對一道旋轉相似問題數學模型的探究

☉甘肅省天水市第七中學 吳俊杰

對一道旋轉相似問題數學模型的探究

☉甘肅省天水市第七中學 吳俊杰

中考試題不僅對教學具有很強的指導和借鑒意義，對中考命題也有很強的啟發作用.很多中考命題都是對教材習題、中考試題的變形、拓展或者直接借鑒.如何在試題教學中達到舉一反三，做一題會一片（類）的效果，是每一個數學教師苦苦思索的問題，筆者認為，對有些數學問題可以增強解題分析中的數學模型意識，嘗試“問題→模型→問題”的教學研究模式，是較好的途徑之一.本文擬以2013年湖州市一道中考試題為例，談談中考復習時增強解題分析中的數學模型意識，嘗試“在問題中構建模型，讓模型回歸問題”的教學研究模式.

一、問題展示

圖1

圖2

現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）．

圖3

如圖3所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi，因為AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi.又因為AB0=AO·tan30°，ABi=AP· tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP．又△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）．

二、解后反思

（2）這是一個典型的運動問題，但卻是一個陌生的運動問題，說起陌生是筆者在之前的解題學習中沒有見過相關知識和類型的習題，但有一點是確定的，運動問題中通常蘊含著規律性的東西，或者某些元素保持不變性，或者某些元素變化呈現一種規律性，或者相關元素之間關系的確定性.基于這種思考，筆者大膽猜測本題也大概不出其外，如果把定角∠APB=30°，A點橫坐標一般化，點B的運動路徑和距離也必然與這兩個結果相關.

（3）筆者再思考，既然是運動問題，筆者很自然地聯想到了非常熟悉的圖形變化——旋轉.文1中發現了問題的本質：旋轉相似，筆者從另一個角度思考這個問題：把圖1在直角坐標系中整體旋轉一定的角度，不會影響到B點的運動軌跡，如果旋轉45°，使得直線OC與y軸重合，問題的解答會不會變得簡單一些？

基于以上思考，筆者確定了以下解答思路：首先將問題一般化，建立數學模型，探索一般規律，再應用數學模型，回到原始問題，解答問題.

三、建模過程

1.數學模型的理解

模型思想是《課程標準（2011年版）》的10個核心概念中唯一一個以思想指稱的概念，它是數學基本思想之一，通俗地講，數學模型就是采用形式化的數學語言，如字母、數字、等式、不等式，以及圖形、圖像、圖表等數學符號抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征及其內在聯系的一種數學結構表達式.在建模過程中，要把本質的東西及其關系反映進去，把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉.課程標準對數學模型的教學意義論述和要求的提法是“教學應結合具體的教學內容采用‘問題情境—建立模型—解釋、應用于拓展’的模式展開，讓學生經歷知識的形成于應用過程，從而更好地理解數學知識的意義……”

個人認為，在數學解題教學中，也完全具有可能，有必要在具體的問題中抽象、概括、建立數學模型，再反過來利用數學模型指導、解答原問題，并加以應用.本文擬結合上述問題，談談自己在數學解題教學中通過“問題→模型→問題”的思路，嘗試建立數學模型，回歸問題的研究、教學態度.

2.原始問題一般化

一般化之前需要分析發現原問題中的“本質元素與核心關系”.分析問題，可以發現原問題本質元素在于“三定：定直線、定點、旋轉中的兩個定角（∠APB和∠PAB）”，核心關系是點P和點B之間在“旋轉”中的聯動關系，但是這個聯動關系如何？未知.

另外，點P所在直線的函數關系式為y=-x，是否屬于本質元素，再如點A為定點，問題中僅僅提到了點A的橫坐標，對縱坐標一字未提，顯然此處“兩定”中依然有一些非本質的元素.還有∠APB=30°對這種聯動關系有何影響也不明確，它們是不是本質元素？基于以上分析，在問題一般化的過程中，可以保留本質與核心關系，其他的數量元素可以字母化，即將具體數值轉化為字母表示.得到以下更具有一般性的待探究問題：

設點P是定直線l上的任意一點，點A為直線外一個定點，點A到直線l的距離為a.點B在直線PA確定的一側，且∠APB=β，BA垂直PA，當點P在直線l上運動的時候，探究點B的運動軌跡.

