數學的學術形態向教育形態的轉化

楊雪金

摘 要：數學問題的解決過程本質上是人們在面對新的數學問題時，運用已有的數學知識，包括數學語言、概念、定理、法則和范例等，通過冷靜思考，仔細分析，將原問題轉化為與之相關的自己熟悉的問題去加以解答.結合教學的具體實例，將高中數學教學中的常見轉化歸納為四類，力求將數學的學術形態轉化為教育形態.具體為：將隱性條件轉化為顯性條件；將復雜條件轉化為簡單條件；將抽象條件轉化為數學圖象；將應用問題轉化為數學建模.

關鍵詞：高中數學；學術形態；教育形態；轉化思想；應用

數學問題的解決過程本質上是人們運用已有的數學知識尋求所面對的數學問題的答案的過程.這些數學知識包括了數學語言、概念、定理、法則和范例等.

作為一種基本的數學思想，“轉化”在高中數學的教學中隨處可見.且不說三角函數中的和差化積、積化和差以及其他的三角恒等變化，單是《普通高中數學課程標準（實驗）》中直接提到的“轉化”就包括了以下內容：將一般對數轉化成自然對數或常用對數、將自然語言轉化為圖形語言和符號語言、將具體問題的程序框圖轉化為程序語句、將實際問題轉化為數學問題等等.因此，引導學生運用轉化思想來解決數學問題，應當是高中數學教學中的重要目標之一.

這種將未知問題轉化為熟知可解問題的思想方法，說到底就是化“生”為“熟”，見新思故，就是通過冷靜思考，仔細分析，將原問題轉化為與之相關的自己熟悉的問題去加以解答.梳理高中數學解題中蘊含的轉化思想，筆者覺得大致可以從以下幾個方面去化生為熟，將生問題轉化為熟問題.

一、將隱性條件轉化為顯性條件

很多數學概念有其隱含條件.比如，解三角形時，若其中有一個角是直角或鈍角，另兩個角則必為銳角.又如，求PA+PB的最小值時，要善于挖掘兩點之間線段最短.解題時，應引導學生將題目中概念的隱含條件轉化為顯性條件，直接作為已知條件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：剛學習組合數這一概念時，有的學生不經思考就直接套用公式，當然是徒勞無功.其實，按照組合數的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），這就是學生熟知的知識點，卻是隱含于題目中.當學生能夠完成這一隱性到顯性的轉化時，自然不難得出n=6.這樣，原題即轉化為C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值為31.

二、將復雜條件轉化為簡單條件

如，在解方程、解不等式時，可靈活地轉化為函數的關系，又如，將超越式化為代數式、無理式化為有理式、分式化為整式、多元式化為一元式、高次化為低次；在立體幾何中常把空間問題轉化為平面問題等等，都是將復雜轉化為簡單.

例2.設不等式2x-1>m（x2-1）對滿足m≤2的一切實數m的值都成立，求x的取值范圍.

分析：原題看似一個關于m的一次不等式，解題時就要對x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分別進行討論，計算繁瑣，而且容易出錯.考慮到題目中m≤2的條件，再將原不等式簡單變形，我們可以把原題轉化成一個等價命題.即關于m的一次函數f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定義 三、將抽象條件轉化為數學圖象

四、將應用問題轉化為數學建模

比如，測量一個建筑物的高度，或測量河對岸兩點間的距離，可以轉化為解斜三角形的問題.又如，銀行的復利、等額還款的一些問題可以轉化為數列問題。

例4.如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB.小區的兩個出入口設置在點A及點C處，且小區里有一條平等于BO的小路CD.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長.（精確到1米）（2008年上海高考卷第17題）

分析：這是一道典型的數學應用題.命題者已經初步給我們建立了數學模型.結合高中所學知識，學生應該易于將此問題轉化為解斜三角形的問題.經過轉化之后，學生不必被原題中的時間與速度所困擾，而只需尋找三角形中邊與角之間的關系了.由題可知CD和DA的長度及角O的度數，利用題中的平行條件即可知道∠ADC的度數.聯系它們之間的關系就是兩邊夾角，就不難想到這時利用余弦定理解斜三角形的問題.有了模型，解題就方便了，只要找出三角形，這道題就迎刃而解了.

答：該扇形的半徑OA的長約為445米.

在數學教學中，我們需要不失時機地滲透轉化思想，將數學的學術形態轉化為教育形態，不但教會學生基礎知識與基本能力，而且培養學生的轉化意識，優化學生化生為熟的思維品質，體驗“量的關系與空間形式”（恩格斯語）之美，感受數學的學科魅力，真正提高學生的數學素養.

參考文獻：

[1]林清.淺談轉化思想方法在高中數學解題中的應用.福建教育學院學報，2008（12）.

[2]魏華斌.數學中常用的5種轉化思想.湖北職業技術學院學報，2008（03）.

