更深更遠更優
——一道高考題的解法賞析與拓展

☉江蘇省海門市四甲中學 陸叢林

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——一道高考題的解法賞析與拓展

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一年一度的高考又落下惟幕，每年高考后都會涌現出一批題型新穎、立意深遠、背景豐富的好題.2015年的浙江省理科第18題以函數問題為載體，結合絕對值考查學生對數形結合、轉化與化歸、分類討論等思想方法的掌握與運用情況，令人耳目一新，本文筆者試給出此題的一些解法賞析與拓展延伸，旨在拋磚引玉.

一、試題呈現

題目（2015年浙江理科第18題）已知函數f（x）=x2+ ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區間［-1，1］上的最大值.

（1）證明：當|a|≥2時，M（a，b）≥2.

（2）當a，b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值.

分析：本題是一個二次函數求最值問題，融入了近年常見的元素：絕對值、參數、不等式.對一般的學生來說往往切題較慢，不容易拿到高分，但若抓住本質，進行合理的轉化和變形，問題就會變得相對簡單.

二、解法賞析

當a≥2，1+b≥0時，1+a+b≥2，M（a，b）=|f（1）|=|1+a+ b|≥2；

當a≥2，1+b＜0時，1-a+b≤-2，M（a，b）=|f（-1）|=|1-a+b|≥2；

當a≤-2，1+b≥0時，1-a+b≥2，M（a，b）=|f（-1）|=|1-a+b|≥2；

當a≤-2，1+b＜0時，1+a+b≤-2，M（a，b）=|f（1）|=|1+ a+b|≥2.

考生在平時考試中遇到的函數題，普遍采用分類討論思想確定函數最值的解題思路，因此，此法是通法.

解法二：（絕對值不等式）由|a|≥2知道了對稱軸的位置，因此|f（x）|的最大值在1或-1時取得，即M（a，b）= max｛|f（-1）|，|f（1）|｝=max｛|1-a+b|，|1+a+b|｝≥

此方法雖然簡潔易行，但不是常規方法，只有參加數學競賽輔導的學生做起來才會得心應手.

解法三：（基本初等函數）由解法一知M（a，b）= max｛|1+a+b|，|1-a+b|｝.

令t=b+1，則M（a，b）=g（t）=max｛|t-a|，|t+a|｝.分別畫出g（t）的圖像，如圖1、圖2所示.

圖1

圖2

①若a≤-2，由圖1可知M（a，b）min=g（t）min=g（0）= -a≥2，所以M（a，b）≥2.

②若a≥2，由圖2可知M（a，b）min=g（t）min=g（0）=a≥2，所以M（a，b）≥2.

綜上，M（a，b）≥2.

此法中通過換元，轉化為求最大值中的最小值問題，常規方法就是通過數形結合畫出圖像，直觀簡潔，簡單易行，若能關注絕對值的幾何意義，從這個方法中還可以推出以下方法：

解法四：（絕對值的幾何意義）由解法三知M（a，b）= max｛|1+a+b|，|1-a+b|｝.令t=b+1，|（f1）|=|1+a+b|=（|b+1）+a|= |t+a|，|（f-1）|=|1-a+b|=（|b+1）-a|=|t-a|.|（f1）|=|t+a|表示t到-a的距離，|（f-1）|=|t-a|表示t到a的距離.

|（f1）|+|（f-1）|=|t+a|+|t-a|表示t到-a的距離與t到a的距離之和.

|（f1）|+|（f-1）|=|t+a|+|t-a|表示t到-|a|的距離與t到|a|的距離之和.

圖3

如圖3，當t∈［-|a|，|a|］時，|（f1）|+|（f-1）|的最小值為2|a|，

此法中通過換元后畫出圖像，借助數軸，是數形結合的一個好方法.

圖4

直線QS和直線RS與拋物線分別相切于點Q，R，由圖可知|a|+|b|的最大值為3.

此法利用線性規劃的知識，對可行域的要求比較高，但此法直觀明了，是個好方法.

此法簡潔明了，但對學生不等式應用水平要求較高，體現方程（組）的思想，巧妙地運用了絕對值不等式，發揮整體代換、化繁為簡的優勢.相對于常規的函數思想與分類討論思想，既不用討論閉區間上何時取到最值，也不用線性規劃畫圖尋找，簡單快捷，計算量小.

若M（a，b）＜2，由（1）必有|a|＜2.

由|1+|a|+b|≤2，得-2≤1+|a|+b≤2?-3≤|a|+b≤1.

①若b≥0，則|a|+|b|=|a|+b≤1；

所以|a|+|b|的最大值為3.

此法利用不等式轉化為二次函數的最值問題，同時體現了分類討論思想在解題中的作用.

從上例中我們可以發現，數形結合與轉化化歸在解題中的巨大作用，如果平時加強對題目的研究，深入剖析題目條件和結構，合理進行變形和轉化，往往會收到意想不到的效果，解題效率也能大大提升.

三、變式與擴展

在處理這樣的雙變量問題上絕對值不等式有著一定的優勢，若含有三個變量問題，又如何解決？

變式：已知函數f（x）=ax2+bx+c，記M（a，b，c）是|f（x）|在區間［-1，1］上的最大值，當a，b，c滿足M（a，b，c）≤2時，求|a|+|b|+|c|的最大值.

故|a|+|b|+|c|≤6，當|a|+|b|=4，|c|=2時取到最大值6.

對于含有三個變量問題，依靠絕對值不等式這個有力的工具，也可以做到整體代換，簡單快捷.只要我們把握好不等號的方向，就能在多變量中抓住本質，從而解決問題.

總之，高考題預示高考命題的規律與趨勢，倍受廣大師生的關注，認真研究高考題，發掘其真正的內含，探索出新的規律性結論，并運用于教學之中，可以豐富我們的教學，使我們的教學理念更新，解題的手段升級，對數學探究的激情會更高，思索會更遠，收獲將會更大.F