積累數學活動經驗，滲透函數思想方法

課前思考

“成正比例的量”是人教版六年級下冊第三單元教學的內容，這節課是在學生已經認識了比和比例的知識、常見的數量關系的基礎上進行編排的。這是一節概念課，通過本節課的學習，幫助學生理解正比例的意義，能找出生活中成正比例量的實例，并能應用知識解決一些實際問題，同時初步滲透函數思想。

本人曾多次執教過這節課，但每次總覺得課堂氣氛沉悶，學生的學習積極性不高，學生只是機械的跟著老師完成下面的教學環節：

教師出示例題中的表格，引導學生觀察并回答下列問題。

表中有哪兩種量？它們是相關聯的量嗎？

寫出幾組這兩種量中相對應的兩個數的比，并比較比值的大小。

這兩種量成正比例嗎？為什么？

思考一

“為什么？”——為什么要學習“正、反比例這部分的知識”？在六年級的教學內容中正比例和反比例一直是一個重要的內容，這部分內容肩負了幫助學生完成一次認識上飛躍的重要任務。學生將從大量對“常量”的認識經驗中逐步過渡到認識“變量”，這是函數思想滲透的重要契機。即“學習這部分的知識有助于逐步培養學生的代數思維，更好的實現小學與中學數學學習上的銜接”。

思考二

“是什么？”——這一知識的本質是什么？教材中用了一大段語言（共65個字）描述了成正比例的量和正比例關系，其實它就是學生今后要繼續學習的正比例函數的雛形，是研究兩個相關聯的變量之間的一種數學模型。說到函數，老師們可能并不陌生，雖然小學階段不出現函數這一概念，但在小學階段始終都滲透著函數思想，因為有變化的地方都蘊含著函數思想。

思考三

“怎么學？”——抓住本質，激活元認知，滲透函數思想。

函數的核心是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是‘過程，不變的是‘規律（關系）。”因此要為學生提供熟悉的、直觀的情境讓學生感悟生活中存在許多變化的量，而這些變化的量又有一定的聯系，如一個量的變化會引起另一個量的變化，而我們要探究的是相關聯的量的“變化規律”。

教學實踐：

（一）認識生活中變化的量，初步感知相關聯的量。

（1）師：同學們，在今年的春晚中有一個節目感動了全國許多的觀眾，它就是“時間都去哪兒了”。現在讓我們隨著音樂，再來欣賞一下這個節目。在欣賞的同時，請認真觀察，看看你能發現哪些數學信息。（課件出示5張大萌子成長的照片）

（2）學生觀察圖片并發現變化的量（年齡、身高）。

（3）把這些數據整理成表格，請看。

觀察表格，說說小女孩的身高是怎樣變化的？

師：（小結）身高隨著年齡的變化而變化，像這樣一種量的變化會引起另一種量的變化，在數學上我們把這樣的兩種量叫做相關聯的量。

（二）自主探究，學習新知。

1.聯系生活，進一步感知相關聯的量。

（1）在生活中，你還知道哪些兩種相關聯的量，能舉些例子嗎？

（2）老師也為大家提供了一些例子，你們能從中找到兩種相關聯的量嗎？

情境1：（圖片形式呈現）

師：看完了春晚，小明領到了1000元壓歲錢，正在計劃著怎么用。

計劃用去100元，還剩下900元。

計劃用去200元，他還剩下800元。

計劃用去300元，他還剩下700元。

情境2：圓的半徑和周長（課件動態呈現畫圓的過程）

情境3：行駛的汽車的視頻。

師：（小結）只要仔細觀察，生活中有很多像這樣相關聯的量，也就是一個量總是隨著另一個量的變化而變化。那么在變化的過程中他們有什么規律嗎？

2.探索相關聯的量，研究變化規律。

情境4：書本情境圖。

師：請同學們拿出答題卡1（例1），按照要求，填寫表格，并回答問題。

例1：

（1）請同學們根據圖中的信息填表格。

（2）觀察表格，說說你有什么發現？

師：現在，誰來說說你有什么發現？

師：是的，總價隨著本數的變化而變化，在這變化的過程中有什么是不變的嗎？

生：單價。

師：單價真的是不變的嗎？誰會用數據來說明？

生：15÷1=15（元），30÷2=15（元），

師： 這個比值15實際上表示什么？（單價）

師：他們的比值都是15，所以說比值相等，也可以說單價是一定的。

師：（小結）現在咱們來回顧一下，剛才是怎樣研究這道題的？

（1）通過觀察我們發現，總價和本數是兩種相關聯的量，總價隨著本數的變化而變化。（2）通過計算我們還發現，總價和本數的比值（單價）是一定的，也就是不管本數與總價怎樣變，但單價始終不變。

