閱讀思考提高
——讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》關(guān)聯(lián)文章后的思考

閱讀思考提高
——讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》關(guān)聯(lián)文章后的思考

☉江蘇省南京市第29中學(xué)教育集團(tuán)致遠(yuǎn)校區(qū)朱玉祥

讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》時(shí)，常常讀到有關(guān)聯(lián)性的文章，特別容易引起筆者的興趣.有些關(guān)聯(lián)文章是學(xué)習(xí)前文后的實(shí)踐體會(huì)，有的關(guān)聯(lián)文章是閱讀前文后的進(jìn)一步思考，也有的關(guān)聯(lián)文章是對(duì)前文的爭(zhēng)辯或商榷.無論哪一種關(guān)聯(lián)，筆者總喜歡把相關(guān)聯(lián)的兩篇或多篇文章放在一起閱讀.通過閱讀，融進(jìn)自己的思考，總能從中獲得可喜的提高.網(wǎng)上常有老師說，《中學(xué)數(shù)學(xué)》具有可讀性.筆者覺得，常態(tài)性的關(guān)聯(lián)文章的發(fā)表肯定可以算在可讀性范圍之內(nèi).《中學(xué)數(shù)學(xué)》這么做，其實(shí)就是在給作者機(jī)會(huì)的同時(shí)也在給讀者機(jī)會(huì)；就是在鼓勵(lì)讀者閱讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》的同時(shí)也能積極地參與《中學(xué)數(shù)學(xué)》的寫作；就是在為廣大一線教師提供一個(gè)平臺(tái)，讓教師能夠在《中學(xué)數(shù)學(xué)》上開展刊上教研和交流，擔(dān)起為一線教學(xué)服務(wù)的責(zé)任.

筆者嘗試把閱讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》部分關(guān)聯(lián)文章的一些思考，以“研討”的形式和大家交流，以期老師們能更多地關(guān)注關(guān)聯(lián)文章，研討關(guān)聯(lián)文章.當(dāng)然，筆者這樣做更期待能獲得同行的指導(dǎo)和幫助.

一、寫關(guān)聯(lián)文章要仔細(xì)閱讀原文

2015年第1期《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）上有一篇文章，題目是《關(guān)于試題人文價(jià)值的另類思考——從2014年北京中考卷第25題說起》（以下稱文1）.在閱讀文1時(shí)，發(fā)現(xiàn)文中引用2014年北京中考卷第25題時(shí)有個(gè)錯(cuò)誤，即題（3）中的二次函數(shù)應(yīng)該是y=x2，文中卻寫成y=-x2.由于文1與2014年第8期《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）的一篇文章有關(guān)聯(lián)，筆者就又閱讀了關(guān)聯(lián)文章《數(shù)形互助來破題，探索發(fā)現(xiàn)是導(dǎo)向——2014年北京卷壓軸題解析與思考》（以下稱文2）.筆者看到，文2引用2014年北京中考卷第25題與文1有同樣的錯(cuò)誤.筆者早先閱讀過文2，對(duì)此錯(cuò)做過批注.現(xiàn)在把兩篇文章放在一起來讀，就有了新的想法.文1是文2的關(guān)聯(lián)文章，卻繼承了文2的錯(cuò)誤，顯然可以說明，文1的作者其實(shí)并沒有很好地閱讀文2，就從文2中“拿來”了“話題”，也“拿來”了錯(cuò)誤.筆者還看到，文2被人大復(fù)印報(bào)刊資料《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2014年第10期全文轉(zhuǎn)載，這個(gè)錯(cuò)誤同樣也被“全文轉(zhuǎn)載”了.一錯(cuò)二錯(cuò)連三錯(cuò)，未免有點(diǎn)遺憾.

圖1

如果說，文1中出現(xiàn)題目引用錯(cuò)誤并不妨礙作者對(duì)試題人文價(jià)值的另類思考的話（當(dāng)然，從“人文價(jià)值觀”考慮，還是不出引用錯(cuò)誤為好），文2中有3處出現(xiàn)這個(gè)引用錯(cuò)誤，就讓讀者費(fèi)解了.比如作者分析函數(shù)y=-x2的圖像特點(diǎn)時(shí)說，“它的頂點(diǎn)是最低點(diǎn)”，顯然這個(gè)說法與函數(shù)y= -x2的圖像對(duì)不上號(hào).筆者最初閱讀時(shí)，以為作者把圖像畫錯(cuò)了，就重畫了圖像研究（見圖1），結(jié)果看到，若把函數(shù)y=-x2（-1≤x≤m，m≥0）的圖像向下平移m個(gè)單位，那么，所得的結(jié)論是：無論m值是多少，其邊界值t都無法滿足≤t≤1.此時(shí)，筆者才考慮到可能是作者把題目“抄”錯(cuò)了.上網(wǎng)查原題，果然是作者把函數(shù)y=x2錯(cuò)寫成y=-x2了.

