“思辨課堂模式”下指數函數的教學及其反思

☉江蘇省蘇州實驗中學 章祥俊

·江蘇省蘇州市陳平名師工作室·

“思辨課堂模式”下指數函數的教學及其反思

☉江蘇省蘇州實驗中學 章祥俊

“思辨課堂模式”是筆者所在學校所屬的這個區級區域廣泛推行的一種教學形式，它的課堂設計主要有以下五個部分：情景創設、自主學習、合作思辨、成果展示及點評提升.它的核心思想是將第一思考時間還給學生；將第一表達機會還給學生；將第一認知反思過程還給學生.“數學+思辨”是該模式的基本構成形式.“思辨課堂模式”強調的是：要把學習中的發現、探究、思考交流等活動凸顯出來，使學生的學習更多地成為發現問題、分析問題以及解決問題的過程.筆者在江蘇省青年教師優秀課評比活動中，按照“思辨課堂模式”設計并實施了“指數函數”的教學，榮獲一等獎，得到了專家評委的贊譽.現呈現筆者的教學歷程、專家點評及教后的反思，希望能給您帶來啟示.

一、教學過程簡述

思辨1：定義的產生

教師：同學們，在前面的學習中，咱們已經把指數冪的運算從指數只能取整數推廣到了可以取有理數.我們一起來看這樣幾道題目.

投影：計算：（1）1.52·1.50.5；（2）1.55.1÷1.51.1；（3）（1.52.6）2.

（學生自主解答，教師投影學生的解題過程）

教師：能比較這三個結果的大小嗎？

（學生獨立思考，并在小組交流后展示探究成果）

學生1：我是使用計算器得到結果的.

（其他學生笑）

教師：還有其他方法嗎？

學生2：經過觀察，我發現它們的底數均為1.5，而指數2.5＜4＜5.2，所以有1.52.5＜1.54＜1.55.2.

（學生交頭接耳）

教師：為什么？能比較0.52.5、0.54、0.55.2的大小嗎？

（學生先在小組內合作探究，然后進行全班交流）

學生3：我們組的結果是0.52.5＞0.54＞0.55.2.

學生4：我們組也是.

（這時課堂氣氛已經相當活躍，學生都在努力向其他人展示自己的想法）

教師：1.52.5、1.54、1.55.2這幾個數是否與某個函數有關？

學生5：好像與函數y=1.5x有關.

教師：你是怎么想到這個函數的？

學生6：底數1.5是不變的，把這些不同的指數換成變量x，我就想到了函數y=1.5x.

教師：很好，以前我們見過這種類型的函數嗎？

學生7：課本第49頁，古蓮子14C的殘余量y與年數x之間的函數關系y=0.999879x也是這種形式的函數.

教師：還能舉出類似的函數例子嗎？

教師：很好，大家能歸納出這種函數的定義嗎？

設計意圖：立足學生已有的認知基礎，從學生已有的“指數冪的運算”入手，以“比較三個結果的大小”為抓手，激活學生的思維，讓他們在大小比較的方法獲得中，將前面遇到的知識進行整合，為新知的呈現奠定了堅實的基礎.

思辨2：定義的歸納

學生獨立思考，在小組交流后，展示歸納的結論：一般地，函數y=ax（a＞0，a≠1）叫做指數函數，它的定義域是R.

教師點評后問：為什么a＞0、a≠1呢？

學生在思辨后給出問題的答案：定義中指出了函數的定義域是R，所以規定a＞0，a≠1.

設計意圖：傳統的概念教學是教師直接給出定義，然后加上若干個注意點，強調若干個關鍵詞，這樣的“灌輸式”的學習方式剝奪了學生的“第一認知過程”，學生缺乏利用自己的認知經驗對實例的比較、分析、概括等思維思辨過程，不可能使實例成為理解概念的一種思維載體.建構主義主張概念教學應以學生已有的認知結構與新概念之間的不平衡，引起學生的注意，激發認知內驅力，即強調學習概念的“情境性”.當學生面臨問題：比較0.52.5、0.54、0.55.2的大小的時候，可以觀察到三個數的底數相同，而指數是不同的三個值，繼而把1.52.5、1.54、1.55.2抽象為函數y=1.5x，完成了第一次概括.在老師的引導下，學生舉出相同類型的幾個函數，進一步把它們抽象概括為函數y=ax（a＞0，a≠1），叫做指數函數，完成了第二次概括.這樣，學生在“比較大小”的任務驅動下，歸納出指數函數的概念，這個學習過程是“主動的”“思辨的”“建構的”，學生的學習充滿激情與張力，概念的學習是一個“形成的”過程.

