圓錐曲線中定值問題的基本解析

●陳相友 (溫州中學(xué) 浙江溫州 325014) ●孫軍波 (溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 317500)

圓錐曲線中定值問題的基本解析

●陳相友 (溫州中學(xué) 浙江溫州 325014) ●孫軍波 (溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 317500)

1 考點回顧

圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考和競賽中的熱點題型.一般是在一些動態(tài)事物(如動點、動直線、動弦、動角、動圓、動三角形、動軌跡等)中，尋找某一個不變量即定值，由于這類問題涉及到的知識點多、覆蓋面廣、綜合性較強，因此，解題過程中應(yīng)注重解題策略，要善于在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，常用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，再轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而達(dá)到解決問題的方法.解析幾何的主要思想是用代數(shù)方法研究幾何問題，可以從幾何和代數(shù)2個角度切入思考.

定值問題的求解策略有：

(1)把相關(guān)幾何量的變元特殊化，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān)，即特殊到一般的思想.

(2)把相關(guān)幾何量用曲線系的參變量表示，再證明結(jié)論與參數(shù)無關(guān).求解這類問題的基本方法是“方程鋪路、參數(shù)搭橋”，解題的關(guān)鍵是對問題進(jìn)行綜合分析，挖掘題目中的隱含信息，恰當(dāng)引參，巧妙化歸.

對圓錐曲線定值問題的思路與方法進(jìn)行深入研究，可以增強領(lǐng)悟能力和解題靈感.平時多一些思考，多一些探究，解題時便能靈活應(yīng)變，獨辟蹊徑.

2 典例剖析

2.1 從一道經(jīng)典定值問題的多解研究談起

圖1

例1如圖1，設(shè)A，B是拋物線y2=2px上異于坐標(biāo)原點O的2個不同的動點，且滿足AO⊥BO.求證：直線AB恒過定點，并求此定點.

分析本題是一道關(guān)于直線過定點問題的經(jīng)典老題，其解答過程將解析幾何的基本解析思想體現(xiàn)得淋漓盡致.

解法1從直線AB的解析入手.

為避免討論可設(shè)直線AB的方程為

將式(1)代入上式整理得 t2+2pt=0.因為 t≠0，所以 t=-2p，故直線 AB 恒過定點(2p，0).

解法2從直線OA，OB的解析入手.

故直線AB恒過定點(2p，0).

解法3從直線AB的解析入手.

設(shè) A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)，同解法 3 得 t1t2=-1，同理得直線AB的方程為(t1+t2)y=x-2p，故直線AB恒過定點(2p，0).

解法6從點的解析入手.

故直線AB恒過定點(2p，0).

解法7幾何法.

如圖2，過點 A，B分別作 AA1，BB1垂直 y軸于點 A1，B1，設(shè)|AA1|=a，|BB1|=b，則

圖2

在梯形AA1B1B中，易得2p，故直線 AB 恒過定點(2p，0).

評注不少學(xué)生常常因解題方法選擇不當(dāng)，導(dǎo)致解答過程繁難，運算量大，甚至半途而廢.鑒于此，以例1這一典型問題為載體，筆者總結(jié)了幾種重要的思維策略，供大家參考.研究不同的解法，體現(xiàn)多向思維在分析解題中的作用，溝通知識間的關(guān)系.但多解之后務(wù)必思考解法的優(yōu)劣，何為通性通法?技巧性越高的方法往往用處較窄.若例1的背景改為其他圓錐曲線，哪些方法可能面臨巨大障礙，甚至可能失敗告終?哪些方法依然可行?

2.2 定值問題的解決，“特值探路”不可或缺

在例1的多種解法中，“特值探路”不可或缺.正是有了“特值探路”，才使得解題方向明確，目標(biāo)清晰.于是我們有必要在這一環(huán)節(jié)展開更多的思考，把例1一般化得到：

例2 如圖3，已知點M(x0，y0)是拋物線y2=2px上的定點，A，B是拋物線上異于點M的2個不同的動點，且滿足MA⊥MB，求證：直線AB恒過定點，并求此定點.

分析此題若在“特值探路”環(huán)節(jié)選擇2組特殊的斜率，如 ±1，2 和，聯(lián)立求得點A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得2條直線的方程，再求得交點即定點，則計算量還是很大，基本喪失“特值探路”的意義.建議采用以下2種思路：

圖3

圖4

思路1當(dāng) MA平行于 x軸時，MB⊥x軸，得 B(x0，-y0)，此極端情形可看成交點A在無窮遠(yuǎn)處，于是直線AB∥x軸，因此恒過的定點的縱坐標(biāo)為-y0.再考慮直線AB⊥x軸于點N的情形：如圖4，設(shè)N(m，0)，由題意知

整理得 m2-(2x0+2p)m+x0(x0+2p)=0，

解得 m=x0+2p或m=x0(舍去)，

故直線AB恒過定點(x0+2p，-y0).