寫關(guān)聯(lián)文章，筆者認(rèn)為，作者一定要對(duì)原文認(rèn)真仔細(xì)地研讀，在尊重原文的基礎(chǔ)上，也要注意糾正原文中的一些“小”錯(cuò)，不該把原文中的錯(cuò)誤“全盤”搬入到自己的文章中，擴(kuò)大錯(cuò)誤的傳播面，影響更多的讀者對(duì)相關(guān)問題的閱讀與理解.

二、指正關(guān)聯(lián)文章的不足時(shí)要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度

圖2

早些時(shí)候就讀過2014年第8期《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）刊登的王四寶老師的文章，《一道聯(lián)考試題的分析過程與講評(píng)設(shè)計(jì)》（以下稱文3），當(dāng)時(shí)很是佩服王老師把一道壓軸填空難題剖析得頭頭是道.文3中提到的壓軸填空題（見2013年浙江紹興卷第16題或原文，這里不再轉(zhuǎn)述）筆者也嘗試做過.首先覺得圖難畫（見圖2）.其一是點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置有多種情況；其二是草草畫出來的以點(diǎn)E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形并不能保證過原矩形ABCD的頂點(diǎn)；三是很難控制點(diǎn)P、Q之間的距離來確保由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形是菱形.圖畫不好，解題就容易受阻.但筆者轉(zhuǎn)至幾何畫板上畫圖的時(shí)候，奇跡就出現(xiàn)了：筆者看到，在幾何畫板上，無論怎么移動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置，由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形總是經(jīng)過原矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，并且，讓四邊形EFGH成為菱形也非常容易，甚至很快就發(fā)現(xiàn)解題線索，完全和王老師在文3中所描述的經(jīng)歷一樣.想必該題的命題人，也一定是在幾何畫板下完成命題的.幾何畫板真是命題人的利器，是老師做題的救星，但肯定是考生的“敵人”.因?yàn)閹缀萎嫲遄屆}人擁有了命制難題的“智慧”，讓做題老師能迅速地產(chǎn)生解題的“頓悟”，卻叫考生在題目面前無盡地領(lǐng)教什么叫“困難重重”.2014年第12期的《中學(xué)數(shù)學(xué)》上，陳化成老師就指出，須警惕試題命制中的“超人”現(xiàn)象.［4］筆者設(shè)想，如果哪次命題，規(guī)定一律不準(zhǔn)用幾何畫板，不準(zhǔn)用計(jì)算器，看一看命題老師能命出什么樣的題來.當(dāng)然，筆者的設(shè)想不可能實(shí)現(xiàn).

最近在翻看2015年第1期的《中學(xué)數(shù)學(xué)》，讀了張寧老師的文章《軸對(duì)稱搭臺(tái)，相似三角形唱戲——淺談一道聯(lián)考試題的分析過程及對(duì)講評(píng)設(shè)計(jì)的兩點(diǎn)思考》（以下稱文5），頓覺欣喜，不禁為張老師的解題視角叫好.由于文5與文3關(guān)聯(lián)，筆者立馬把文3翻出來與文5對(duì)照著讀.一“繁”一“簡(jiǎn)”便躍然眼前.“繁”者如張老師在文5中所說，“添加輔助線和所運(yùn)用的知識(shí)之多，著實(shí)令人望而生畏”；“簡(jiǎn)”者也如張老師在文5中所說，“不用添加輔助線，不用證明三點(diǎn)共線，只需利用軸對(duì)稱性質(zhì)、相似三角形、勾股定理即可破解此題”.文5在“結(jié)束語”中還語重心長地提醒大家思考“不論是命題者還是解題者，為什么想不到相似三角形”的解題視角？“這是教學(xué)的缺失，還是思維定勢(shì)”的影響？