[3]李智.例談轉化思想在立體幾何教學中的運用.新課程研究：基礎教育，2009（06）.endprint

摘 要：數學問題的解決過程本質上是人們在面對新的數學問題時，運用已有的數學知識，包括數學語言、概念、定理、法則和范例等，通過冷靜思考，仔細分析，將原問題轉化為與之相關的自己熟悉的問題去加以解答.結合教學的具體實例，將高中數學教學中的常見轉化歸納為四類，力求將數學的學術形態轉化為教育形態.具體為：將隱性條件轉化為顯性條件；將復雜條件轉化為簡單條件；將抽象條件轉化為數學圖象；將應用問題轉化為數學建模.

關鍵詞：高中數學；學術形態；教育形態；轉化思想；應用

數學問題的解決過程本質上是人們運用已有的數學知識尋求所面對的數學問題的答案的過程.這些數學知識包括了數學語言、概念、定理、法則和范例等.

作為一種基本的數學思想，“轉化”在高中數學的教學中隨處可見.且不說三角函數中的和差化積、積化和差以及其他的三角恒等變化，單是《普通高中數學課程標準（實驗）》中直接提到的“轉化”就包括了以下內容：將一般對數轉化成自然對數或常用對數、將自然語言轉化為圖形語言和符號語言、將具體問題的程序框圖轉化為程序語句、將實際問題轉化為數學問題等等.因此，引導學生運用轉化思想來解決數學問題，應當是高中數學教學中的重要目標之一.

這種將未知問題轉化為熟知可解問題的思想方法，說到底就是化“生”為“熟”，見新思故，就是通過冷靜思考，仔細分析，將原問題轉化為與之相關的自己熟悉的問題去加以解答.梳理高中數學解題中蘊含的轉化思想，筆者覺得大致可以從以下幾個方面去化生為熟，將生問題轉化為熟問題.

一、將隱性條件轉化為顯性條件

很多數學概念有其隱含條件.比如，解三角形時，若其中有一個角是直角或鈍角，另兩個角則必為銳角.又如，求PA+PB的最小值時，要善于挖掘兩點之間線段最短.解題時，應引導學生將題目中概念的隱含條件轉化為顯性條件，直接作為已知條件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：剛學習組合數這一概念時，有的學生不經思考就直接套用公式，當然是徒勞無功.其實，按照組合數的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），這就是學生熟知的知識點，卻是隱含于題目中.當學生能夠完成這一隱性到顯性的轉化時，自然不難得出n=6.這樣，原題即轉化為C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值為31.

二、將復雜條件轉化為簡單條件

如，在解方程、解不等式時，可靈活地轉化為函數的關系，又如，將超越式化為代數式、無理式化為有理式、分式化為整式、多元式化為一元式、高次化為低次；在立體幾何中常把空間問題轉化為平面問題等等，都是將復雜轉化為簡單.

例2.設不等式2x-1>m（x2-1）對滿足m≤2的一切實數m的值都成立，求x的取值范圍.

分析：原題看似一個關于m的一次不等式，解題時就要對x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分別進行討論，計算繁瑣，而且容易出錯.考慮到題目中m≤2的條件，再將原不等式簡單變形，我們可以把原題轉化成一個等價命題.即關于m的一次函數f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定義 三、將抽象條件轉化為數學圖象

四、將應用問題轉化為數學建模

比如，測量一個建筑物的高度，或測量河對岸兩點間的距離，可以轉化為解斜三角形的問題.又如，銀行的復利、等額還款的一些問題可以轉化為數列問題。

例4.如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB.小區的兩個出入口設置在點A及點C處，且小區里有一條平等于BO的小路CD.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長.（精確到1米）（2008年上海高考卷第17題）

分析：這是一道典型的數學應用題.命題者已經初步給我們建立了數學模型.結合高中所學知識，學生應該易于將此問題轉化為解斜三角形的問題.經過轉化之后，學生不必被原題中的時間與速度所困擾，而只需尋找三角形中邊與角之間的關系了.由題可知CD和DA的長度及角O的度數，利用題中的平行條件即可知道∠ADC的度數.聯系它們之間的關系就是兩邊夾角，就不難想到這時利用余弦定理解斜三角形的問題.有了模型，解題就方便了，只要找出三角形，這道題就迎刃而解了.

答：該扇形的半徑OA的長約為445米.

在數學教學中，我們需要不失時機地滲透轉化思想，將數學的學術形態轉化為教育形態，不但教會學生基礎知識與基本能力，而且培養學生的轉化意識，優化學生化生為熟的思維品質，體驗“量的關系與空間形式”（恩格斯語）之美，感受數學的學科魅力，真正提高學生的數學素養.

參考文獻：

[1]林清.淺談轉化思想方法在高中數學解題中的應用.福建教育學院學報，2008（12）.

[2]魏華斌.數學中常用的5種轉化思想.湖北職業技術學院學報，2008（03）.