思辨3：性質的探究

教師：同學們還可以從哪些角度繼續了解指數函數？

學生9：圖像.

（學生活動：畫出指數函數y=2x的圖像）

5分鐘后，小組之間通過多媒體展示等手段完成了畫圖（思辨、規范）的過程，得到了函數y=2x的大致圖像.在知道了指數函數圖像的大致畫法后，同學們很快得到了的大致圖像.

教師：觀察這些函數圖像的特征，你還有什么發現嗎？先獨立思考，然后在小組中交流，并做好全班展示的準備.

學生獨立思考，在小組活動、交流后，展示思辨的結果：①定義域為R；②圖像經過點（0，1）；③值域為（0， +∞）；④y=2x與y=的圖像關于y軸對稱.

教師：你能得到更一般的結論嗎？

學生10：能，指數函數y=ax（a＞0，a≠1）都具有性質①②③，y=ax與的圖像關于y軸對稱.

教師：為什么？

學生11：根據指數函數的定義，可從“數”與“形”兩個角度進行解釋……

教師：說的真好！還有補充嗎？

學生12：當a＞1時，圖像位于第一象限的部分隨著a的增大越來越陡（即增加的速度越來越快）.

教師：你真棒！課后，大家可以就這個話題繼續探究.

設計意圖：函數圖像的直觀感知是學生探究函數的性質的前提和基礎，筆者安排學生自主作圖并在小組和全班交流，為的是喚起學生獲取函數性質的一般經驗，讓指數函數所具有的性質在學生的作圖、交流中反復捶打，以形成一般性的結論，成就接下來的鞏固提升.

思辨4：簡單應用

教師：現在，你能解釋為什么1.52.5＜1.54＜1.55.2、0.52.5＞0.54＞0.55.2了嗎？

（利用實物展臺展示學生的解題結果，師生一起規范解答過程）

例比較下列各組數中兩個值的大小：

（1）0.5-1.2，21.5；（2）（a-1）2.5，（a-1）1.5（a＞1，a≠2）；（3）1.50.5，0.51.5.

教師投影例題，并請學生自主解答三道題目，教師巡視指導.最后，對這三題的解題過程進行了全班交流點評.

設計意圖：“比較大小”幾乎是這節課的主旋律，新知的引入借助這一“比較大小”引入，新知的鞏固又回歸到“大小的比較”上來，前后的呼應讓知識的生成與應用成為一個有機的整體，對學生大腦中的認知網絡的建構是十分有益的.

思辨5：課堂小結

教師：本節課同學們都有哪些收獲？

學生13：了解了指數函數的定義，知道了指數函數的部分性質.

學生14：可以應用指數函數的概念和性質解決一些比較大小之類的問題.

學生15：可以根據指數函數的圖像特征歸納出指數函數的性質并能運用性質解決相關問題.

教師：同學們今天的表現實在是太棒了，謝謝你們！請大家課后整理一下本節課所學內容.

設計意圖：課堂小結，為的是“顆粒歸倉”.意在將本節課的知識進行梳理，并盡可能地讓其融入到學生現有的知識結構之中，力求在知識的梳理與網絡的建構中，將本節課獲得的數學知識和形成的基本技能內化，提升他們分析問題和解決問題的能力.

二、幾點感悟

1.函數教學要注重認知方法的自然延續

這節課學習的是指數函數的定義及其性質，作為高中學生認知的第一個新的基本初等函數，其認知的方法完全延續了前面認知函數的方法.學生認知前面幾個函數，都經歷了獲取定義、建構圖形、歸納性質、鞏固應用的過程.這一認知函數的歷程，已經固化在學生的認知網絡之中，成為他們認知新的函數的基本方法.因此，本節課上，筆者尊重學生的認知規律，主動調取學生認知函數的經驗，讓他們沿著這樣的認知路徑，從不完全歸納中得出了指數函數的定義，進而通過作圖和讀圖讓他們自主歸納出性質，最后在鞏固應用中提升了對指數函數的認知.這樣的教學流程，順應了學生的學習渴求，在完全符合學生認知需求的情境中，完成了學習的任務.在高中階段，數學認知活動應充分考慮學生前學段獲取數學知識的方法的延續，對那些已經深深扎根的認知方法，我們在教學中應不斷強化，使其成為學生個性化的經驗，從而成就數學教學效益的擴散化.