為什么呢？筆者一邊認(rèn)真仔細(xì)地研讀文5，一邊反思“缺失”.筆者看到，張老師的“精彩”是基于填空題不需要嚴(yán)謹(jǐn)證明過程的前提下獲得的“簡(jiǎn)單”，而且，其“簡(jiǎn)單”的思路也一定是在幾何畫板下“產(chǎn)生”的.理由有二：一是張老師的解法沒有點(diǎn)P和點(diǎn)Q如何定位的困惑，一下子就能把兩點(diǎn)神奇而準(zhǔn)確地定位在題目所需要的位置上了（沒有幾何畫板，要做到這點(diǎn)是有難度的）；二是張老師默認(rèn)了“由點(diǎn)E、F、G、H構(gòu)成的四邊形”一定經(jīng)過矩形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)，也默認(rèn)了“點(diǎn)E、D、H共線，點(diǎn)F、B、G共線，點(diǎn)E、A、F共線，點(diǎn)G、C、H共線”（不在幾何畫板上畫圖，是難有“默認(rèn)”的底氣的；此題若不是填空題，“默認(rèn)”也一定不被允許）.筆者認(rèn)為，作為教學(xué)講評(píng)，該題不能只當(dāng)填空題來講評(píng)，所以就沒有“默認(rèn)”一說.其實(shí)，軸對(duì)稱性質(zhì)恰是用來證明張老師的兩點(diǎn)“默認(rèn)”的，在這一點(diǎn)上，筆者認(rèn)同王四寶老師在文3中的做法，從嚴(yán)謹(jǐn)考慮，需要證明的不能隨便省略.當(dāng)然，在嚴(yán)謹(jǐn)證明之后，張老師利用“相似三角形”來求解PQ的長度，值得老師們學(xué)習(xí).這也許就是包括筆者在內(nèi)需要反思的解題視角上的“缺失”吧.

看到別人文章的不足，提筆寫關(guān)聯(lián)文章，是營造刊上教研氣氛、開展刊上交流的好的做法，是對(duì)原作者和廣大讀者負(fù)責(zé)的一種態(tài)度.但在創(chuàng)作關(guān)聯(lián)文章之前，筆者認(rèn)為，寫作者需要認(rèn)真揣摩別人的“不足”有沒有合理之處，要多問一句，別人為什么要在文章中展示“不足”？自己對(duì)“不足”的理解有沒有偏差？同時(shí)，作者更要以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度對(duì)待自己的“精彩”，要讓自己的“精彩”不留遺憾.

三、商榷性關(guān)聯(lián)文章能給讀者留下思辨的空間

錢德春老師是位名師，他在不同數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表的文章都非常耐讀.筆者聞其大名，也是從讀他的文章開始.2014年第3期《中學(xué)數(shù)學(xué)》上發(fā)表的錢老師的教學(xué)點(diǎn)評(píng)文章，《基于認(rèn)知與生成的數(shù)學(xué)思維教學(xué)——以“三角形內(nèi)角和定理”一節(jié)課為例》（下稱文6），筆者讀后就能感受到錢老師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)理解的深度.文6的核心觀點(diǎn)是：以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)；以學(xué)生的思維障礙為教學(xué)的突破點(diǎn)；以學(xué)生的“死結(jié)”與“意外”為教學(xué)的生長點(diǎn)，用以指導(dǎo)教學(xué)，其意義重大；行文一氣呵成，讓讀者開眼.

筆者讀文6的時(shí)候正教初三，由于沒有“迫切”需要，就沒有過多關(guān)注細(xì)節(jié).現(xiàn)在接手初一，很快就面臨文6提到的“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué).恰好近期又讀到劉老師發(fā)表在2015年第1期《中學(xué)數(shù)學(xué)》上的《認(rèn)知在何方？生成在何方？——與錢德春老師商榷》的文章（下稱文7），就又重讀文6.筆者感到，兩篇文章都十分精彩，讀之受益匪淺.這樣好的關(guān)聯(lián)文章多多益善.

其實(shí)，就“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)，筆者三年一輪回，應(yīng)該教了不下十余次.回想自己的教學(xué)，即使從拼圖開始，似乎也從沒有出現(xiàn)過文6中提到的5種方法.現(xiàn)在反思，那是因?yàn)楣P者根本沒有放開來讓學(xué)生在課堂上“任意”去拼，也沒有“耐心”在課堂上去觀察學(xué)生的各種拼圖.筆者自問，“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)需要這樣做嗎？義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版教材剛開始使用的時(shí)候，很多老師的公開課都有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，就是活動(dòng).有生活體驗(yàn)活動(dòng)，有動(dòng)手操作活動(dòng)，有分組討論活動(dòng)，有各種游戲活動(dòng)，課堂熱鬧度頗高.記得在講“一百萬有多大”的時(shí)候，有老師從學(xué)校食堂硬是扛了一袋大米到課堂讓學(xué)生數(shù)；在講概率的時(shí)候，又是摸球，又是轉(zhuǎn)盤，還有擲骰子，全都搬進(jìn)了課堂，組織學(xué)生輪流去玩；在講軸對(duì)稱的時(shí)候，數(shù)學(xué)課儼然成了剪紙手工課……后來意識(shí)到，這種數(shù)學(xué)化不足的活動(dòng)根本就不是數(shù)學(xué)活動(dòng).［8］數(shù)學(xué)活動(dòng)的第一要素必須是數(shù)學(xué)的，必須有明確的數(shù)學(xué)目標(biāo).那么，在“三角形內(nèi)角和定理”的教學(xué)中的撕紙拼角活動(dòng)，拼圖作品交流，是數(shù)學(xué)活動(dòng)嗎？拼圖的目標(biāo)是什么？如果有明確的數(shù)學(xué)目標(biāo)，會(huì)出現(xiàn)文6中給出的5種“拼圖”嗎？

