如何在數學教學中點亮學生思維的火花

孫嵐++++陳國良

摘 要： 教師在數學在課堂上要盡量給學生營造寬松的、有利于發揮學生創造力的環境，給予他們創造性嘗試的機會，還要摒棄“教師講學生聽”的觀念，樹立“師生共同探索”的觀念，把課堂還給學生.本文從營造開放性學習環境，養成主動的思維習慣，善待“錯誤資源”，激活學生思維；抓住“斷章取義”，完備學生思維這三個方面闡述了如何點亮學生在課堂上的思維火花，讓學生養成良好的思維習慣.

關鍵詞： 數學教學 主動思維習慣 激活思維 完備思維

我們在課堂上應盡量給學生營造寬松的、有利于發揮學生創造力的環境，給予他們創造性嘗試的機會，對于學生富有創意，別出心裁的解題方法及解題思路給予充分肯定，讓學生意識到自己內在的無窮力量，也從老師的肯定中體驗到創造和成功的樂趣.因此，我們在教學中要摒棄“教師講學生聽”的觀念，樹立“師生共同探索”的觀念，把課堂還給學生.真正實現在教師的參與、指導和建議下，學生積極主動、創造性地獲取知識和應用知識，在活動中發展創新精神和創新能力.

一、營造開放性學習環境，養成主動的思維習慣

一個問題的標準答案可能只有一個，但思考途徑卻是多種多樣的，解題教學應提倡這種多樣性.要發展學生的創造性思維、批判性思維及反省性思維等高層次思維能力，他就應該從更多的角度看問題，感受更多的問題情境.別人的不同思路可能正是自己應該開發而尚未發現的盲點，而自己的思路也可能成為他人關注的焦點.因此，讓學生敞開心扉、各抒己見，將自己真實的解題思路及想法說出來，形成充滿對話、交流甚至辯論、爭執的開放性情境，完全有實施的必要和可能.

在一節三角函數的習題課中，我選擇了下面這道例題：求函數y=■的值域.

本來打算兩邊同乘以1+cosθ，從三角函數的有界性方面進行引導，可是當兩邊同乘以1+cosθ之后，同學們還是沒有思路，無法繼續操作下去。這時下面有幾個學生說：“化齊次式，化齊次式”，這完全是與我預期的思路相違背的.本來備把學生的思想引回來，轉念一想，讓他們說吧，看看能說出些什么來，于是讓他們說我板書，把“1”配成“sin■■+cos■■”，“sinθ”，“cosθ”用兩倍角公式展開，

得y=■=-■tan■■+2tan■-■.

轉化為關于tan■的一元二次函數，接下來解一元二次函數的值域.

師：很好，怎么會想到這個方法？

生：看到分式就想到了齊次式，轉化為只有一個變量.

師：很好，那么還有沒什么其他方法？（想把他們引回原來的思路上）

沉思了一會，一生說：看成斜率.

師：好的，請說說看.（看到學生又有新的思想，很興奮）

生：原式變形為y=2■，看成點P（cosθ，sinθ）和點Q（-1，■）連線的斜率的2倍，作單位圓x■+y■=1和點Q（-1，■），P在圓上移動，求得PQ與圓相切時斜率為■，得k■∈（-∞，■]，所以y∈（-∞，■].

師：請學生繼續思考，還有沒有什么方法可以解決這個問題？

學生陷入思考狀態.

師提示：值域的本質是什么？是不是就是y的范圍？當直接從x出發求值域不好處理是，我們是不是也可以構造關于y的解析式解不等式？

這時候有個別學生很興奮，他說：“分母乘過去也可以做.”

師：繼續說.

生：兩邊同乘以1+cosθ，得（1+cosθ）y=2sinθ-1，即2sinθ-ycosθ=y+1，即■sin（θ+？漬）=y+1，即sin（θ+？漬）=■再由|sin（θ+？漬）|≤1得|■|≤1就可以解出y的范圍了.

思維是從問題開始的，沒有問題，也就難以誘發思維和激發出求知欲望，感覺不到問題的存在，也就不會思考，思維也就無法積極主動地展開.因此在數學教學中，教學要通過提出啟發性問題或質疑性問題，創設新異的教學情境，給學生創造良好的思維環境，讓學生經過思考、分析、比較加深對知識的理解.

二、善待“錯誤資源”，激活學生思維

如果學生的思路是基于獨特創造的精彩見解，那么很易得到教師的首肯，并作為一種解題的創新途徑加以推廣，其自身的價值也就順理成章得以升華.但當學生的想法是一種錯誤理解或是一種暫時難辨真偽的模糊表征時，教師多半會流露出厭煩的情緒，傾向于采用簡單否定的處理方式.豈不知這樣就失去了一次識別學生對知識理解、概括程度的絕好機會，也就喪失了引導學生進一步建構良好知識結構的機會.其實，學生錯誤或模糊的思維正反映了他們當前的認識沖突，或知識遷移上的障礙所在.教師完全可以將其作為衡量學生發展狀態的一個參照系，作為洞察、開發、利用學生發展潛能的有效工具.如：已知數列{a■}和{b■}都是等差數列，S■和T■分別是它們的前n項和，若■=■，求■.

生1：因為■=■，可設S■=4n+3，T■=2n+5，于是a■=S■-S■=4，b■=T■-T■=2，所以■=2.

生2：剛才的結論對，但解法不對，因為■=■，不能得到S■=4n+3，T■=2n+5，應設S■=k（4n+3），T■=k（2n+5），于是a■=S■-S■=4k，b■=T■-T■=2k，所以■=2.

師：生1和生2人解法不同，但結論相同，他們的解法對嗎？

生3：都不對，等差數列的前n項和是一個不含常數項的一元二次函數，而他們設的都是一次式，應設為S■=kn（4n+3），T■=kn（2n+5），從而得到a■=63k，b■=35k，故■=■.

師：很好，生3指出了生1和生2解法的錯誤所在，只有當等差數列是常數列時，才能將其前n項的和設為一次的形式，而本題并沒有這樣的條件，因此生1和生2都犯了偷換題設的錯誤.其原因在于對等差數列的前n項和的特征認識不到位，生3抓住了等差數列前n項的和的本質特征，給出的解法非常好.endprint