對萬有引力和重力關系的再認識

【摘 要】本文從學生對萬有引力問題認識中存在的問題入手，分析了萬有引力和重力的關系并對其理論進行了闡述，最后提出了教學建議。

【關鍵詞】萬有引力 重力 教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）17-0080-02

一 關于萬有引力和重力關系的一道題目

在萬有引力單元測試時，筆者發現有一道題目學生的正確率很低，還不到28%。題目如下：

某星球的質量為M，密度為ρ，半徑為R，自轉角

速度為ω，赤道上的重力加速度為g，g值和 的關

系是（ ）。

A.無論ω多大，恒有 ；

B.只有當 Gρπ=ω2時，才有 ；

C.只有當 Gρπ>>ω2時，才有 ；

D.只要 Gρπ>ω2時，就一定有 。

錯解：大部分同學選擇的是A，因為學生是根據“黃

金替換”公式GM=gR2，可得： 。故選A。

錯選的原因是學生沒有搞清楚公式GM=gR2的來源，不知道該公式在什么條件下適用。究其根源還是對萬有引力和重力的關系理解不透而造成的。

二 萬有引力和重力關系的理論分析

按照人教版《物理》必修1教材對重力的定義是“由于地球的吸引而使物體受到的力叫重力。”由此可知，重力產生的原因是物體在地球表面及地表附近受到了萬有引力的作用。那么對于重力和萬有引力之間的關系到底如何，在高中物理必修教材中并沒有給出明確的解釋。目前各類期刊中對重力和引力的關系的解釋也比較多，主要有兩種觀點：

1.以地面為參考系

嚴格地說地面是非慣性參考系，因此在此種參考系中要引入慣性力的作用。如在漆安慎、杜蟬英的《普通物理學教程力學》一書中，對重力的定義是：當質點以線懸掛并相對地球靜止時，質點所受重力的方向沿懸線且鉛直向下，其大小在數值上等于質點對懸線的拉力。如果考慮到地球的自轉，重力和引力有微小的差別。如圖1所示，將質量為m的質點懸掛于細線的末端且相對于地球靜止，取地球為參考系，必須考慮離心慣性力。它受三個力的作用，即線的拉力T，地球引力F以及離心慣性力f=mω2r，ω為地球自轉的角速度，r為質點到地球自轉軸的距離。此三力平衡，三個力的合力為零。由重力的定義知mg=T，方向與拉力T的方向相反?？梢?，質點受到的重力mg為地球引力F與離心慣性力f的合力。

2.以地心為參考系

在普通高中物理教師教學用書（第一冊）中則給出了另一種觀點。如圖2所示，地球上的物體圍繞地軸做圓周運動，應該受到引力和地面支持力的作用，其合力提供向心力。引力的一個分力提供向心力，另一個分力和支持力是一對平衡力，即我們所說的重力。

圖1 圖2

當前高中教師大多是按照第二種觀點講解的。而對以上兩種觀點有學者提出合力和分力之間是一種“等效替代”的數學運算關系，二者不可能同時都是物體所真實受到的作用力。如果認為重力是萬有引力的一個分力，則重力便不是物體真實所受的作用力，這顯然與重力作為性質力的事實不符。可以看出，對此我國著名物理學家朱正元教授指出“只有把參考系固定在地面上，地面上的觀察者才能看到重力，但不會看到萬有引力。當把參考系固定在地心上時，站在地心參考系上的觀察者才能看到萬有引力，但不會看到重力?！彼圆还苁前凑漳姆N觀點來看，學生都會感到困惑，地球對物體施加的到底是引力還是重力，在受力分析時到底該分析那個呢？

三 萬有引力和重力關系的教學建議

我們在受力分析時考慮物體受到的是萬有引力還是重力，受朱正元教授話語的啟示，筆者認為是要分析引力還是和重力，需要明確我們所研究的問題選擇的參考系是什么。如果是研究地面上物體的運動時，一般忽略地球的自轉可以認為地面是慣性參考系。那么我們就分析物體受到的是重力，所以在做大部分習題時，受力分析就是重力、彈力、摩擦力等，而不需要用到引力。如果問題是以地心為參考系，比如有些問題需要考慮地球的自轉影響時或人造衛星的有關問題時，那么我們應該分析的是引力而不是重力。

至于分析引力和重力的關系時，可以認為引力和重力是合力和分力的關系。我們做如下討論，我們可以結合兩個參考系的角度來分析：

首先以地心為參考系，則物體隨地球一道自轉而做勻速圓周運動。由于地球的自轉，地球不是一個規則的球體，如圖3所示，地球的極地半徑R極=6357km，赤道半徑R赤=6378km。受力分析可知，物體只受引力F和地面的支持力N，合力提供向心力。

圖3

根據牛頓第二定律：F+N=mω2r，在兩極地區：

；在赤道上： 。計算1kg

的物體在兩極地區和赤道上所受的引力和彈力可得：F極=N極=9.87N，F赤=9.805N，N赤=9.77N。

而站在地面上的觀察者，是以地面為參考系，會覺得物體是靜止的，并沒有感受到物體在做勻速圓周運動。所以，通常要分析物體受到的重力和支持力作用，且重力與彈力是一對平衡力。（可以設想在地面和物體之間放一測力計，此時可以得出測力計的示數及物體的重力）故可得：

mg極=9.87N，mg赤=9.77N（g極=9.87m/s2，g赤=9.77m/s2）

重力的方向和支持力方向相反，由于地球是一個稍扁的球體，故一般地區（非赤道和兩極）地區的重力不說指向地心，而說成豎直向下，就是和當地的水平面垂直向下，也就是說是和當地所在點地球的球面切線方向垂直向下。

進一步分析可知，在地球赤道上，引力和重力相差最大，所以一般情況下不考慮地球的自轉的影響，可以認為

地球是慣性系可近似認為： ，即GM=gR2。

所以，黃金替換成立的前提是星球的自轉影響可以忽略。故本文前面的題目應選C。

綜上所述，引入重力的概念是我們為了在地面參考系中研究問題的方便而引入的，實際上物體只受到地球的引力作用。所以說重力并不是物體真實受到的作用力，因為地球對物體的作用只有引力作用。因此，筆者認為重力是引力的分力也是可以的。至于重力作為性質力只不過是在地面參考系中的近似替代引力作用而人為引入的，并不存在前文所述的邏輯問題。所以，搞清楚物理概念的來龍去脈是非常有必要的，不能簡單地望文生義，認為重力是性質力就一定是真實存在的。

另外從分析可知，只有在地面附近的物體隨地球自轉，才導致引力和重力的差異，一旦物體成為地球的環繞衛星，則不需要隨地球自轉。這只要分析受到的引力作用，此時說重力就沒有什么意義。關于第一宇宙速度（即近地衛星的環繞速度）的推導，有的參考資料中運用重力提供向心力的方法來導出的。

該方法從概念上看是有問題的，因為衛星不需要隨地球自轉，它是以地心為參考系的，受到的是引力而不是重力。還是應該引用教材中的方法比較妥當。即

。

不過在數值上利用黃金替換可以得出 。

總之，萬有引力與重力之間理解為合力與分力的關系，并無不妥之處，至于什么情況下考慮重力，什么情況下考慮引力，則需要我們分清是在哪個參考系中來處理問題，在地心參考系中需要考慮的是引力，在地面參考系中一般只需考慮重力。

參考文獻

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[2]漆安慎、杜嬋英.力學[M].北京：高等教育出版社，1999

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[4]趙堅、李力.關于重力和萬有引力關系的再探討[J].物理教學，2011（1）