巧借基礎拓展提高

顧紅松

相比初中數學，高中數學的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統性、理論性、抽象性的應用要求加大，因而，不少在初中時學習成績優秀的學生，進入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認真踏實，但成績還是停滯不前，再加上高中新學的數學知識與初中所學的知識銜接不緊，于是不少學生產生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學習來說關系不大，初中的知識算是白學了.因此，他們對學習失去了信心，進而產生消極怠慢的厭學情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學習也是如此，沒有一點一點的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎？又怎能奢望在此基礎上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數學的基礎不可能有高中數學的提高.現就解析幾何中的幾個知識點的學習，談談如何更好地運用初中知識解決高中數學中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領學生走出思想的誤區，提升學習信心，激發學習興趣.

解析幾何的核心是用代數方法研究幾何圖形，其實際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數思想有效的結合，這將對該部分的學習起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學直線的基礎上對直線的進一步的系統的學習，在學習的過程中常會遇到一些有關對稱問題，不少學生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學的對稱問題主要有四種類型：點關于點對稱，線關于點對稱，點關于線對稱，線關于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學習，可引導學生換角度去思考，讓學生結合以前所學的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學生自然會想到初中所學的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實際就是這兩種對稱的延伸.運用直觀形象的方法幫學生復習兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導學生將作圖過程代數化，讓知識更形象化，使得復雜問題更簡單，讓學生更深刻地體會到初中基礎對高中進一步學習的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點的位置.相對照，通過作圖學生可得出一致的結論，這兩題實際上是同一類題.

解設點A關于l的對稱點位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點Q，使得Q到A及

點C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數的角度來研究圓，在這一章節的學習中若能將初高中知識有機的結合，對這部分的學習將有很好的幫助.

1.圓方程及點與圓的位置關系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關研究點和圓的位置關系時，涉及到過圓內一點最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點在圓上找一點到該點的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現初中知識的優越性.

案例2過點P（1，1）的直線將圓形區

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學生在看到該題時易陷入思維誤區，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發現，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達到最小，由此想到過圓內一點的圓的最短弦所對的弓形.本題的實際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關問題

本章中對于直線與圓的位置關系從幾何和代數兩方面進行了研究，用代數方法解決這類問題較直接，方法單調，易掌握，但運算量較大，很多學生花了很多時間卻算了一個錯誤的結果，得不償失.若能將初中所學的知識在這兒靈活地應用，將會達到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標系xOy中，直線l過點P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求PA·PB的值.

分析學生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點坐標，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發現PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點為坐標原點，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點，想到連結P和圓心C的一定直線，構造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎決定上層，細節決定成敗，初中數學知識是高中數學學習的基礎，只有建立在牢靠的基礎上，才能建成萬丈高樓.

相比初中數學，高中數學的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統性、理論性、抽象性的應用要求加大，因而，不少在初中時學習成績優秀的學生，進入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認真踏實，但成績還是停滯不前，再加上高中新學的數學知識與初中所學的知識銜接不緊，于是不少學生產生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學習來說關系不大，初中的知識算是白學了.因此，他們對學習失去了信心，進而產生消極怠慢的厭學情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學習也是如此，沒有一點一點的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎？又怎能奢望在此基礎上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數學的基礎不可能有高中數學的提高.現就解析幾何中的幾個知識點的學習，談談如何更好地運用初中知識解決高中數學中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領學生走出思想的誤區，提升學習信心，激發學習興趣.

解析幾何的核心是用代數方法研究幾何圖形，其實際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數思想有效的結合，這將對該部分的學習起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學直線的基礎上對直線的進一步的系統的學習，在學習的過程中常會遇到一些有關對稱問題，不少學生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學的對稱問題主要有四種類型：點關于點對稱，線關于點對稱，點關于線對稱，線關于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學習，可引導學生換角度去思考，讓學生結合以前所學的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學生自然會想到初中所學的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實際就是這兩種對稱的延伸.運用直觀形象的方法幫學生復習兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導學生將作圖過程代數化，讓知識更形象化，使得復雜問題更簡單，讓學生更深刻地體會到初中基礎對高中進一步學習的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點的位置.相對照，通過作圖學生可得出一致的結論，這兩題實際上是同一類題.

解設點A關于l的對稱點位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點Q，使得Q到A及

點C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數的角度來研究圓，在這一章節的學習中若能將初高中知識有機的結合，對這部分的學習將有很好的幫助.

1.圓方程及點與圓的位置關系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關研究點和圓的位置關系時，涉及到過圓內一點最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點在圓上找一點到該點的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現初中知識的優越性.

案例2過點P（1，1）的直線將圓形區

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學生在看到該題時易陷入思維誤區，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發現，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達到最小，由此想到過圓內一點的圓的最短弦所對的弓形.本題的實際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關問題

本章中對于直線與圓的位置關系從幾何和代數兩方面進行了研究，用代數方法解決這類問題較直接，方法單調，易掌握，但運算量較大，很多學生花了很多時間卻算了一個錯誤的結果，得不償失.若能將初中所學的知識在這兒靈活地應用，將會達到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標系xOy中，直線l過點P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求PA·PB的值.

分析學生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點坐標，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發現PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點為坐標原點，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點，想到連結P和圓心C的一定直線，構造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎決定上層，細節決定成敗，初中數學知識是高中數學學習的基礎，只有建立在牢靠的基礎上，才能建成萬丈高樓.