[3]李智.例談轉化思想在立體幾何教學中的運用.新課程研究：基礎教育，2009（06）.endprint

摘 要：數學問題的解決過程本質上是人們在面對新的數學問題時，運用已有的數學知識，包括數學語言、概念、定理、法則和范例等，通過冷靜思考，仔細分析，將原問題轉化為與之相關的自己熟悉的問題去加以解答.結合教學的具體實例，將高中數學教學中的常見轉化歸納為四類，力求將數學的學術形態轉化為教育形態.具體為：將隱性條件轉化為顯性條件；將復雜條件轉化為簡單條件；將抽象條件轉化為數學圖象；將應用問題轉化為數學建模.

關鍵詞：高中數學；學術形態；教育形態；轉化思想；應用

數學問題的解決過程本質上是人們運用已有的數學知識尋求所面對的數學問題的答案的過程.這些數學知識包括了數學語言、概念、定理、法則和范例等.

作為一種基本的數學思想，“轉化”在高中數學的教學中隨處可見.且不說三角函數中的和差化積、積化和差以及其他的三角恒等變化，單是《普通高中數學課程標準（實驗）》中直接提到的“轉化”就包括了以下內容：將一般對數轉化成自然對數或常用對數、將自然語言轉化為圖形語言和符號語言、將具體問題的程序框圖轉化為程序語句、將實際問題轉化為數學問題等等.因此，引導學生運用轉化思想來解決數學問題，應當是高中數學教學中的重要目標之一.

這種將未知問題轉化為熟知可解問題的思想方法，說到底就是化“生”為“熟”，見新思故，就是通過冷靜思考，仔細分析，將原問題轉化為與之相關的自己熟悉的問題去加以解答.梳理高中數學解題中蘊含的轉化思想，筆者覺得大致可以從以下幾個方面去化生為熟，將生問題轉化為熟問題.

一、將隱性條件轉化為顯性條件

很多數學概念有其隱含條件.比如，解三角形時，若其中有一個角是直角或鈍角，另兩個角則必為銳角.又如，求PA+PB的最小值時，要善于挖掘兩點之間線段最短.解題時，應引導學生將題目中概念的隱含條件轉化為顯性條件，直接作為已知條件.

例1.求C17-n2n+C3n13+n的值.

分析：剛學習組合數這一概念時，有的學生不經思考就直接套用公式，當然是徒勞無功.其實，按照組合數的概念，Cmn中n≥m（m，n∈N），這就是學生熟知的知識點，卻是隱含于題目中.當學生能夠完成這一隱性到顯性的轉化時，自然不難得出n=6.這樣，原題即轉化為C1112+C1819，再套用公式，容易求得其值為31.

二、將復雜條件轉化為簡單條件

如，在解方程、解不等式時，可靈活地轉化為函數的關系，又如，將超越式化為代數式、無理式化為有理式、分式化為整式、多元式化為一元式、高次化為低次；在立體幾何中常把空間問題轉化為平面問題等等，都是將復雜轉化為簡單.

例2.設不等式2x-1>m（x2-1）對滿足m≤2的一切實數m的值都成立，求x的取值范圍.

分析：原題看似一個關于m的一次不等式，解題時就要對x2-1>0，x2-1=0，x2-1<0分別進行討論，計算繁瑣，而且容易出錯.考慮到題目中m≤2的條件，再將原不等式簡單變形，我們可以把原題轉化成一個等價命題.即關于m的一次函數f（m）=m（x2-1）-（2x-1）在定義 三、將抽象條件轉化為數學圖象

四、將應用問題轉化為數學建模

比如，測量一個建筑物的高度，或測量河對岸兩點間的距離，可以轉化為解斜三角形的問題.又如，銀行的復利、等額還款的一些問題可以轉化為數列問題。

例4.如圖，某住宅小區的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB.小區的兩個出入口設置在點A及點C處，且小區里有一條平等于BO的小路CD.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長.（精確到1米）（2008年上海高考卷第17題）

分析：這是一道典型的數學應用題.命題者已經初步給我們建立了數學模型.結合高中所學知識，學生應該易于將此問題轉化為解斜三角形的問題.經過轉化之后，學生不必被原題中的時間與速度所困擾，而只需尋找三角形中邊與角之間的關系了.由題可知CD和DA的長度及角O的度數，利用題中的平行條件即可知道∠ADC的度數.聯系它們之間的關系就是兩邊夾角，就不難想到這時利用余弦定理解斜三角形的問題.有了模型，解題就方便了，只要找出三角形，這道題就迎刃而解了.

答：該扇形的半徑OA的長約為445米.

在數學教學中，我們需要不失時機地滲透轉化思想，將數學的學術形態轉化為教育形態，不但教會學生基礎知識與基本能力，而且培養學生的轉化意識，優化學生化生為熟的思維品質，體驗“量的關系與空間形式”（恩格斯語）之美，感受數學的學科魅力，真正提高學生的數學素養.

參考文獻：

[1]林清.淺談轉化思想方法在高中數學解題中的應用.福建教育學院學報，2008（12）.

[2]魏華斌.數學中常用的5種轉化思想.湖北職業技術學院學報，2008（03）.

[3]李智.例談轉化思想在立體幾何教學中的運用.新課程研究：基礎教育，2009（06）.endprint