高考中的數(shù)列求和問題

李曉君

（昆明市嵩明縣第一中學(xué) 云南昆明 651700）

高考中的數(shù)列求和問題

李曉君

（昆明市嵩明縣第一中學(xué) 云南昆明 651700）

數(shù)列是高中生學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容，也是在為學(xué)生今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打基礎(chǔ)，同時也是高考的一個考察重點，高考命題的方向有以下三方面：（1）對數(shù)列本身的有關(guān)知識進行考察。要求能用等差或等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項及前n項和公式進行求解；（2）對數(shù)列與其它類知識，如與函數(shù)、方程、不等式幾何及合情推理等知識點結(jié)合的考察；（3）對于數(shù)列應(yīng)用的考察。

在此，針對高考中的數(shù)列求和問題解決方法提出自己的一些見解。

我認為在高中階段，解決數(shù)列問題最關(guān)鍵是認清數(shù)列的規(guī)律，其實一個數(shù)列的規(guī)律就體現(xiàn)在它的通項上。不同通項的數(shù)列對應(yīng)不同的求和方法。高中階段主要的求和方法有：（1）公式法；（2）分組轉(zhuǎn)化法；（3）錯位相減法；（4）裂項相消法。下面依次舉例說明。

方法小結(jié)：若已知一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列，則可以直接用等差或等比的前n項和公式解決數(shù)列的前n項和問題。我們把這種求和方法稱為公式法求和。

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項公式.

解答：

（Ⅱ）由 an=3n 得 b1=a2=6，b2=a4=12，則等比數(shù)列｛bn｝的公比為所以數(shù)列｛bn｝的通項公式為 bn=6×2n-1=3×2n，即：bn=3×2n，故 數(shù) 列 ｛an+bn｝ 的 通 項 公 式 為 an+bn=3n+3 × 2n， 所 以

即：數(shù)列｛an+bn｝的前n項和

分析：由題目已知條件可分析出數(shù)列｛an+bn｝的通項公式由兩部分構(gòu)成，而且是兩部分的和。這兩部分一個是等差數(shù)列通項，另一個是等比數(shù)列的通項，根據(jù)加法的交換律和結(jié)合律就把這個數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化成了一個等差數(shù)列的和和一個等比數(shù)列的和的和。

方法小結(jié)：若一個數(shù)列的通項是兩種數(shù)列的和構(gòu)成的，則此數(shù)列求和可以轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列的求和問題來解決。我們把這種求和方法稱為分組轉(zhuǎn)化求和法。

例3.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿足

解答：

兩式相減得

方法小結(jié)：若一個數(shù)列的通項公式是由一個等差通項和一個等比通項乘積構(gòu)成的，則采用錯位相減法解決該數(shù)列的求和。

一般步驟：1.寫出前n項和（即從首項加到第n項）；

2.在等式兩邊同時乘上等比數(shù)列的公比錯一位對齊；3.兩邊對應(yīng)相減，進行化簡求解。

例4.已知等差數(shù)列｛an｝滿足：a3=7，a5+a7=26.

（Ⅰ）求｛an｝的通項公式；

解答：

所以an=3+（n-1）×2=2n+1，即｛an｝的通項公式為an=2n+1.

所以