說明：（1）具體數字已知量的字母化：將∠APB=30°字母化為∠APB=β，因為點A為定直線l外一個定點，則點A到直線l的距離確定，表示成a，至此原問題被一般化.（2）為了問題研究的方便，也因為圖1中y=-x旋轉后可以到達y軸的位置，在問題研究中不妨以直線l為y軸建立直角坐標系，不妨設點A為第一象限內的一個定點.通過對圖形變化過程中可能的位置分析，以及下面的分析可以發現，這一特殊處理對結論沒有影響.（3）在整個運動變化過程中，雖說主動點P、從動點B的具體位置不確定，但沒有必要研究多個點，只需要隨機確定兩個位置，將其視作某一階段運動的起點和終點，從而探索相互之間的關系，了解變化規律.結合點P在運動過程可能的位置關系，可以作出兩個圖形，如圖4和圖5所示.

圖4

圖5

3.探究

在圖4和圖5，設P1、P2是P點某一階段運動的起點和終點，對應的點B1、B2是B的對應運動軌跡的終點.

結論2：∠AB1B2=∠AP1P2.

在圖4中，延長B2B1與y軸（直線l）相交于點M，由∠AB1B2=∠AP1P2，可知點A、P1、M、B1四點共圓，所以∠P1MB1=∠P1AB1=90°，所以直線B1B2垂直于y軸.利用相似三角形的性質可知AN的值，AN=atanβ.

在圖5中，延長B2B1與y軸（直線l）相交于點M，與AP1相交于點H，連接AM，因為△AP1P2∽△AB1B2，所以∠AB1B2=∠AP1P2，所以點A、M、P1、B1四點共圓.所以∠P1MB1=∠P1AB1=90°.也可以這樣證明，如下：因為∠P1AB1=90°，所以∠AHB1+∠AB1B2=90°.因為∠AHB1=∠P1HM（對頂角相等），由等量代換可得∠P1HM+∠AP1P2=90°，所以∠P1MH=90°.所以直線B1B2垂直于y軸.

也可以考慮特殊情形：如圖6，當AP1垂直y軸時，AB1=AN，AP1等于點A到y軸的距離，此時AB1=AP1tanβ，點P的位置變化不影響這一結論.

圖6

4.建立模型

綜合以上分析，可以歸納出以下共性結論，從而建立數學模型：

點P是定直線l上的動點，點A為直線l外一個定點，到直線l的距離為a，當點P在直線l上運動時，以AP為直角邊向直線l一側作Rt△APB，使得∠APB=β，∠A為直角，則有結論：

（1）從動點B的運動軌跡是一條與直線l垂直的直線m，點A到直線m的距離等于atanβ.

（2）從動點B的運動路徑長與主動點P的運動路徑長之比等于tanβ.

四、回歸問題，模型應用

研究后不得不思考一個問題，這種研究的價值何在？最簡單的價值體現應該是在解題中的應用，并且需要進行比較，這種數學模型的應用有沒有廣泛性，問題的解答有沒有更加簡單.

由模型到實際問題有一定的距離：（1）圖形的位置：當數學模型中的直線l為y軸時，可以通過將整個圖形繞坐標原點逆時針方向旋轉45°，得到原問題中的定直線l；（2）數量關系：將數學模型中的字母具體數字化，回歸具體問題，如令∠APB=β=30°.通過這兩步，就可以得到圖1，實現由問題模型到具體問題的回歸、應用.

五、數學模型的再優化

回顧前面的數學模型化的過程，發現有一點做得并不充分，那就是對∠APB=90°是否為本質元素的認識存疑.我們可以繼續研究更一般的問題：在原有基礎上令∠PAB=θ，其他要求不變，數學模型又會發生哪些改變？

如圖7和圖8，同理可以證明△AP1P2∽△AB1B2，在圖7中，∠AB1B2=∠AP1P2，在圖8中，∠AB1B2=∠AP1P2，所以點A、M、P1、B1四點共圓.所以∠P1MB1=∠P1AB1=θ.

圖7

圖8

綜上所述，本題數學模型有更一般的形式：

點P是定直線l上的動點，點A為直線l外一個定點，到直線l的距離為a，當點P在直線l上運動時，以AP為直角邊向直線l一側作△APB，使得∠APB=β，∠PAB=θ，則有下面的結論：

（2）從動點的運動路徑與主動點的運動路徑之比等于tanβ.

1.姜鴻雁.入進去展開來再回首——解答一道中考題的心路歷程及感悟［J］.中學數學教學參考（中），2014（10）.

2.莊士忠.相似三角形中三等角題型一般解答方法及應用［J］.中學數學（下），2012（2）.

3.張衛東.利用旋轉解題的若干策略［J］.中學數學（下），2011（7）.Z