從這個(gè)角度想開去，筆者比較贊成劉老師在文7中的觀點(diǎn)：第一，拼圖不是該課的重點(diǎn)，它只不過是添加平行線的一個(gè)“誘導(dǎo)器”，但并非唯一，也并非直接.因此沒有必要“給足時(shí)間”讓學(xué)生充分展示各種拼圖，也沒有必要對(duì)所有拼圖都給出解釋.第二，學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)實(shí)際上已經(jīng)從拼圖升級(jí)到更數(shù)學(xué)化地對(duì)平行線及平角的認(rèn)識(shí)，升級(jí)到對(duì)演繹推理的認(rèn)識(shí).教師的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)考慮到這樣的提高.第三，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“三角形內(nèi)角和定理”的證明可以拋開撕紙拼圖的活動(dòng).

當(dāng)然，筆者的思考是從閱讀文6和文7而來，不一定正確.能產(chǎn)生想法，說明商榷性關(guān)聯(lián)文章具有爭(zhēng)辯性和參與性，容易吸引讀者.筆者認(rèn)為，參與關(guān)聯(lián)文章的思考，其實(shí)就是一種學(xué)習(xí)，也能促進(jìn)自身提高.

對(duì)于課的點(diǎn)評(píng)，筆者還有其他想法.筆者覺得，點(diǎn)評(píng)是一種“靜態(tài)”的考慮，而上課卻是“動(dòng)態(tài)”的行為；點(diǎn)評(píng)會(huì)無意識(shí)地越過教學(xué)時(shí)間的限制而談，而上課卻要有意識(shí)地控制在45分鐘時(shí)間內(nèi)進(jìn)行；點(diǎn)評(píng)容易把學(xué)生理想化，而上課卻要面對(duì)差別萬千的學(xué)生，所以，點(diǎn)評(píng)容易滴水不漏，而上課不可能面面俱到；點(diǎn)評(píng)可以給足學(xué)生時(shí)間，而上課卻得掌控教學(xué)時(shí)間；點(diǎn)評(píng)能把自己所想當(dāng)做學(xué)生所能，上課卻會(huì)看到學(xué)生所能完全不是自己所想.如果某個(gè)老師拿著某個(gè)完美的點(diǎn)評(píng)去上課，很大可能都會(huì)失望而歸，因?yàn)椤罢n”是很難達(dá)到“評(píng)”的高度，也難達(dá)到“評(píng)”的效果.即使是點(diǎn)評(píng)者本人去上課，相信多數(shù)時(shí)候，他也難按自己的點(diǎn)評(píng)完成所有任務(wù).那么，老師究竟該如何對(duì)待“課例點(diǎn)評(píng)”呢？筆者覺得，不妨取其一兩點(diǎn)嘗試去做就足夠了.點(diǎn)評(píng)千條好，適用只幾條.

1.周艷娟.關(guān)于試題人文價(jià)值的另類思考——從2014年北京中考卷第25題說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

2.耿華東.數(shù)形互助來破題，探索發(fā)現(xiàn)是導(dǎo)向——2014年北京卷壓軸題解析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

3.王四寶.一道聯(lián)考試題的分析過程與講評(píng)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

4.陳化成.警惕中考試題命制的一個(gè)“超人”現(xiàn)象［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（12）.

5.張寧.軸對(duì)稱搭臺(tái)，相似三角形唱戲——淺談一道聯(lián)考試題的分析過程與講評(píng)設(shè)計(jì)的兩點(diǎn)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

6.錢德春.基于認(rèn)知與生成的數(shù)學(xué)思維教學(xué)——以“三角形內(nèi)角和定理”一節(jié)課為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.

7.劉華為.認(rèn)知在何方？生成在何方？——與錢德春老師商榷［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

8.屠桂芳，孫四周.什么樣的活動(dòng)是“數(shù)學(xué)活動(dòng)”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（10）.H