3.進一步探究，感悟成正比例的量。

（1）同桌合作探究。

師：你會用剛才這樣的方法來研究這些例子嗎？（有困難的同學，可以借助以下的問題進行研究？）

表格1 表格二

①表格中，有哪兩種量？它們是不是相關聯的量？

②寫出幾組這兩種量對應的兩個數的比？算一算他們的比值相等嗎？

（2）匯報交流（略）

（3）觀察比較，揭示規律。（課件：出示下面三個表格）

師：現在老師把剛才咱們研究的三件事放在一起，你有什么發現嗎？

生：事情不一樣，但它們的意思都一樣。

生：都是相關聯的兩個量，一個量變化，另一個量也隨著變化。

生：他們的比值是一定的。

師：說得真好，事情不一樣，但它們卻有共同的地方？

看！兩種相關聯的量，一種量變化另一種量也隨著變化，當他們相對應的比值一定時，我們就把這兩種量叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。（板書課題：成正比例的量）

4.歸納概括成正比例量。

（1）結合以上3個例子說一說誰和誰是成正比例的量，為什么？

（2）不用例子，你會用自己的語言說說什么是成正比例的量嗎？

（3）請翻開書P39頁，讀一讀書上的概念并會用字母表示。

5.用圖像表示成正比例的量。

（1）師：（課件出示坐標圖）你知道橫軸表示什么？縱軸表示什么嗎？

師：如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？

（2）師：仔細觀察，老師畫的跟同學們的有什么不一樣？（從零開始）

師：是啊，成正比例的圖像是經過原點的一條直線。

師：想象一下，如果這輛車一直開下去，會是怎樣的情形？

（3）師：不用計算，根據圖像判斷，如果汽車行駛2.5小時，路程是多少千米？

如果汽車行駛了360千米，用了多少時間？

小結：這條直線上的每一個點，都有一對數字與它一一對應。

三、鞏固應用，判斷成正比例的兩個量。（略）

教后反思

本節課學生對正比例關系的理解有了質的突破，關鍵是教師抓住了知識的核心，設計了有價值的探究活動，讓學生在觀察、比較、分析、抽象、概括的數學活動中建構知識體系，感悟函數思想方法。

1.激活經驗，直觀感知。

激活生活經驗，讓學生充分感知相關聯的量。學生舉例后，教師又提供了4組的例子，這些例子的呈現方式有靜態的圖片、動感的視頻等，從不同的視覺感官上激活學生的生活經驗，幫助學生直觀的感知一種量的變化會引起另一種量的變化。

2.自主探究，積累數學活動經驗。

“數學基本活動經驗”的內涵是“指學習主體通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的學習策略與方法。”本節課為學生提供了2次自主探究的機會，首先在例題的教學中，教師讓學生根據購買圖書的直觀圖和數據填表格，然后同桌交流“你能結合數據說說書的總價與數量是怎樣變化的嗎？”從學生的表現來看他們習慣比較兩個量的增減變化，習慣把兩個量進行四則計算。怎樣把學生的思維引到比較“比值”上呢？教師適時的追問很重要，如“在這變化的過程中有什么是不變的嗎？”“誰會用數據來說明”。通過追問，讓學生在思維的沖突中思考，不管數量與總價如何變，單價始終不變，并通過小結幫助學生完善探究的策略和方法。“你能用剛才的方法研究下面的題目嗎？”接著教師再次給足時間讓學生探究，學生在探究中進一步感悟相關聯的兩個量在“變化中的不變關系”，通過觀察、比較，突出了“成正比例的量”的本質特征，讓學生經歷了自主構建知識的過程，體會到數學知識是怎樣從具體的事物中抽象、概括出來的，做到知其然更知其所以然，而且積累了數學活動經驗。

3.數形結合，滲透函數思想方法。

本節課除了從“數”的角度引導學生感悟變量之間的相互依存關系；還從“形”的角度豐富學生的學習體驗，滲透函數思想方法。這是學生第一次接觸函數圖像，在此之前他們甚至都沒有見過圖像，不知道圖像是什么樣的，因此教師在這部分內容的教學中，大膽地為學生設計猜想、探究、實驗和驗證的活動，如：“如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？”“你們畫的圖與老師畫的有什么不同？”“如果這輛車一直行駛下去，會是怎樣的情形呢？”教師通過這些問題讓學生認識到正比例關系的圖像是一條經過原點的直線，它可以延伸，即不斷的運動、發展、變化。接著又通過一組的問題，如：“不計算，你能知道這輛汽車4.5小時行駛多少千米嗎？”“行400千米呢？”引導學生觀察發現，在這條直線上的每一個點都有一對數字與它一一對應。在圖像的觀察、繪制和分析中豐富對變化的認識，讓零散的連起來，讓靜止的動起來，讓變量之間的抽象關系顯得更加形象、直觀，這個過程就是函數思想方法滲透的過程。

