。

2.2 蝴蝶定理的教學(xué)建議

蝴蝶定理的推廣證明可以作為一個(gè)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)進(jìn)行。

在問(wèn)題的呈現(xiàn)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)充分利用多媒體資源的優(yōu)勢(shì)，動(dòng)態(tài)的設(shè)置和展示蝴蝶定理的開(kāi)放性條件和結(jié)論，引起學(xué)生探究興趣，激發(fā)內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使學(xué)生主動(dòng)的參與到問(wèn)題解決的過(guò)程中來(lái)。

在蝴蝶定理的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的情景，通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形的變換，構(gòu)造不同條件、不同位置下的蝴蝶定理（如圖三），促使學(xué)生突破思維定勢(shì)，靈活的思考。進(jìn)而給出條件：EF是⊙O的弦，P是EF的中點(diǎn)，AB、CD是兩條過(guò)點(diǎn)P的弦，連接AD、BC，分別交弦EF于點(diǎn)M、N。然后讓學(xué)生關(guān)于圖中的線段、面積的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行討論和猜測(cè)。鑒于動(dòng)態(tài)展示的優(yōu)勢(shì)，學(xué)生容易得出一些合情推理，但是推理還需嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，學(xué)生便會(huì)主動(dòng)的參與到論證結(jié)論的環(huán)節(jié)中去。

在蝴蝶定理的探究結(jié)論環(huán)節(jié)，學(xué)生要利用之前觀察動(dòng)態(tài)圖形變換得出的合情推理，進(jìn)行猜測(cè)性判斷，并利用測(cè)量工具對(duì)未知量進(jìn)行測(cè)量，得出初步結(jié)論，如：△DPA∽△BPC、MP=PN、EM=NF等。對(duì)于為證明的結(jié)論，必定會(huì)有質(zhì)疑的聲音。因此，教師與學(xué)生共同動(dòng)手操作，改變弦和點(diǎn)的位置，觀察并度量面積、線段長(zhǎng)度的變化，得出新結(jié)論：△DPA∽△BPC，MP=PN。

學(xué)生通過(guò)多媒體改變參數(shù)，得出了初步結(jié)論，但是由于多媒體技術(shù)的局限性，還不能直接給出證明。教師與學(xué)生共同討論，靈活思考，從不同的角度找到證明結(jié)論的方法。

探究結(jié)束后，教師可根據(jù)探究活動(dòng)的效果，對(duì)學(xué)生再次啟發(fā)引導(dǎo)，給出一個(gè)新的條件，如：蝴蝶定理只能在圓中成立么？還能在什么圖形中成立呢？通過(guò)不斷的實(shí)驗(yàn)和探索，利用已學(xué)過(guò)的點(diǎn)、線、圓錐曲線等構(gòu)造新的幾何圖形，來(lái)將蝴蝶定理不斷延伸拓展，共同討論，得出一系列變形，使蝴蝶定理在更多圖形中翩翩飛舞。這樣連續(xù)的設(shè)問(wèn)保證了教學(xué)活動(dòng)的連續(xù)性和有效性，為學(xué)生營(yíng)造了動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、合作交流、共同完成的學(xué)習(xí)氛圍。

注釋：

①杜錫錄[1941-1994]，山東濟(jì)南人，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及委員會(huì)副主任，山東大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授。

②楊路[1936-]，廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與人工智能?chē)?guó)際交流中心主任，研究員，博士生導(dǎo)師，第十屆全國(guó)人大代表。

③馬明[1927-2013]，江蘇省南京人，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)特級(jí)教師，數(shù)學(xué)教育學(xué)者。

④張景中[1936-]河南省汝南縣人，中國(guó)科學(xué)院院士，計(jì)算機(jī)科學(xué)家，華中師范大學(xué)國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心學(xué)術(shù)委員會(huì)主任。

參考文獻(xiàn)：

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[4]楊路.談?wù)労ɡ韀J].數(shù)學(xué)教師，1985（2）：19-21.

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[6]井中.蝴蝶定理的新故事[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1992（1）：1-4.

[7]李長(zhǎng)明.箏形性質(zhì)的推廣與蝴蝶定理的關(guān)聯(lián)[J].數(shù)學(xué)通報(bào).1993（2）.

[8]劉海蔚，陳舉，鄧御寇.高等幾何[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社，1993.

[9]趙臨龍.射影觀點(diǎn)下的蝴蝶定理[J].湖南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1998（2）.

[10]王紹恒，王昌成.用射影幾何觀點(diǎn)導(dǎo)出的歐式幾何命題[J].南京師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001（1）.

作者簡(jiǎn)介：

王夢(mèng)瑗（1991.10～），女，漢族，山東淄博人，寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教育碩士專業(yè)學(xué)位（學(xué)科教學(xué)·數(shù)學(xué)）在讀研究生。