初三數學教學中滲透初、高中銜接的實踐與思考

☉北京四中 唐紹友

初三數學教學中滲透初、高中銜接的實踐與思考

☉北京四中 唐紹友

初、高中數學的銜接一直倍受重視，特別是高中數學教師能否在高一教學中進行順利的銜接，直接影響到學生在數學科上的后續發展和學科成績.對于高中數學教師如何在高中教學中進行初、高中數學銜接的研究，已經非常深刻了，并且在眾多學術期刊有詳細的論述，對此，本文不再贅述.筆者主要從初、高中教學的銜接工作的實際出發，對在初三數學教學中如何有效進行與高中的銜接，進行了初步的實踐與探索.

一、銜接的可行性和必要性

1.學生數學基礎好，數學能力較強，為銜接提供了能力基礎

2013年9月，筆者服從學校安排，到北京四中初中部任初三兩個A班的數學教學工作（兩班共82人）.這兩個班的生源構成僅次于兩個A+班（即數學競賽班，共44人），筆者所任教班級的學生數學基礎較好，數學能力較強，這為在教學中實施銜接提供了基本條件和能力基礎.學生有時間與精力在確保中考的前提下，進行適度拓展與拔高，這是完全可行的.

2.初三學生自我意識的逐步增強，為銜接提供了心理基礎

小學生升入初中后，隨著成人感的產生，出現了學生自主的需要，他們要求自己的事由自己來做，有了比較強的自我意識.特別是到了初三階段，獨立自主的需要進一步增強，自我意識的迅速發展使學生的求知欲望等多方面能力及良好的個性品質得到相應的發展，發展自我的需要，對形成一個人積極向上的心理，促使個性健康、全面的發展都有重要意義.這種發展自我的需要給初三數學教學中實施高中銜接帶來了很好的機遇.因為在銜接中出現的困難與問題，學生有表現自我的心理需要，所以相當一部分學生會獨立自主地向困難與問題發起挑戰，這為他們獨立探究課外的思考問題提供了心理內驅力.所以初三學生自我意識增強的心理特征為實施銜接提供了心理基礎.

3.中考與銜接的相融為銜接提供了升學基礎

在2014年的北京中考數學中，出現了相當數量的初、高中數學的銜接問題.

一是從考查的知識點看：重點考查的知識點瞄準了初、高中數學的銜接點，為高中數學的學習作了良好的鋪墊.比如，多處考查函數圖像與幾何對稱，這兩個知識點都是高中數學的重點.高中研究的一些函數幾乎都是通過圖像去研究的，中心對稱與軸對稱不但在高中幾何里是重要的角色，而且在研究函數圖像時也是重要的性質.2014年北京中考卷還注重了四邊形的考查，任意四邊形、平行四邊形、菱形、正方形都出現在試卷中，這也是銜接的標志.因為高中立體幾何中的證明與計算都涉及各種四邊形的性質，解析幾何中也經常用到各種四邊形的相關性質.

二是從考查的思想方法看：體現了初、高中數學思想方法的銜接點.例如，2014年北京中考卷第25題以函數的有界性為背景，考查了反比例函數、一次函數、二次函數在給定區間上的最值，這是知識上的銜接，更主要的是數學思想方法的銜接，本題在解決過程中體現了濃厚的數形結合與分類討論思想.做第三問時，必須從圖像入手，確定分類標準，這就實現了“數形結合與分類討論”交融的目標，這也是高中數學的主要思想方法.

總之，無論從知識點的角度，還是從思想方法的角度，都很好地體現了初、高中的銜接，從而看到了中考與銜接的相融性.所以抓好初三和高中的銜接與中考息息相關.注重銜接不但有助于學生中考成績的提高，還有利于學生在高中的數學學習中提高效率.由此可見，在尖端學生中注重初、高中數學的銜接對升學是有保障的.這樣既可以消除學生因為銜接而影響升學的顧慮，又增強了學生銜接的自信.

4.初、高中數學的重要不同點為銜接提出了必要的要求

初、高中數學主要呈現出如下幾個不同點.

