高中數學教學中函數的對稱性教學研究

唐英平

（長順縣民族高級中學 550700）

高中數學教學中函數的對稱性教學研究

唐英平

（長順縣民族高級中學 550700）

對于高中數學教學而言，函數的性質教學是高中數學教學中非常重要的環節，而函數的對稱性是高中函數教學中非常重要的環節，本文重點對高中函數對稱性教學的重點和南段進行了詳細的分析，在此基礎上對函數對稱性的關鍵問題進行了詳細分析。

高中數學 教學 函數 對稱性

一、前言

高中數學函數對稱性的教學是考試和發展學生思維的關鍵，而高中函數對稱性教學中，對常見對稱函數的梳理是非常重要的，本文針對該問題進行了詳細的探索，供高中數學老師參考。

二、高中函數對稱性教學的重點和難點

函數模塊是高中數學的重點也是難點，函數的性質是歷年高考數學試題的重點和熱點。其中函數的對稱性是函數的一個基本性質，學生學習了函數的定義、單調性和奇偶性之后，已經能由圖像的直觀性理解數學的本質。學生需要通過函數對稱性的學習，提高綜合運用知識及方法技巧分析問題、解決問題的能力。具體講，就是要通過函數知識的運用，培養學生的理性思維能力；通過探究思考，培養學生的實踐能力、觀察能力、判斷能力；通過實際問題的解決，培養學生分析問題、解決問題的能力和表達交流的能力。下面將從兩個方面來討論函數的對稱性。

中學數學的教學應該努力揭示數學概念、法則、結論的形成和發展過程，揭示人類探索真理的艱辛與反復。要通過典型例題的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論產生的背景和逐步形成的經歷，體會蘊含在其中的思想，體驗尋找真理和發現真理的方法，追尋數學發展的歷史足跡。下面筆者將給出一些例題。

三、常見函數的對稱性

第一，常數函數。y=c（c∈R）。既是軸對稱又是中心對稱，與該直線垂直的直線均為其對稱軸，直線上所有點均為其對稱中心。

第二，一次函數。y=kx+b（k為一次項系數≠0，k≠0，b為常數）。既是中心對稱又是軸對稱，對稱中心為原點，對稱軸為與該直線相垂直的直線。

第三，反比例函數。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是軸對稱又是中心對稱，對稱軸為y=x與y=-x，對稱中心為原點。

第四，二次函數。y=ax2+bx+c（a≠0）。是軸對稱，不是中心對稱，對稱軸為x軸。

第五，指數函數。y=ax（a＞0且a≠1）（x∈R）。既不是中心對稱也不是軸對稱。

第六，對數函數。y=logax（a＞0，且a≠1）。既不是中心對稱也不是軸對稱。

第七，冪函數。y=xa（a為常數）。冪函數中非奇非偶函數不具有對稱性；冪函數中的奇函數中心對稱，對稱中心為原點；冪函數中的偶函數為軸對稱，對稱軸為x=0。

第八，正弦函數。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中心對稱又是軸對稱，對稱軸為方程ωx+φ=kπ+的解。

第九，正切函數。y=tanx。是中心對稱，不是軸對稱，對稱中心為（0，0）。

第十，三次函數。三次函數中的奇函數中心對稱，對稱中心為原點，其他三次函數的對稱性通過求導得極值點進行作圖判斷。

以上就是對常見函數的對稱性總結歸納，要理解掌握，不能死記硬背，這就需要學生結合實際的習題及函數圖像，自己體會，理解記憶，活學活用，在實踐中體會以上常見函數的對稱性特點，真正做到舉一反三，思維發散。

四、實例分析

舉例分析：在高中數學教學過程中，教師都意識到函數自身對稱性極其重要，其教學難度也給教學過程帶來極大的挑戰。

2013年上海市春季高考數學試題）已知真命題：“函數y=f（x）的圖像關于點P（a、b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數y=f（x+a）-b是奇函數”。

（1）將函數g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖像對應的函數解析式，并利用題設中的真命題求函數g（x）圖像對稱中心的坐標；

（2）求函數h（x）=log22x14-x圖像對稱中心的坐標；

分析：函數圖像的平移，對于學生來說是從初中認識二次函數的圖像就已經掌握的一個重要知識點。結合奇函數關于原點對稱的特點，學生應該很容易理解題設的正確性。

解析：（1）通過平移容易得到所求函數的解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2。

由題設可知，對稱中心的研究可以歸結為研究原來函數是否為奇函數或者是如何將原函數看做某個奇函數通過適當的平移變換得到的。這就要求學生對于一些常見的奇函數的例子必須清楚，如僅含奇數次的多項式函數、正弦函數、正切函數等。由題發現，研究的對象是一個多項式函數，要使其成為奇函數，就必須只留下奇數次的項。

因此，假設g（x）=x3-3x2經過適當平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b

由以上討論可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2。從而g（x）=x3-3x2關于點（1，-2）對稱。

由上面的證明方法，我們可以得到一個關于三次函數的重要結論：

三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是關于點對稱，且對稱中心為點（-b13a，f（-b13a））。

（2）同（1），假定經過適當平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此時要求該函數為一奇函數。由不等式2x+2a14-a-x＞0的解集關于原點對稱，得a=2。此時f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）。任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函數h（x）=log22x14-x圖像對稱中心的坐標是（2，1）。

五、結束語

綜上所述，本文重點對高中數學中對稱函數教學的重點和難點進行了詳細的分析，在此基礎上對常見的對稱函數進行了歸納總結，同時針對具體的例題，提出了相應的教學解決策略，供相關的數學教師參考。

［1］王聯華.高中數學教學中函數的對稱性教學研究［J］.成功：教育版，2013，（2）.

［2］溫福云.高中數學教學中函數的對稱性教學分析 ［J］.都市家教月刊，2014，（7）：272-272.

［3］王京.函數的奇偶性與對稱性的教學探索［J］.新課程學習：社會綜合，2009，（6）：54-54.

［4］秦宏亮.談談高中數學中函數的對稱性［J］.科技信息：科技教育版，2011，（6）.