對“一腰長等于兩底之和”梯形性質的探究

王琦

〔關鍵詞〕 數學教學；梯形；性質；探究

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）18—0123—01

梯形是在學生了解了相交線、平行線、角、三角形、平行四邊形等相關知識的基礎上進行研究的一類特殊四邊形，它實際上是前面這些內容的綜合和拓展.筆者對人教版八年級教材上設置的一類特殊梯形問題進行了一些探究，有一些心得，與各位同仁交流.

問題1：如圖1，AB//CD，BE、CE分別為∠ABC、∠BCD的平分線，點E在AD上，求證：BC=AB+CD.

問題2：如圖2，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB+CD=BC，E是AD的中點， 求證：BE⊥CE.

一、解析

兩個問題在求證結論或已知條件中均有式子BC=AB+CD，由此猜想它們之間是否有某種聯系？

問題1：如圖3，在線段BC上截取BF=AB，連接EF.由AB=BF，∠1=∠2，BE公用，知ΔABE≌ΔFBE（SAS），所以∠AEB=∠FEB，AB=BF，AE=EF①；由AB//CD知∠ABC+∠BCD=180°，又BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠2+∠3=90°，由此∠BEF+∠FEC=90°，那么∠AEB+∠DEC=90°.聯系∠AEB=∠FEB可得∠FEC=∠DEC.再由∠3=∠4，CE公用可知ΔFEC≌ΔDEC（ASA），所以FC=CD，EF=ED②.所以BF+FC=AB+CD，即BC=AB+CD.

問題2：如圖4，延長BE交CD延長線于點F，由AB//CD得∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE，由E是AD的中點得AE=ED，因此ΔABE≌ΔDFE（AAS），所以AB=DF，BE=EF，所以CF=CD+DF=CD+AB.已知BC=AB+CD，故BC=CF，即ΔBCF是等腰三角形，由BE=EF得CE⊥BE（三線合一）.

二、歸納

1.解法比較.問題1采取“截長法”，綜合運用平行線的性質，角平分線定義，等角的余角相等等知識點，通過兩次三角形全等證明了結論； 問題2采取了“補短法”，綜合運用垂線性質，線段中點定義，通過三角形全等證明新構造的三角形為等腰三角形，再根據三線合一性質證明結論.

2.內在聯系.問題1的題設是“在梯形ABCD中，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上”，結論是“（1）BC=AB+CD；（2）E是AD的中點；（3）BE⊥CE”；問題2的題設是“在梯形ABCD中，AB//CD，BC=AB+CD，E是AD的中點（點E在AD上）”，結論是“（1）BE平分∠ABC，CE平分∠BCD；（2）BE⊥CE”.很顯然，有下列關系存在：在梯形ABCD中，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上? BC=AB+CD 且E是AD的中點，可見，它們是一對互逆命題.由以上討論知道，它們都是真命題.現概括如下：

定理1：如果梯形同一腰上兩個內角的平分線交點在另一腰上，那么此梯形一腰長等于兩底之和，兩內角的平分線的交點是另一腰的中點.

定理2：如果梯形一腰長等于兩底之和，那么該腰端點與另一腰中點的連線必平分同一腰上的兩個內角.

三、拓展

1.面積公式和中位線長.S梯形=腰長×高=中位線×高，其中位線長=腰長.

2.面積恒定與上下底長的可變性.對一般梯形而言，高不變時，如果上下底長度至少有一個量變化，則其面積會隨之變化；對滿足定理1、2的特殊梯形，當高不變時，如果把“另一腰”繞它的中點E順時針（逆時針）方向旋轉，它的面積恒定不變.

編輯：謝穎麗endprint