一是高中數學表述的抽象性增強.初中數學中的數學描述側重于粗糙描述與直觀描述，而高中數學側重于精確的量化描述.比如：對函數增、減性的描述.初中用中文描述，y隨x的增大而增大，表示增函數圖像.而高中用“任取x1、x2∈I，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”，顯然量化標準大大增強了，為學生的學習增加了難度.

二是知識容量與難度大幅度增加.初中3年完成6本書的學習，而高中3年要完成10本書的學習，況且知識的難度也有很大提高，學習數學能力的要求也需要提高.所以若不注重初三與高中的銜接，有些學生到了高中學習時就顯得很被動.

三是思維方式更加理性.在初中階段，解決數學問題的思維方式常常是感性、直觀的，特別是幾何問題的解決，過分依賴于圖形的準確性探究結論與思路.而高中數學問題的思維方式常常是理性、嚴謹的，面對高中代數描述的抽象性，必須依靠嚴謹的演繹推理，面對立體幾何需要空間想象能力，面對解析幾何則需要坐標化的定量方法.

從以上初、高中數學的這些不同點看出：從初中到高中，無論從數學知識上還是從思想方法上都呈現出很大的跨度，若不在初三開始銜接，就會讓相當一部分學生很難通過這種跨度，從而導致高一學生在數學學習中嚴重分化，較長時間不適應高中的學習，出現數學成績下降與心理上的不自信.所以在初三滲透初、高中的銜接是必須的，唯有這樣，才能讓高中教學有主動權，為學生盡快適應高中數學的學習奠定基礎.

二、銜接的實踐

1.知識點上的銜接

從高中數學教學的實際情況來看，相當多的知識點在初中沒有納入中考要求或要求較低，這樣就給高中教學帶來了一些困難.所以在初三教學中，應該把相關知識點納入教學計劃，當然是在不影響中考的前提下進行.主要的知識點如下：絕對值、立方和（差）公式、因式分解中的十字相乘法、分組分解法、二次三項式的雙根式法（二次函數雙根式）；韋達定理、平行線等分線段；平行線分線段成比例定理；梯形中位線定理、四點共圓的判定與相關性質；射影定理、相交弦定理、弦切角定理、切割線定理.這些知識點在中考中沒有要求，而高中數學中又必須用到，若不銜接，就會出現這些知識點的脫節.實踐證明，在初三教學中進行適度的銜接是可行的.不但不影響中考，而且還有助于中考成績的提高.比如：十字相乘法，在解一元二次方程時，能用十字相乘法的，若用公式法解，將會增加運算量，而用十字相乘法解卻很容易，特別是在解含參數的一元二次方程時，用十字相乘法解，會事半功倍，而用公式法解，常因為含參代數式開方出錯.比如：2011年北京中考第23題第一問就涉及解一元二次方程mx2+（m-3）x-3=0，顯然用十字相乘法解占優勢.2014年朝陽一模第23題第二問，也涉及解一元二次方程mx2-3（m+1）x+2m+3=0，而且在各地中考與模擬試題中經常出現.所以在初三做好這些知識點的銜接，何樂而不為呢？關于射影定理、相交弦定理、切割線定理、弦切角定理等知識，在解題時可以考慮先證明再用.這樣既可以強化證明相似三角形的方法，又能彌補上這些知識點，可謂：“一箭雙雕”.對于其他知識點，可以作為專題講座進行，特別是四點共圓與韋達定理，這兩個定理作為專題講座，重點強化其應用，讓學生體會到應用的優越性.用四點共圓求解問題，可以回避一些相似三角形的證明，應用韋達定理求解相關問題，可以回避求根的運算，還可以體現整體代入的思想方法.

2.思想方法上的銜接

（1）適時關注感性思考向理性思考的過渡.