2.即時追問要緊扣課堂教學的前進方向

在數學認知活動中，有些學生在教師預設的探究活動中，雖然能夠產生教師期待的生成，但對這一生成背后的數學原理并沒有清醒的認識.這就是我們常說的“知其然，但不知其所以然”.為此，在“思辨課堂模式”下，我們應緊緊把握教學進程，抓住每一個教學契機，適時地追問，讓學生在認知活動中明辨“是非”，理清生成的“來龍去脈”，為后續認知活動掃清“障礙”.本節課上，在教師追問三個式子的結果之間的大小關系后，結合前面獲得的幾個函數關系式，歸納出了指數函數的一般形式y=ax（a＞0，a≠1）.雖然教者期待的結果已經出現，但是很多學生對“規定a＞0，a≠1”是沒有清醒的認知的，此時，教者的追問“為什么a＞0，a≠1呢”將學生的思維引向了深刻，逼著學生對這一定義重新審視，推動著每一名學生對概念進行了更深層次的剖析.從教學的效果來看，教師的即時追問用在了關鍵時點上，成效顯著，恰到好處.

3.組內思辨要扎根釋疑解惑的關鍵節點

俗話說，話越說越清，理越辯越明.學生獲得知識或技能的過程，充滿著各種各樣的“誘惑”，有些是順應知識生成所需的，有些恰是與知識獲得背道而馳的.因此，在這一過程中，可以借助小組討論這一方式，對這些誘惑進行“思辨”.當學生的認知陷入困境時，即時的小組討論讓學生在組內分享各自探究的經驗，形成思維的碰撞，以有效的“思辨”促成學生對概念的生成與應用的精準定位，讓知識在思辨間有效融合，進一步推動新知識融入到學生的已有認知網絡中.在這節課上，先后安排了5次小組交流，這5次有效的“思辨”促進了知識的生成和應用提升，鍛煉了學生的數學思維，培養了學生的學習習慣.在常態教學中，為了培養學生思維的嚴謹性，我們應讓學生不斷經歷這種這種依托小組交流進行的思辨過程.此外，這種借助組內交流進行的思辨，幾乎每一名學生都能積極參與到課堂活動中來，大幅提升了課堂教學的成效，充分彰顯了思辨課堂模式的優越性.

三、反思提升

這節課的備課時間不是很長，但課后思考的問題一直很多：重點、難點的處理是否得當？問題提問的時機恰當與否？每個學生是不是都能積極思辨，是不是都學有所得，他們到底得到了哪些？學生在掌握知識的同時，學習能力是否有所提升？

帶著對這些問題的思考，并結合現場評委老師的點評，筆者在繼續講授這一節內容時，對所任教的兩個班級采用了不同的引入方式：比較大小和實例引入的模式，在課后對學生的問卷調查中，學生普遍認為第一種引入方式更能激發他們的學習興趣，引發他們的思考，第二種引入方式有意思但顯得有些突兀.在畫函數的圖像及歸納性質部分采取了不同的處理方法：思辨課堂模式和傳統模式，學生普遍認為第一種模式課堂環境民主、寬松，能在合作共贏中豐富學習經驗、提高學習能力，積累了研究對數函數、冪函數的經驗和方法，第二種模式學得輕松，解答題目的正確率和速度有一定提升，但總感覺缺少了學習的“感覺”.

四、寫在最后

新授課的教學要慢.不少教師有豐富的教學經驗，但學生是新手，學生對所要學的知識是陌生的.一些問題教師感覺簡單，但學生可能感覺困難.課堂教學中，教師要精煉語言，提問的問題要有針對性，努力激發學生的思維力，要給學生充足的思考時間，努力讓學生經歷“再創造”的過程，增強其再學習的能力.教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞.總之，要理解學生、理解教學，變數學知識冰冷的美麗為學生火熱的思考，讓學生做學習過程中的“真正的主人”.

1.邢瑋.“指數函數”的教學設計與反思［J］.中學數學月刊，2012（2）.

2.邢瑋，章建躍.遷思回慮，一得之功——對“指數函數（第一課時）”教學設計的再思考與評析［J］.中國數學教育（高中版），2013（1）.

3.葛衛國，單成香.緊扣核心主線實現有效教學——“指數函數”教學實踐與思考［J］.中國數學教育（高中版），2012（10）.