勾股定理在生活中的應(yīng)用

遲明

勾股定理也稱畢達(dá)哥拉斯定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，完美地體現(xiàn)了“數(shù)形統(tǒng)一”的數(shù)學(xué)思想，將初中幾何與代數(shù)很好地聯(lián)系起來. 而且在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用，可以解決許多日常生活中的應(yīng)用問題. 下面我們具體來看看勾股定理在生活中是如何應(yīng)用的.

首先，來看看古代人是怎樣應(yīng)用勾股定理的.

例1 數(shù)學(xué)家程大位，在所著的《算法統(tǒng)宗》里有一道秋千問題：

平地秋千未起，踏板一尺立地，送行兩步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？

他的意思是：當(dāng)秋千靜止時(shí)，秋千的踏板離地的距離為1尺，將秋千的踏板往前推兩步（這里的每一步為5尺），秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，當(dāng)時(shí)秋千的繩索是直線狀態(tài)，現(xiàn)問這個(gè)秋千的繩索有多長？

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，再在直角三角形中運(yùn)用勾股定理構(gòu)建方程求解.

說明：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理解決問題.

例3 如圖3，長方體的底面邊長分別為1 cm和3 cm，高為6 cm. 如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要______cm；如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要______cm.

【分析】要求最短細(xì)線的長，得先確定最短線路，于是，可畫出長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短，結(jié)合勾股定理求得.若從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，即相當(dāng)于長方體的側(cè)面展開圖的一邊長由3+1+3+1變成n（3+1+3+1），同樣可以用勾股定理求解.

解：如圖4，依題意，得從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，最短距離為AB，此時(shí)，由勾股定理，得AB==10，即所用細(xì)線最短為10 cm.

若從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，則長方體的側(cè)面展開圖的一邊長由3+1+3+1變成n（3+1+3+1），即8n，由勾股定理，得=，即所用細(xì)線最短為 cm，或2 cm.

說明：對(duì)于從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B的最短細(xì)線不能理解為就是n個(gè)底面周長.

最后，勾股定理在交通問題中的應(yīng)用.

例4 在某段限速公路BC上（公路視為直線），交通管理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過60千米/時(shí)，并在離該公路100米處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測點(diǎn)A. 在如圖5所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在A的北偏東45°方向上，另外一條高等級(jí)公路在y軸上，AO為其中的一段.

（1） 求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2） 若一輛大貨車在限速路上由C處向西行駛，一輛小汽車在高等級(jí)公路上由A處向北行駛，設(shè)兩車同時(shí)開出且小汽車的速度是大貨車速度的2倍，求兩車在勻速行駛過程中的最近距離是多少？

【分析】（1） 要求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，只要分別求出OB和OC即得.

（2） 為了求解，可設(shè)大貨車行駛到某一時(shí)刻行駛了x米，則此時(shí)小汽車行駛了2x米，于是利用勾股定理可求出兩車距離關(guān)于x的表達(dá)式進(jìn)而求得.

解：（1） 在Rt△AOB中，因?yàn)椤螧AO=60°，所以∠ABO=30°，所以O(shè)A=AB，而OA=100，所以AB=200，由勾股定理，得OB===100. Rt△AOC中，∠CAO=45°，所以O(shè)C=OA=100.

所以B（-100，0），C（100，0）.

（2） 設(shè)大貨車行駛到某一時(shí)刻行駛了x米，則此時(shí)小汽車行駛了2x米，且兩車的距離為y==，顯然，當(dāng)x=60時(shí)，y有最小值是=20米，即兩車相距的最近距離為20米.

說明：本題在求最近距離時(shí)，一定要注意正確理解代數(shù)式的意義，注意到（x-60）2的最小值是0.

其實(shí)，“生活中處處有數(shù)學(xué)”，只要我們平時(shí)留心身邊的實(shí)際問題，就會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，再借助學(xué)過的知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，便可順利解決.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校）