挖掘課本習題功能探究高考命題趨勢
——一道解三角形課本習題的探究

☉江蘇省昆山市第一中學 周維軍

挖掘課本習題功能探究高考命題趨勢
——一道解三角形課本習題的探究

☉江蘇省昆山市第一中學 周維軍

又sin∠BDA=sin∠ADC，BD=CD，所以∠DAC=90°，所以∠BAC=120°，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+ AC2-2AB·ACcos∠BAC，即BC2=48+12-24=36，故BC=6.

點評：挖掘所給三角形中角的關系，是解題入手點之一，其中角的關系主要包括三角形內角和為180°，外角等于與其不相鄰的兩個內角和，兩角互補正弦值相等，余弦值互為相反數，兩角互余正弦值與余弦值相等.

點評：本解法抓住題目條件本質，將三角形置于平行四邊形中，使題目中不明確的邊角關系突顯出來，進而利用正、余弦定理快速解題.

一、改變題目條件，解法根出同源

在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·

點評：本題無論從命題形式，還是解法探究，上述兩例都與課本源題出奇的相似，準確把握“兩角互補，其正弦值相等”和“三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內角和”是問題順利求解的關鍵.

二、落實基本能力，展現考綱要求

點評：新課標考綱對解三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.

三、把握圖形關系，由四邊形還原三角形

例4（2015年全國新課標I卷）如圖6，在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____________.

點評：三角形是平面中最簡單的圖形，四邊形可以認為是由三角形切割而成，故解題中將四邊形還原于三角形中，使邊角關系更加明朗化，從而順利解題.

四、合理利用條件，由四邊形分割出三角形

例5（2014年全國新課標卷（Ⅱ）文）四邊形ABCD的內角A與C互補，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

（1）求C和BD；

（2）求四邊形ABCD的面積.

解析：（1）由題設及余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC①，BD2=AB2+DA2-2AB· DAcosA=5+4cosC②.

點評：第（1）問是先利用余弦定理列出關系式，再結合方程思想求解.第（2）問是將四邊形面積轉化為三角形面積求解.

綜上，本文以一道課本習題為例，引導學生多方位思考，將試題進行了推廣探究，通過探究，從深層次上挖掘了課本習題的教學價值，有力地激發了學生的探究性思維，培養了探究能力.A