串珠成線選情境，漸次展開求簡約
——以“一元二次方程（第1課時）”教學為例

☉江蘇省海安縣李堡鎮初級中學 曹海燕

串珠成線選情境，漸次展開求簡約
——以“一元二次方程（第1課時）”教學為例

☉江蘇省海安縣李堡鎮初級中學 曹海燕

最近，南通市李庾南實驗總校舉行首屆賽課活動，筆者有幸參加了初中數學賽課活動，執教了“一元二次方程（第1課時）”，得到評委老師的好評，本文呈現該課的教學設計和課堂生成，并給出教后反思，與同行交流.

一、“一元二次方程（第1課時）”教學設計

1.教學目標

（1）引導學生類比一元一次方程，定義一元二次方程的相關概念，并熟悉一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.

（2）結合開平方運算，引導學生發現特殊形式的一元二次方程的“直接開方法”，并進一步探索出“配方法”.

（3）踐行“自學·議論·引導”教學法，使學生通過本課的學習知道一元二次方程全章學習的路徑，學會自主學習.

2.重點、難點

教學重點：類比定義出一元二次方程的相關概念；發現特殊形式的一元二次方程的配方解法.

教學難點：特殊形式的一元二次方程的配方解法.

3.教學流程

活動一：問題情境

引例：用一根長為24m的繩子圍出一個長方形.

（1）當圍成一個正方形時，它的面積是多少？

（2）當長是寬的2倍時，長和寬各是多少？此時面積是多少？

（3）當它的面積是32m2時，長和寬各是多少？

預設意圖：第（1）問學生會用小學階段熟悉的算術方法解答；第（2）問可以引導學生用七年級的一元一次方程來解，目的是喚起學生回顧一元一次方程的相關概念，為后續類比定義一元二次方程奠定基礎；第（3）問是為安排學生列一元二次方程“x2-12x＋32＝0”服務，從而引入新知.

活動二：類比歸納

引導學生類比一元一次方程定義一元二次方程，即只含有一個未知數，未知數的最高次數是2的整式方程稱一元二次方程.接著引導學生回顧一元一次方程的一般形式，定義一元二次方程的一般形式.

練習：下列方程是一元二次方程嗎？請說明理由.

（1）x2＋2x＝0；（2）3x＋2＝5y-3；（3）x（x＋3）＝5；（4）4x2＝9.

活動三：探究解法

回到引例：用一根長為24m的繩子圍出一個長方形.

（1）當圍成一個正方形時，它的面積是多少？

預設追問：能否用方程求解？設邊長為xm，得x2＝36；得出開方法解方程.接著變式如下，解方程：（1）4x2-36＝0；（2）（x-2）2=36；（3）x2-4x＋4＝36.然后回到開課階段的方程x2-12x＋32＝0.師生共同探究解法，發現一元二次方程的配方解法.

二、課堂生成片斷

1.開課階段

師生研究情境問題第（2）問.

生1：設寬為xm，則長為2xm，2x＋4x＝24，6x＝24，x＝4，2x＝8，所以長是8m，寬是4m.

師：（板書）2x＋4x＝24，6x＝24.

師：這是一個什么方程？

眾生：一元一次方程.

師：什么是一元一次方程？

生2：只含有一個未知數并且未知數的次數是1的方程.

師：（板書）一元一次方程的定義.

師生研究情境問題第（3）問.

師：請用方程解.

生3：x（12-x）＝32.

師：x表示什么？

生3：設長為xm，則寬為（12-x）m.

師：我們一起來化簡這個方程.

生4：12x-x2＝32.

師：這個方程和一元二次方程相同嗎？

眾生：不同.

師：哪些地方不同？

生4：x的指數不同，一個是1，一個是2.

師：那它們有相同的地方嗎？

生5：都是等式.

師：對，方程就是含有未知數的等式.還有需要補充的嗎？

生6：都含有未知數.

師：都有幾個未知數？

眾生：1個.