【參考文獻】

[1]人教版數學六年級下冊《教師教學用書》

[2]劉加霞.《小學數學課堂的有效教學》

【作者簡介】

郭寶珠，福州金山小學副校長，小學中學高級教師。

（作者單位：福建省福州金山小學）

看！兩種相關聯的量，一種量變化另一種量也隨著變化，當他們相對應的比值一定時，我們就把這兩種量叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。（板書課題：成正比例的量）

4.歸納概括成正比例量。

（1）結合以上3個例子說一說誰和誰是成正比例的量，為什么？

（2）不用例子，你會用自己的語言說說什么是成正比例的量嗎？

（3）請翻開書P39頁，讀一讀書上的概念并會用字母表示。

5.用圖像表示成正比例的量。

（1）師：（課件出示坐標圖）你知道橫軸表示什么？縱軸表示什么嗎？

師：如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？

（2）師：仔細觀察，老師畫的跟同學們的有什么不一樣？（從零開始）

師：是啊，成正比例的圖像是經過原點的一條直線。

師：想象一下，如果這輛車一直開下去，會是怎樣的情形？

（3）師：不用計算，根據圖像判斷，如果汽車行駛2.5小時，路程是多少千米？

如果汽車行駛了360千米，用了多少時間？

小結：這條直線上的每一個點，都有一對數字與它一一對應。

三、鞏固應用，判斷成正比例的兩個量。（略）

教后反思

本節課學生對正比例關系的理解有了質的突破，關鍵是教師抓住了知識的核心，設計了有價值的探究活動，讓學生在觀察、比較、分析、抽象、概括的數學活動中建構知識體系，感悟函數思想方法。

1.激活經驗，直觀感知。

激活生活經驗，讓學生充分感知相關聯的量。學生舉例后，教師又提供了4組的例子，這些例子的呈現方式有靜態的圖片、動感的視頻等，從不同的視覺感官上激活學生的生活經驗，幫助學生直觀的感知一種量的變化會引起另一種量的變化。

2.自主探究，積累數學活動經驗。

“數學基本活動經驗”的內涵是“指學習主體通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的學習策略與方法。”本節課為學生提供了2次自主探究的機會，首先在例題的教學中，教師讓學生根據購買圖書的直觀圖和數據填表格，然后同桌交流“你能結合數據說說書的總價與數量是怎樣變化的嗎？”從學生的表現來看他們習慣比較兩個量的增減變化，習慣把兩個量進行四則計算。怎樣把學生的思維引到比較“比值”上呢？教師適時的追問很重要，如“在這變化的過程中有什么是不變的嗎？”“誰會用數據來說明”。通過追問，讓學生在思維的沖突中思考，不管數量與總價如何變，單價始終不變，并通過小結幫助學生完善探究的策略和方法。“你能用剛才的方法研究下面的題目嗎？”接著教師再次給足時間讓學生探究，學生在探究中進一步感悟相關聯的兩個量在“變化中的不變關系”，通過觀察、比較，突出了“成正比例的量”的本質特征，讓學生經歷了自主構建知識的過程，體會到數學知識是怎樣從具體的事物中抽象、概括出來的，做到知其然更知其所以然，而且積累了數學活動經驗。

3.數形結合，滲透函數思想方法。

本節課除了從“數”的角度引導學生感悟變量之間的相互依存關系；還從“形”的角度豐富學生的學習體驗，滲透函數思想方法。這是學生第一次接觸函數圖像，在此之前他們甚至都沒有見過圖像，不知道圖像是什么樣的，因此教師在這部分內容的教學中，大膽地為學生設計猜想、探究、實驗和驗證的活動，如：“如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？”“你們畫的圖與老師畫的有什么不同？”“如果這輛車一直行駛下去，會是怎樣的情形呢？”教師通過這些問題讓學生認識到正比例關系的圖像是一條經過原點的直線，它可以延伸，即不斷的運動、發展、變化。接著又通過一組的問題，如：“不計算，你能知道這輛汽車4.5小時行駛多少千米嗎？”“行400千米呢？”引導學生觀察發現，在這條直線上的每一個點都有一對數字與它一一對應。在圖像的觀察、繪制和分析中豐富對變化的認識，讓零散的連起來，讓靜止的動起來，讓變量之間的抽象關系顯得更加形象、直觀，這個過程就是函數思想方法滲透的過程。

