對均值不等式教學的點滴體會

石剛

【關鍵詞】 數學教學;均值不等式;體會

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2015）04—0123—01

均值不等式的應用非常廣泛，也是求函數最值的一種常用方法.利用均值不等式求最值必須具備三個條件：一正，二定、三等號.“一正”就是各項必須為正數.“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的兩項之積轉化成定值;要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值“三等號”是利用均值不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件.若不能取等號，則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易出現錯誤的地方.但在教學過程中，筆者發現相當一部分學生在應用上還存在不少問題，學生在取“等號”上最容易出現錯誤.下面，筆者就學生利用均值不等式解題取“等號”時出現的問題，談談自己的一些教學體會.

1.均值不等式取“等號”和三角函數有聯系時，一定要引起足夠重視。因為三角函數中正、余弦函數都是有界函數，所以等號能否取到一定要加以驗證.我們看下面這道題：

1. 求函數y=■+■（0

解：∵0

∴sinx>0.

∴y=■+■

≥2■=2

∴ymin=2.

點評：很顯然，上面的解答過程是錯誤的.原因在于當sinx=2時上式中的等號才能成立，這顯然不可能.而學生做題時往往會忽略等號成立的條件，從而導致出現錯誤.因此，在教學中，必須反復強調驗證“等號”是否能取到的重要性.

2.均值不等式取“等號”的次數在兩次或兩次以上時是最容易出錯的，此時我們一定要驗證每一次“等號”成立的條件是否一致.只有每一次“等號”成立的條件一致了，最后的“等號”才可以取到.我們看下面這兩道題.

2.已知x>0，y>0，且x+2y=1，求■+■的最小值.

解：∵x+2y=1

∴■+■

=（x+2y）■+■

≥2■·2■=4■

∴■+■的最小值為4■.

3.已知實數a、b、c、d滿足a+b=7，c+d=5，求（a+c）2+（b+d）2的最小值.

解：∵（a+c）2+（b+d）2

=a2+c2+2ac+b2+d2+2bd

=（a2+c2）+（b2+c2）+2ac+2bd

≥2ad+2bc+2ac+2bd

=2a（c+d）+2b（c+d）

=2（a+b）（c+d）=70.

當且僅當a=d且b=c時取等號，

∴所求最小值為70.

點評：第一題出現錯誤的原因在于x+2y≥2■中“x=2y”時等號成立，而■+■≥2■中“x=y”時等號成立，因為兩次取到等號的條件不一樣，導致最后的等號不能取到.第二題解答錯誤在于當且僅當a=b且b=c時等號成立，因此得到a+b=b+c時，即“7=5”時等號成立，這顯然錯誤.這種題型能否取到最值的關鍵就在于“等號”能否取到.以上兩題都犯了這樣的錯誤.為此，我們要求學生在使用均值不等式時，考慮每次“等號”成立的條件，并且盡量減少取“等號”的次數.教學中，一定要反復訓練，培養學生正確的解題習慣.

利用均值不等式求最值是高考命題的熱點，教學時要求在應用均值不等式時，注重技巧，強調“一正、二定、三等號”三者缺一不可，尤其是對本文提到的問題更要引起學生足夠的重視.編輯：謝穎麗