“小學數學解題研究”課程的幾點教學思考

熊禮勤

【摘要】 本文針對學生在解題過程中的盲目試探和面對智力問題的困惑，探討理性觀察和分析問題的方法，提出有效地找尋問題求解思路及解決問題的途徑.

【關鍵詞】 小學數學；解題研究

引 言

“小學數學解題研究”是?？茢祵W師范類專業的一門必修課程，其教學目的培養學生將來從事小學數學解題和競賽指導的能力，對提高學生從事小學數學教師職業所必備的綜合素質與專業化水平等方面具有其他課程所不能替代的重要作用. 主要是探討小學數學習題和競賽題目的類型、結構、解法、編制方法，使學生在數學思想方法上得到啟發，在數學解題方法上得到訓練，進一步提高學生的數學素養和素質，為將來從事小學數學的教學工作打下堅實的基礎.

盡管學生對小學數學常用的解題方法和基本題型有所了解，能夠解答常見題型，但遇到競賽性質的題目或較新穎的實際問題，解題起來仍然存在很多困難，從筆者對高師學生上課給出的反饋結果來看，第一種情況是遇到問題盲目試探和無從下手. 而給出解答，他們又覺得方法很簡單. 第二種情況是我講解一類型題目后，學生不能舉一反三，甚至還不能舉一反一. 這里就有一個值得研究的問題：問題和已知方法、知識如何有效銜接？合理地觀察分析問題顯然起著至關重要的作用. 有關解題方法的書籍很多都給出了觀察分析問題的思路或角度，但是針對具體問題，到底選擇哪個角度作觀察？如果一一嘗試，耗時費力，效率太低，甚至會干擾解題. 因此，筆者在教學中十分注意引導學生理性地觀察、分析問題，探索有效的解題方案.

1. 觀察分析問題的狀態和本質，聯想相關知識和類似方法

理解題意不能只停留在將條件翻譯為數學式子、作圖等表面工作上，而必須在此基礎上進一步觀察題目條件對應的數、式，尋找與熟悉知識相關的各種聯系和特征. 較好地把握題目的整體狀態、結構和本質，從而正確地聯系相關知識和方法，找到有效的解題方案.

例1 六時整，時鐘的分針與時針在一條直線上，問至少經過多少分鐘，兩針重合？

分析 將鐘面圓等分為12等份，每一份看作一個行程單位，則本例可以與追擊問題相類比：“甲、乙兩人同時相向而行. 甲在乙前面6個單位的路程，甲每小時行1個單位的路程，乙每小時行12個單位的路程. 如果同時出發，要經過多少時間乙才能追上甲？”可以列式如下：6 ÷ （12 - 1） = ■（時）.

2. 觀察分析問題的特殊性，尋求解題方案的突破

當題目條件較多或較復雜時，不分主次地一一做仔細分析不僅耗時太長，而且可能會干擾學生尋找正確的解題途徑. 如何理性而有效地選準觀察目標，快捷地找到解題突破口？從題目中較特殊、較突出的條件著眼觀察，效果往往很好. 從有關定理中挖掘出一些隱含信息，因此，從這個能挖掘出隱含信息的條件入手，尋找解題的突破口.

例2 500名同學站成一排，從左到右“1、2、3”報數，凡報到1和2的離隊，報3的留下，向左看齊后，再重復同樣的報數過程，如此進行了若干次后，只剩下兩名同學了. 這兩名同學在開始的隊伍中，位于從左到右的第幾個？

分析 第一次報數，3 × 1，3 × 2，3 × 3，…，3 × 166；

第一次報數，9 × 1，9 × 2，9 × 3，…，9 × 166；

第一次報數，27 × 1，27 × 2，27 × 3，…，27 × 166；

……

解：第一次報數：500 ÷ 3 = 166……2，留下166人；

第一次報數：166 ÷ 3 = 55……1，留下55人；

第一次報數：55 ÷ 3 = 18……1，留下18人；

第一次報數：18 ÷ 3 = 6，留下6人；

第一次報數：6 ÷ 3 = 2，留下2人.

所以，最后留下的兩名同學的編號是3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 1 = 243和3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 486.

3. 觀察分析問題是尋求解題方案的關鍵所在

理性地觀察題目的狀態和結構，選準問題的突破口，對于提高解題的有效性和準確性尤為重要. 教師在解題教學中，不僅要傳授給學生常用的數學思想和解題方法，更要重視培養學生的觀察能力，以達到提高解題能力的目標.