數學思想方法貫穿于數學的始終.因此，數學思想方法的銜接是極其重要的.從總體上來看，初中學生習慣于老師總結的定勢思維套路，而且含有較重的感性、直觀的成分，而高中數學的思維方法，更加理性、靈活、抽象.從此意義上看，在初三教學中，應該抓住時機培養學生理性分析問題和解決問題的能力和方法.

（2）適時關注常用數學思想方法的銜接.

眾所周知，數形結合、分類討論、轉化與化歸、函數與方程、換元法、消元法、配方法、待定系數法、整體法、構造法等是高中數學的重要數學思想方法.在當今中考形勢下，換元法、配方法、構造法比較淡化.比如：求二次函數的最值，絕大部分考生樂于用公式法求解，而不用配方法.事實上，用配方法求二次函數的最值，更容易從代數角度知道最值的所以然，而用公式法求，只是一種重結果的方法，不知其理由，且忽略了方法的形成過程，不利于與高中最值方法的銜接.所以筆者認為在初三教學求二次函數的最值時，應該強調配方法與圖像法.因為配方法能讓學生知其所以然，圖像法能讓學生領會到數與形的統一，為學生將來進入高中學習二次函數打下良好的基礎.

對函數與方程的銜接教學中，可以在“用函數觀點看一元二次方程”一節中，適度深化，可將簡單的二次方程實根分布納入教學計劃，旨在強化數形結合、函數與方程之間的關系，為學生學習高中的函數與方程打好基礎.關于構造法的銜接，可以在幾何、函數的教學中實施，在研究幾何變量之中可以建構函數，在證明相等關系中，建構全等三角形與相似三角形.在教學相似三角形與三角函數之后，布置一些課外思考題，讓學生構造相似三角形；在研究二次方程實根分布中，可建構二次函數；在研究代數最值問題時，可建構一個目標函數.比如：（1）設a-b=8，b-c=6，求ab+bc+ac的最小值；（2）設ab=8，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的最小值.（1）的解決思路是：通過消元法，將ab+bc+ac轉化為3b2+4b-48，于是可以構造一個二次函數y=3b2+4b-48，從而求出其最小值；對于（2），可以引入新變量x，設b-c=x，則可將a2+b2+c2-ab-bcac化為［（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2］=［64+x2+（8+x）2］=

x2+8x+64=（x+4）2+48，從而求出最小值.這兩題的題干中并沒有說“函數”一詞，而是運用恰當的數學方法，將其轉化為函數問題，然后構造目標函數，這無疑是強化構造法、消元法、配方法、換元法、函數思想的有效問題.關于其他數學思想方法，按中考要求，已經能達到銜接的效果了.

總之，上述思想方法的銜接要結合教材的知識體系，不但要在知識的形成過程中貫穿與提煉，而且要在知識體系的構建中適當深化.

（3）解題教學中的銜接.

解題教學是數學教學的核心環節之一，解題教學占據了數學教學的主陣地.所以在解題教學中實施銜接是重要突破口.首先，在精選例題與習題上，要緊扣知識與方法的銜接點，當然也不能離開中考的軌道；其次，在講授例題的教學中，做到自然拓展，逐步引申，讓數學思想方法的銜接在這種拓展過程中進行對接.比如，P為等邊△ABC內一動點，其邊長為2，求PA+PB+PC的最小值，其解決辦法是將△CAP繞C點沿順時針方向旋轉60°得到△CA′P′，連接PP′，可將PC與PA轉化為P′C、P′A′，從而可得PA+PB+PC的最小值為A′B=2.若到此為止，就浪費了本題在初、高中銜接上的教學價值.事實上可以拓展：（1）P為等邊△ABC內一動點，其邊長為2，求PA2+ PB2+PC2的最小值；（2）將等邊三角形換為直角三角形，請自行編制一題，提出類似問題，并提出解決思路.拓展（1）的解決思路如下所示.以BC邊的中點為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則點B（-1，0）、C（1，0）、A（0，）.設點P（x，y），則PA2+PB2+PC2=x2+（y-）2+（x+1）2+y2+（x-1）2+y2=3x2+3y2-2y+5=3x2+（y-1）2+4，則x=0、y=時，PA2+PB2+PC2取得最小值4.此題的解決可以達到兩個教學目標：（1）激發學生的思考欲望，從幾何的角度入手非常困難，面對這種困難，要學會變換思維的角度，從代數的角度思考，這有利于培養思維的靈活性與深刻性；（2）從思想方法的角度看，原題展現了幾何的變化技巧與化歸技巧，而拓展（1）卻展現了坐標化（即代數化）的技巧，實現了數形統一的數學思想，從中滲透了解析法的思路，這有利于高中解析幾何的教學，所以起到了自然銜接的作用.拓展（2）旨在順應學生的自我意識、獨立自主的心理特征，培養學生獨立思考、獨立設計數學問題的意志品質，也是為高中數學教學的自主學習提供了前奏曲.