相比初中數學，高中數學的容量大，涉及面廣，難度深，知識的系統性、理論性、抽象性的應用要求加大，因而，不少在初中時學習成績優秀的學生，進入高中后成績卻不盡人意，盡管他們比初中更認真踏實，但成績還是停滯不前，再加上高中新學的數學知識與初中所學的知識銜接不緊，于是不少學生產生了這樣消極的想法：初中知識對于高中的學習來說關系不大，初中的知識算是白學了.因此，他們對學習失去了信心，進而產生消極怠慢的厭學情緒.俗話說“萬丈高樓平地起”，對知識的學習也是如此，沒有一點一點的知識的積累，怎么會有牢固的知識基礎？又怎能奢望在此基礎上建成更高、更漂亮的建筑.沒有初中數學的基礎不可能有高中數學的提高.現就解析幾何中的幾個知識點的學習，談談如何更好地運用初中知識解決高中數學中的一些難理解的知識、難計算的題目，帶領學生走出思想的誤區，提升學習信心，激發學習興趣.

解析幾何的核心是用代數方法研究幾何圖形，其實際是初中平面幾何的一個延伸.教者若能將初中平面幾何的知識與高中代數思想有效的結合，這將對該部分的學習起到不可估量的作用.

一、解析幾何中的有關對稱問題

解析幾何的初步是在初中已學直線的基礎上對直線的進一步的系統的學習，在學習的過程中常會遇到一些有關對稱問題，不少學生對這類問題的解決感到困難，無從下手.高中所學的對稱問題主要有四種類型：點關于點對稱，線關于點對稱，點關于線對稱，線關于線對稱.類型不多，但方法較難掌握，對這部分知識的學習，可引導學生換角度去思考，讓學生結合以前所學的知識，通過比較的方法，概括辨析四種類型有沒有相似之處.通過對比學生自然會想到初中所學的兩種對稱：軸對稱和中心對稱，而上面所涉及的四種對稱實際就是這兩種對稱的延伸.運用直觀形象的方法幫學生復習兩種對稱的作圖方法，作圖步驟，學生自然深刻地理解并掌握這類題型的解法.通過對初中作圖題的回顧，逐步引導學生將作圖過程代數化，讓知識更形象化，使得復雜問題更簡單，讓學生更深刻地體會到初中基礎對高中進一步學習的重要性.

案例1在直線l：3x-y-1=0上求一點P，使得P到A（4，1）和B（3，4）的距離之和最小.

分析這題可與初中的一道作圖題：在公路l的同側有兩個工廠A、B，要在公路邊建一個貨場C，使工廠A、B到貨場C的距離之和最短，請畫出C點的位置.相對照，通過作圖學生可得出一致的結論，這兩題實際上是同一類題.

解設點A關于l的對稱點位M（x，y），有3x-y+9=0且x+3y=7，解得M（-2，3），所以直線MB為：x-5y+17=0，與直線l聯立方程組解得P（117，267）.

思考如何在l上求一點Q，使得Q到A及

點C（-3，2）距離之差最大.

二、解析幾何中的圓，直線與圓的有關問題

解析幾何中還有一種類型也是初中幾何的延伸，那就是圓.圓在高中階段起著很重要的作用，初中是從幾何學的角度研究圓，而高中主要是借助于方程從代數的角度來研究圓，在這一章節的學習中若能將初高中知識有機的結合，對這部分的學習將有很好的幫助.

1.圓方程及點與圓的位置關系

圓方程的引入則是從定義入手，直接引入，在有關研究點和圓的位置關系時，涉及到過圓內一點最長的弦和最短的弦問題以及過圓外一點在圓上找一點到該點的距離最短和最長問題，利用初中的平面幾何的知識直接解決，比用高中知識更簡捷更直觀，更能體現初中知識的優越性.

案例2過點P（1，1）的直線將圓形區

域{（x，y）|x2+y2=9}分成兩部分，使得兩部分的面積之差最大的直線方程為 .

分析學生在看到該題時易陷入思維誤區，如何更快更精確地求出直線所分兩部分的面積，成了一大難題.換位思考，即可發現，兩部分的總面積一定，面積差最大，則兩部分中的面積小的達到最小，由此想到過圓內一點的圓的最短弦所對的弓形.本題的實際即求過P的圓的最短弦所在的直線方程.

答案： x+y-2=0.

思考：求面積之差的絕對值最小的直線方程.

2. 直線與圓的有關問題

本章中對于直線與圓的位置關系從幾何和代數兩方面進行了研究，用代數方法解決這類問題較直接，方法單調，易掌握，但運算量較大，很多學生花了很多時間卻算了一個錯誤的結果，得不償失.若能將初中所學的知識在這兒靈活地應用，將會達到事倍功半的效果.

案例3（2014屆南通二模21C）：平面直角坐標系xOy中，直線l過點P（0，1），曲線C的方程為x2+y2-2x=0，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求PA·PB的值.

分析學生在看到試題時一下蒙了，這里并沒有告知其中任一交點坐標，A，B是在變化的，如何求PA·PB.冷靜思考后，發現PAB為圓的割線，初中講過切割線定理，這里只要求出過P的圓的切線長即可.

解法一由題可知，過點P與已知曲線C：（x-1）2+y2=1的相切的一條切線方程為x=0，切點為坐標原點，切線長為1，由切割線定理有， PA·PB=1.

分析考慮到曲線C為定圓，P為定點，想到連結P和圓心C的一定直線，構造出圓的一條定割線.

解法二連接PC并延長交圓C于D 、E兩點，由切割線定理，有PA·PB=PD·PE.曲線C可變形為（x-1）2+y2=1，C（1，0），半徑r=1，PC=2，所以PA·PB=PD·PE=（PC-r）（PC+r）=PC2-r2=2-1=1.

基礎決定上層，細節決定成敗，初中數學知識是高中數學學習的基礎，只有建立在牢靠的基礎上，才能建成萬丈高樓.