例3 （一） 一個大正方形由9個同樣的小正方形拼成. 一條直線穿過它們，最多可以穿過多少正方形？如果是16、25個呢？能否找出規律？

（二）一個大正方體由27個同樣的小正方形緊密地搭成. 一條直線穿過這幾個大正方形體，這條直線最多可以穿過多少個小正方體？如果是64呢，能否找出規律？

解 （一）（1）我們先從最簡單的開始，如果只有一個正方形，一條直線要穿過它，由觀察可知，它要穿過兩條邊，這是顯見的.

（2）如果是由4個正方形組成的圖形（見下圖1），我們可以采用將大正方形“打散”成很靠近的四個獨立正方形. 這樣，一條直線穿過原先的大正方形最多穿過的邊有最外面的邊——2條，里面的邊共有2 + 2 = 4條邊. 因此共有6條邊被穿過，按照（1）的討論，即可得出最多可穿過6 ÷ 2 = 3個正方形.

（3）如果是9個正方形組成的圖形，可采用類似的辦法將其“打散”成很靠近的9個獨立的正方形. 這樣總共有2 + 2 × 2 + 2 × 2 = 10條邊被穿過，因此最多有5個正方形被穿過.

（4）很明顯如果是16個正方形，則有2 + 2 × 3 + 2 × 3 = 14條邊被穿過，也即有7個正方形被穿過. 如果是n2個正方形，則有2 + 2（n - 1） + 2（n - 1） = 4n + 2條邊被穿過，最多有2n + 1個正方形被穿過.

（二）對于立方體的處理，可類似如平面圖形的處理辦法. 只是將上述解法中的線改成面. 同樣，一條線要穿過一個正方體最少需穿過正方體的兩個面，因此對于8個小正方體組成的立方體“打散”后共有2 + 2 + 2 + 2 = 8個面被穿過，也即最多有4個正方體被穿過. 如果是27個正方體則最多有（2 + 2 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2） ÷ 2 = 7個被穿過，如果是64的話，有10個. 如果是n2個正方體的話最多有[2 + 2（n - 1） + 2（n - 1） + 2（n - 1）] = 3n - 2個正方體被穿過.

4. 觀察分析問題，通過先特殊后一般的方法，來尋求解題方案的突破

通過觀察題目的結構，采取先簡單后復雜、先特殊后一般的辦法來尋求問題的解決，對于提高解題的有效性和準確性尤為重要. 教師在解題教學中，不僅要傳授給學生思想方法和常用解題方法，更要重視培養學生的分析問題的能力，以達到“授之以漁”的目標.

例4 如圖，一個居民小區縱橫各有6條街道. 某人要從西北方向前往東南方向，走的方向只能向東或向南，一共有多少種走法？

分析 如果一開始就直接進行解決，可能由于圖形的復雜，容易造成計算的混亂，最終導致解題的失敗. 而我們如果從最簡單開始，逐步推進，問題便可解決. 我們分析順序可從最簡單的“口”字型（1 × 1型）（見圖一）開始，到“日”字型（1 × 2型）（見圖二）、“目”字型（1 × 3型）（見圖三）、“田”字型（2 × 2型）（見圖四）等，問題得以解決.

解 對于“口”字型（1 × 1型），顯然有2種走法；對于“日”字型（1 × 2型），有3種走法；對于“目”字型（1 × 3型），也易得有4種走法；同理，對于1 × 4型的有5種走法.

圖一 圖二 圖三 圖四

有了這些做基礎，我們可以對復雜圖形進行計算. 如 “田”字型（2 × 2型）可分解為兩個“日”字型，所以有6種走法；2 × 3型（見圖五），可以分解為1 × 3型與2 × 2型，因此有10種走法.3 × 3型可分解為兩個2 × 3型，所以有20種走法. 以此推算，4 × 4型可以分解為兩個3 × 4型. 而每一個3 × 4型可以分解為3 × 3型和2 × 4型，同理2 × 4型可分解為1 × 4型和2 × 3型，所以4 × 4型有2 × （20 + 10 + 5） = 70種走法. 對于題中5 × 5型，可分解為兩個4 × 5型. 以下部分解略.

圖五

通過這道題可以看出，小學競賽題看似難，實際上如果我們抓住了題目的“牛鼻子”，也就能化難為易.

總之，對于小學數學中的競賽題目的處理一方面要立足于數學思想方法的應用，用近現代數學思想方法來統領問題解決. 另一方面，我們也應該對問題進行仔細觀察. 觀察分析問題是尋求解題方案的關鍵所在，理性地觀察題目的狀態和結構，選準問題的突破口，對于提高解題的有效性和準確性尤為重要. 教師在解題教學中，不僅要傳授給學生常用的數學思想和解題方法，更要重視培養學生的觀察能力，以達到提高解題能力的目標.

【參考文獻】

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