又比如：關于x的方程x2-x+m=0有兩個均大于-1的不等實根，求實數m的取值范圍.

拓展1：關于x的方程（x2-1）2-（x2-1）+m=0有4個不等實根，求實數m的取值范圍；

拓展2：關于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+m=0有8個不等實根，求實數m的取值范圍.（注：這是筆者在2014年2月27日西城區公開課的教學片斷）

拓展3：（課后思考）討論關于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+ m=0的實根的情況.

通過本題的教學，可以達到如下目標.

（1）強化轉化與化歸思想的應用，將方程問題轉化為函數問題，再將函數問題轉化為圖像問題，這正是高中數學所必須學習的方法；

（2）從拓展問題可進一步體會到轉化思想的應用價值，通過換元法，將高次方程轉化為低次方程，將解一個復雜的方程轉化為解兩個較簡單的方程，實現了復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化的轉化目標；

（3）通過圖形特征代數化的抽象概括過程，強化數形結合的思想，從中領悟到數形之間的等價轉化關系.

對于拓展（3），旨在使學生的學習內容彈性化，突出學生的個性化選擇，為培養尖端學生提供素材，滿足學生發展自我的心理需求，也是強調在分類討論、數形統一、函數與方程中的銜接.

總之，在初三數學教學中要精選和設計具有銜接價值的典型例題與習題，充分發揮其深刻的教學價值，自然地架起初中數學通往高中數學的橋梁.美國著名的數學教育家波利亞說得好：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域”.所以在例、習題的教學中，既要體現初中教學的重點要求和方法，又要根據銜接的需要，發揮例、習題在銜接方面的教學價值.比如通過第一個例題的學習，把學生引領到幾何與代數兩個領域，后者體現與高中解析法的銜接；通過第二個例題的學習，把學生引領到“函數與方程思想”“轉化思想”“數形結合思想”“換元法”等不同數學思想方法的學習中，題組的坡度明顯，循序漸進，讓學生“跳一跳夠得著”.無論是從知識點（實根分布）上還是從數學方法方面都體現了較好的初、高中銜接，發揮了例、習題各方面的價值.

三、銜接的成效與思考

1.銜接的成效

筆者通過一年的教學實踐，取得了一定的成效.

（1）從學生反饋的信息來看.學生在評教作文中寫到：“唐老師不僅教給我們做題，更教給我們如何思考”“他布置的作業永遠是最適量的，雖然時多時少，但少的時候是要我們探索每一題的精華，多的時候需要我們進行鞏固，不打好基礎，又如何攀登高峰？”.這說明在初、高中銜接的教學中，讓學生學到了數學的思維方法，銜接教學沒有加重學生的課業負擔與心理負擔，是在學生可以接受的狀態下進行的銜接教學，學生的收獲是比較顯著的.

（2）從中考成績來看.兩個班共82人參加中考，平均分112.5分，其中滿分（120分）2人，119分1人，118分4人，117分2人，116分8人，115分7人，總計115分以上24人，約占30%，110分以上的70人，約占85%.從這些成績可以看出：在初三教學中進行銜接教學，有助于中考成績的提高，有助于尖端學生的培養.銜接讓他們的個性化發展得到充分體現，讓他們的數學思維得到鍛煉和提高，更讓學生們學習數學的能力得到展現和提升.銜接不但為學生參加中考提供了正能量，還更有助于他們在高中階段的學習，為他們在高中數學的學習奠定良好的基礎.

