例談講題教學中的一題多解和多思

☉江蘇省金壇市第四中學 孫惠萍

例談講題教學中的一題多解和多思

☉江蘇省金壇市第四中學 孫惠萍

數學試題往往有多種解法，學生在解決一個數學問題時，會根據學生自身對問題的熟悉程度和知識存儲于腦海中的熟練程度進行取舍.教師面對解決方案比較多的問題時，往往可以呈現一題多解的方式引導學生辨別、思考哪些解法更為優秀、更值得總結和吸收.筆者常常在公開課中看到教師在講解一題多解的問題時，基本的呈現模式是：分析思考→多解探索→總結方法.這種流程是現階段一題多解復習教學主要采用的，這里筆者覺得教師對問題的分析是透徹了，但是對于一題多解的本質認知向學生滲透的還是不足，缺失一種更高層面的問題思考，這樣的一題多解只能適用于學生能夠做一些做過的數學問題，遇到新的數學問題學生往往依舊是一片茫然.筆者認為，一題多解不能僅限于上述基本解題層面，更需要向學生滲透一題多思，從思想層面去引領一題多解.

（1）對于一題多解要關注學生形成解法的解題心理機制，要反思學生為何從這樣的角度分析問題，有時教師將同一類型的問題講解十余遍，學生依舊我行我素使用錯誤的方法，這里的反思、分析值得教師深思.

（2）對于一題多解還不能僅僅依賴于就題論題，要從問題中尋找解決問題的更高背景，筆者以為，可以從問題解決的思想方法角度、問題解決的知識性整合角度等不同視角去看待一題多解和一題多思，依賴問題而又高于問題地看待一題多解，對學生數學能力的培養是大有益處的.

一、源于深刻背景的一題多解

很多數學問題具備高等數學的背景，其在初等數學中以具體形態展示，這些問題的一題多解和一題多思是對于學生思維深刻性的一種觸及，是利用多解提高學生知識廣度和深度的方向.

例1在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線長為9，當△ABC的面積最大時，此時AB的長為____________.

分析：本題立足于兩個不同深刻背景，其一是高等數學中的阿波羅尼斯圓，其二是初等數學中的平行四邊形對角線性質，其他的方式也可以解決，但是缺乏最本質的背景支撐，筆者認為教師要講透本題，最應該講解的方法正是下面兩種.

說明：高等數學背景下的數學問題在高考中有很多試題編制，有興趣的讀者可以研究常用的阿波羅尼斯圓、向量極化恒等式、拉格朗日中值定理等，這些高等數學中重要的數學本質常常成為高考試題編制的常客.筆者再舉向量極化恒等式請讀者繼續研究：向量極化恒等

問題1：在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，

問題2：P是棱長為2的正方體上一動點，AB是正方體內切球的任意一條直徑，則的取值范圍是_________.

二、源于思想方法的一題多解

數學思想方法是需要在講題教學時積極滲透的，以往傳統的講題對于思想方法的滲透并不積極，更多的是以數學問題解決的技巧和方式為主，筆者認為這種方式并不可取，因此現階段教學中更要關注講題的一題多解和思想方法的滲透.

例2過x軸上一動點A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點，設切線AP、AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）求證：k1k2=-4.

（2）試問：直線是否經過定點？若是，請求出該定點坐標；若不是，請說明理由.

分析：解析幾何問題主要是數形結合思想、設而不求思想、類比思想、整體思想的運用，在一題多解時積極滲透關注數學思想方法是一題多思的講題關鍵.

說明：上述三種講題的思路和解答均為學生解答，筆者在分析本題第（1）問時，給學生娓娓道來三種不同解法之間的思想方法，學生都比較認同的是解法1和解法3，第一種思想將設而不求運用巧妙，減少了運算量受學生歡喜，第三種類比思想是解析幾何問題中常常出現的，學生較為熟悉，因此學生也較為認同接受，盡管相比第一種思想運算來得較大，但是對第（2）問做好了運算鋪墊，經過講解學生一致對第二種解出k1、k2的解法認為不可取，在實際應試中學生即能理解解析幾何問題一般都會運用設而不求思想和類比思想.

本題第（2）問涉及直線過定點問題，一般都需要通過寫出直線的方程來求解.

說明：對于本題第（2）問，能夠解出問題的學生基本使用了解法3，這種設而不求的思想在解析幾何問題中常常使用，相比而言解法2也有少數學生使用，其對于問題的分析使用了整體代換的思想，結合韋達定理的使用，因此從本題一題多解、多思中向學生滲透的是解析幾何需要關注的設而不求和數形結合思想.

三、源于方向掌控的一題多解

對于學生而言，數學問題的解決有時是成功了，有時是失敗了.筆者常常問學生，你知不知道為什么有時類似問題做通了？有時卻走不通？學生都是一臉茫然.筆者認為，學生解決問題有時還是具備偶然性的，他總是在摸索中前進，對于問題的解決方向沒有整體性、必然性的掌控.因此，教師一題多解教學需要向學生滲透方向掌控的重要性.

分析：對于向量小題的一題多解，教師教學首先要具備整體性的方向掌控：即向量小題主要依賴圖形化處理方式或者代數化運算方式，圖形化處理依賴的是向量的圖形建構，代數化運算方式仰仗的是坐標化的運算，堅持運用策略的選擇，有助于從認知層面認識方向掌控.

說明：向量小題的解決方式主要是圖形化處理，教學需要多關注這一方式的使用，相比而言代數化策略的使用盡管簡化了思維，但是大大提高了運算量，是學生不太喜歡的方式.教學中可以主輔分明，選擇合適的方式進行講解，也可以通過多思開拓學生的方向掌控.

總之，本文以筆者關于一題多解、一題多思提出了一些新的視角分析，以還不夠成熟的一些想法與大家交流，請讀者指正.

1.宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升［J］.中學數學月考，2013（5）.

2.方厚石.向量教學詮釋思維品質［J］.數學通訊，2014（1）.

3.馮海英.對高中生學習習慣現狀的調查分析［J］.四川師范學院學報，2002.F