應用性問題中常見的數學建模

宋娜 曹占營

摘 要：本文緊扣數學建模，努力讓學生學會從實際問題中獲取信息，建立數學模型，分析問題與解決問題，明確數學建模和應用性問題教學的意義與中學應用性問題與數學建模的教學的基本原則.

關鍵詞：應用性問題；數學建模；數學教學

一、應用性問題與數學建模的教學的基本原則

著重發展學生能力，特別是應用能力，包括：計算、推理、空間想象以及辨明關系、形式轉化、駕馭計算工具、查閱文獻、口頭和書面的分析與交流。

強調計算工具的使用：不僅在計算過程中，而且在猜想、探索、爭辨、發現、模擬、證明、作圖、檢驗中使用。

強調學生的積極性與主動性：教師不應只是講演或者總是正確的指導者，還可以扮演不同的角色：問原因，找漏洞，督促學生弄清楚，說明白，完成進度.評判學生工作及成果的價值、意義、優劣，鼓勵學生有創造新的想法和做法。

結合學生實際水平，分層次逐步推進，結合正常教學的教材內容，結合正常的課堂教學在部分環節切入應用和建模內容。

二、應用性問題中常見的建模

隨著教育改革的深入，新的課程標準的出臺，強調了知識的應用，數學源于實際問題的應用題驟增，因而探討這類問題的解法具有重要的現實意義，數學建模就是將具有實際意義的應用問題，通過數學抽象轉化為數學模型，以求得問題的解決。實際問題是復雜多變的，數學建模較多的是探索性和創造性，但是數學應用性問題常見的建模方法還是有規律可以歸納總結的。

（一）建立幾何模型。諸如臺風、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算，作物栽培等傳統的應用問題，涉及一定圓形的性質，常需要建立相應的幾何模型，轉化為幾何或三角函數問題求解。

例1 足球賽中，一球員帶球沿直線L逼近球門AB，在什么地方起腳射門最為有利。

分析 這是幾何定位問題，畫出示意圖，如圖1：根據常識，起腳射門的最佳位置P應該是直線L上對AB張角最大的點，此時進球的可能性最大，問題轉化為在直線l上求點P，使∠APB最大，為此過A、B兩點作圓與直線L相切，切點P即為所求，當直線L垂直線段AB時，易知P點離球門越近，起腳射門越有利，可見“臨門一腳”的功夫現應包括選取起腳射門的最佳位置。

（二）建立方程模型。例2 如下左圖：某小區規劃在長為40M，寬為26M的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的甬道，使其中兩條與AB平行，其余部分種草.若使每一塊草坪的面積為144M，求甬道的寬度。

分析 如上右圖：作整體思考，設甬道的寬度為xm，則問題轉化為：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合題意舍去）。

（三）建立直角坐標系與函數模型。當變量的變化具有近似函數關系，或物體運動的軌跡具有某種規律時，可通過建立平面直角坐標系，轉化為函數圖象問題討論。

例3 有一批1米長的合金鋼材，現要截成長為27cm和13cm兩種規格，用怎樣的方案截取使材料利用率為最高？并求出材料最高利用率。

分析 作出直線 ■+■=12圖象，確定與直線最近的整數點（4，2），則4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率為98%。

（四）建立不等式模型。對現實生活中廣泛存在的不等量關系：如投資決策等可挖掘實際問題隱含的數量關系，轉化為不等式組的求解，目標函數在閉區間的最佳問題。

例4 某工廠有甲、乙兩種產品按計劃每天各生產不少于15噸，已知生產甲產品1噸需要煤9噸，電力4kw，勞力3個（按工作日計算），生產乙產品1噸需要煤4噸，電力5kw，勞力10個；甲產品美噸價7萬元，乙產品每噸價12萬元。如果每天用煤量不得超過300噸，電力不得超過200kw，勞力只有300個，問每天各生產甲、乙兩種產品多少噸，才能保證即完成生產任務，又能為國家創造更多得財富？

分析 設每天生產甲產品x噸、乙產品y噸，總產值為S萬元，依題意約束條件為■

目標函數為S=7x+12y。解方程組■

故當x=20，y=24時，Smax=7×20+12×24=428（萬元）.

答：每天生產甲產品20噸，乙產品24噸，這樣即保證完成任務，又能為國家創造更多的財富428萬元。

參考文獻：

[1] 李大潛.數學建模與素質教育[J]. 中國大學教學，2002，9（10）：33.

[2] 蘭永勝主編.數學思想方法與建模技巧[M].華東師范大學出64.