2.幾點思考

在初三一年的銜接中，剛開始也有一些顧慮和問題：銜接是否會影響學生的中考成績？銜接的難度控制在什么程度？高中的內容是否下放？銜接的度如何把握？以中考為主還是以銜接為主？這樣就給銜接教學提出了值得研究與思考的課題，在此，提出以下幾點想法與思考.

（1）銜接的難度應適度控制.

銜接的難度調控，一方面要根據生源的構成進行調控；另一方面要依據中考要求.筆者所任教的兩個班的學生沒有參加競賽的任務，所以按照學校的要求，結合班里的具體情況，把難度控制在以中考水平為主，適當延伸與拓展，不刻意追求難度的拔高.在初三上學期教學即將結束時，個別學生的數學能力發展特別超前，比如張卓敏同學的數學思考力超越了本班其他同學的水平，不適合本班的教學難度，所以筆者極力推薦他到競賽班去學習，后來到了競賽班，最終獲得了全國競賽一等獎.因此，銜接的難度的把握很重要，對此，筆者設計了問卷調查學生，獲得了絕大部分學生的贊同，然后就堅持把教學內容把握在此難度上.

（2）初、高中銜接不等于把高中數學內容簡單下放.

實施初、高中的銜接是知識上與方法上的銜接，不是把高中數學內容簡單下放，不是提前學習高中數學，應該是為學生后續高中學習數學作一些鋪墊.其原因如下.

把高中數學內容下放，勢必加重學生的課業負擔.學生的接受能力畢竟受年齡的影響.學生的可接受能力可能沒有達到學習高中數學所應有的智力水平.所以學習高中數學可能會加重負擔.

高中數學內容下放，會影響高中的正常教學.如果學生提前學習了高中數學，那么升入高中后，高中數學的知識點對學生的學習就沒有任何新鮮感，學習的內驅力就會打折扣，還會導致厭惡心理的產生，這樣就會影響學習效果.

高中數學內容下放，會影響到正確的知識體系的建構，因為高中的知識點之間是相互聯系的.比如講某個知識點，可能會涉及其他多個知識點.如果不講相關知識點，就只是囫圇吞棗，只知其然，不知其所以然.比如：經常有老師講由兩直線垂直就可以得到k1k2=-1，然后將結論用在解題中，而事實上，學生根本沒有直線的傾斜角、直線的斜率的概念.如果講斜率，又涉及任意角的三角函數，所以沒有那么多的時間給學生講清楚知識形成的來源去脈.這樣讓學生不理解、不消化去吸收新知識，對學生建構正確的數學知識結構是有害無益的，這是典型的只重結果不要過程的教學，脫離了數學教學的本質.

高中數學內容下放的條件有三個：一是生源很好；二是可以整班直升高中；三是不參加年級統考或區統考.要提前學習高中數學的課程，必須在學好初三課程后，在還有精力和時間的條件下進行.基于此，需要學生的智力因素與非智力因素都很強，才能高速度完成初三學習內容，計劃出學習高中課程的時間，如果整個班直升高中，就可以直接接上初三的進度進行高中數學教學，這樣就不會影響正常的教學進度.由于本班的教學進度快，所以不能參加統考，可以單獨考試，有富余的時間用于數學競賽與大學自主招生的輔導.這樣讓學生在參加數學競賽與大學自主招生考試中有主動權.

綜上所述，初、高中的銜接是一項比較復雜的系統工程，不但涉及初三的整個數學課程計劃，而且還涉及高中的數學課程計劃.在當今新課標下，知識與方法嚴重脫節，所以銜接的任務相當繁重，必須在初三開始，結合具體的知識與方法的教學實際，將銜接自然地滲透在其中，既不影響中考，又能體現銜接，從而達到良好的銜接效果.