【參考文獻】

[1]人教版數學六年級下冊《教師教學用書》

[2]劉加霞.《小學數學課堂的有效教學》

【作者簡介】

郭寶珠，福州金山小學副校長，小學中學高級教師。

（作者單位：福建省福州金山小學）

看！兩種相關聯的量，一種量變化另一種量也隨著變化，當他們相對應的比值一定時，我們就把這兩種量叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。（板書課題：成正比例的量）

4.歸納概括成正比例量。

（1）結合以上3個例子說一說誰和誰是成正比例的量，為什么？

（2）不用例子，你會用自己的語言說說什么是成正比例的量嗎？

（3）請翻開書P39頁，讀一讀書上的概念并會用字母表示。

5.用圖像表示成正比例的量。

（1）師：（課件出示坐標圖）你知道橫軸表示什么？縱軸表示什么嗎？

師：如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？

（2）師：仔細觀察，老師畫的跟同學們的有什么不一樣？（從零開始）

師：是啊，成正比例的圖像是經過原點的一條直線。

師：想象一下，如果這輛車一直開下去，會是怎樣的情形？

（3）師：不用計算，根據圖像判斷，如果汽車行駛2.5小時，路程是多少千米？

如果汽車行駛了360千米，用了多少時間？

小結：這條直線上的每一個點，都有一對數字與它一一對應。

三、鞏固應用，判斷成正比例的兩個量。（略）

教后反思

本節課學生對正比例關系的理解有了質的突破，關鍵是教師抓住了知識的核心，設計了有價值的探究活動，讓學生在觀察、比較、分析、抽象、概括的數學活動中建構知識體系，感悟函數思想方法。

1.激活經驗，直觀感知。

激活生活經驗，讓學生充分感知相關聯的量。學生舉例后，教師又提供了4組的例子，這些例子的呈現方式有靜態的圖片、動感的視頻等，從不同的視覺感官上激活學生的生活經驗，幫助學生直觀的感知一種量的變化會引起另一種量的變化。

2.自主探究，積累數學活動經驗。

“數學基本活動經驗”的內涵是“指學習主體通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的學習策略與方法。”本節課為學生提供了2次自主探究的機會，首先在例題的教學中，教師讓學生根據購買圖書的直觀圖和數據填表格，然后同桌交流“你能結合數據說說書的總價與數量是怎樣變化的嗎？”從學生的表現來看他們習慣比較兩個量的增減變化，習慣把兩個量進行四則計算。怎樣把學生的思維引到比較“比值”上呢？教師適時的追問很重要，如“在這變化的過程中有什么是不變的嗎？”“誰會用數據來說明”。通過追問，讓學生在思維的沖突中思考，不管數量與總價如何變，單價始終不變，并通過小結幫助學生完善探究的策略和方法。“你能用剛才的方法研究下面的題目嗎？”接著教師再次給足時間讓學生探究，學生在探究中進一步感悟相關聯的兩個量在“變化中的不變關系”，通過觀察、比較，突出了“成正比例的量”的本質特征，讓學生經歷了自主構建知識的過程，體會到數學知識是怎樣從具體的事物中抽象、概括出來的，做到知其然更知其所以然，而且積累了數學活動經驗。

3.數形結合，滲透函數思想方法。

本節課除了從“數”的角度引導學生感悟變量之間的相互依存關系；還從“形”的角度豐富學生的學習體驗，滲透函數思想方法。這是學生第一次接觸函數圖像，在此之前他們甚至都沒有見過圖像，不知道圖像是什么樣的，因此教師在這部分內容的教學中，大膽地為學生設計猜想、探究、實驗和驗證的活動，如：“如果把這些點描在圖中，并把它們連起來，想象一下會是怎樣的一條線呢？”“你們畫的圖與老師畫的有什么不同？”“如果這輛車一直行駛下去，會是怎樣的情形呢？”教師通過這些問題讓學生認識到正比例關系的圖像是一條經過原點的直線，它可以延伸，即不斷的運動、發展、變化。接著又通過一組的問題，如：“不計算，你能知道這輛汽車4.5小時行駛多少千米嗎？”“行400千米呢？”引導學生觀察發現，在這條直線上的每一個點都有一對數字與它一一對應。在圖像的觀察、繪制和分析中豐富對變化的認識，讓零散的連起來，讓靜止的動起來，讓變量之間的抽象關系顯得更加形象、直觀，這個過程就是函數思想方法滲透的過程。

【參考文獻】

[1]人教版數學六年級下冊《教師教學用書》

[2]劉加霞.《小學數學課堂的有效教學》

【作者簡介】

郭寶珠，福州金山小學副校長，小學中學高級教師。

（作者單位：福建省福州金山小學）