師：還有要補充的嗎？

生7：都是整式方程.

師：我們能給這樣的方程取一個名字嗎？

眾生：一元二次方程.

2.探究解法

師：（指著-x2＋12x-32＝0）解這道題現在有些困難，我們先回到引例第（1）問.請用方程解“（1）當正方形的面積是36m2時，它的邊長是多少？”

生8：設邊長為xm，則x2＝36.

師：好，我們就從這個方程開始研究一元二次方程的解法.

師：會解嗎？

生8：x＝±6.

師：方程有兩個解，我們分別寫成x1=6，x2=-6，由x2＝36到x＝±6是根據我們之前學的什么知識？

生8：開平方.

師：我們可以把這種解方程的方法叫做開方法.現在老師改變一下方程.

師：（板書）4x2-36＝0.（生獨立思考）

生9：4x2＝36，x2＝9，解得x＝±3，所以x1=3，x2=-3.

師：繼續改變，（x-2）2=36.（生獨立思考）

生10：x-2＝±6，x-2＝6或x-2＝-6，所以x1=8，x2=-4.

師：這個方程x2-4x＋4＝36，如何解呢？（生獨立思考）

生11：（x-2）2＝36，x-2＝±6，x-2＝6或x-2＝-6，所以x1= 8，x2=-4.

師：現在我們一起來看引例第（3）問得到的方程-x2＋12x-32＝0，為了解題方便我們把二次項的系數寫成正的，方程化解成x2-12x＋32＝0.（生獨立思考）

師：現在進行小組討論，找出這類方程的解法.（小組討論）

生12：x2-12x＋36-4＝0，x2-12x＋36＝4，（x-6）2＝4，x-6＝±2，x-6＝2或x-6＝-2，所以x1=8，x2=4.

師：你能講一下是怎么想的嗎？

生12：加36湊成平方的形式，原來是32，所以減4.

師：你能不能為這種方法取一個名字？

生12：就叫完全平方法吧！

師：好！就叫完全平方法，教材上稱之為配方法.

三、教后反思

1.研究教材，優選情境問題

應該承認，教材是眾多專家學者、名優教師精心打磨出來的課程資源，值得每一位老師認真研習.但是教材編寫也有優差之分，研讀教材時，對教材實行橫挑鼻子豎挑眼的態度不能說不對.即對任何教材，在教學之前應該懷有研究心.章建躍教授對時下流行的“情境引入”曾做出思辨，指出“對‘從現實引入’的更全面認識，應從數學知識的發生發展過程需要來考慮，這個‘現實’既可以是‘生活的現實’，也可以是‘數學的現實’”.正是基于上述觀點，我們沒有根據九年級教材上情境問題（用長為16cm，寬為12cm的長方形紙做一個無蓋的方盒），而上溯到七年級上冊教材上一個圍長方形問題.事實上，這并不是簡單的取舍，而是在試教階段，學生對九年級教材上兩個情境問題感覺較為困難，列出的一元二次方程化簡也有一定的難度，綜合考慮之后，決定選擇較為簡單的圍長方形問題.

2.經營“轉場”，追求簡約教學

文學、影視作品常常需要經營所謂的“轉場”，比如在兩個場景（即兩段素材）之間，采用一定的技巧實現場景或情節之間的平滑過渡，追求較好的轉場效果.可以發現，由于我們選擇了圍長方形這個情境問題，使得全課的各個環節都找到一個主線，并圍繞這根主線漸次展開，自然生長，各個環節也實現了平滑過渡，一定意義上追求了課堂教學的簡約化.當然，“簡約”不是簡單的壓縮和簡化，而是一種深廣的豐富，是寓豐富于簡單之中.

1.課程教材研究所.義務教育教科書·數學（九年級上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

2.章建躍.發揮數學的內在力量，為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（2）.

3.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

4.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

5.許衛兵.簡約：數學課堂教學理性回歸［J］.課程·教材·教法，2009（5）.

6.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.