思路2同思路1得到點B的縱坐標(biāo)為-y0，接著考慮另一極端情形：直線MA為拋物線的切線時，直線MB，AB重合為過點M的法線，易求得法線方程為

故直線AB恒過定點(x0+2p，-y0).

例3已知拋物線y2=4x，過x軸上一點K的直線與拋物線交于點 P，Q，證明：存在唯一的點 K，使得為常數(shù)，并確定點K的坐標(biāo).

分析本題是2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題，涉及雙定值、定點和常數(shù)，在“特值探路”環(huán)節(jié)有點障礙，下面是一個學(xué)生的探路過程.

思考上述過程有問題嗎?可以說，該學(xué)生以2種極端情況為抓手，完成了特值探路，值得肯定.但上述過程顯然是在a＞0的情況下實現(xiàn)的，疏忽了a＜0的情形分析，屬僥幸探路成功.

當(dāng)a＜0時，不存在直線PQ⊥x軸的情形，只能選擇另一極端情形：相切，易得此時切點的橫坐標(biāo)為-a，|PK|2=|KQ|2=4a2-4a，再結(jié)合上述重合的極端情形，得解得 a=2(舍去).

例4已知M是橢圓不在坐標(biāo)軸上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的2個焦點，I是△MF1F2的內(nèi)心，MI的延長線交F1F2于點N，則

例5橢圓上有2個點P，Q，O為原點，若直線OP，OQ斜率之積為，則|OP|2+|OQ|2=( )

A.4 B.64 C.20 D.不確定

分析這是筆者所任教學(xué)校高二年級單元測試卷上的一道小題.P，Q是滿足題設(shè)條件的2個動點，要證明|OP|2+|OQ|2為定值(答案選C).試卷分析時，筆者給學(xué)生提出了以下2個問題：

問題1此小題大部分學(xué)生可能小題大做，常規(guī)的思考如何?小題的解決有什么策略?

常規(guī)思考是引參設(shè)而求之，不會太耗時間.但有一個學(xué)生的小題解法讓筆者和眾多學(xué)生有些意外，其思路如下：

首先讓射線OP落在第一象限且無限接近x軸的正半軸，因為直線OP，OQ的斜率之積為則射線OQ落在第四象限且無限接近y軸的負(fù)半軸，此時|OP|2+|OQ|2無限趨近a2+b2=20.顯然上述的分析過程中若改為其他常數(shù)，結(jié)論不變.

問題2|OP|2+|OQ|2=16+4=20是偶然還是必然?若是必然，題設(shè)的本質(zhì)條件是什么?我們可以從哪個角度切入開始新的思考?

評注根據(jù)特殊性與普遍性的辯證關(guān)系，以特值探路，從特例中求出幾何量的定值，得到啟示，從而將問題化歸為解析幾何證明問題，再利用例1中的解題策略對一般情形進(jìn)行證明.特值探路，具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用.

2.3 關(guān)注圓錐曲線定值問題的源與流

例6已知橢圓C的離心率為過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于點A，B，N為弦AB的中點.

(1)求直線ON(O為坐標(biāo)原點)的斜率kON;

即滿足題意的直線OA，OB也同樣是背景橢圓的一對共軛直徑.為確保這一條件，命題者給出了直線AB的斜率為1，當(dāng)然由對稱性，也可以賦值-1，否則λ2+μ2=1不能成立.圓錐曲線有很多誘人的性質(zhì)及獨特的方法，應(yīng)用得當(dāng)會給我們的解題帶來莫大的樂趣.源于該背景，近幾年各地高考可謂是百花齊放，精彩紛呈.

2.4 定值問題之計算策略選擇

源于解析幾何的本質(zhì)，圓錐曲線問題的解決中代數(shù)運算不可避免，對計算能力的要求尤為突出，因此在解題過程中，如何注重策略，加強解析，避開繁雜，簡化運算，是一道重要工序，其間不乏樂趣多多.

例7如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右頂點為 A，B，右焦點為 F.設(shè)過點 T(t，m)的直線 TA，TB 與橢圓分別交于點 M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中 m ＞0，y1＞0，y2＜0.

圖5

(1)(2)略.

(3)設(shè) t=9，求證：直線 MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān)).

分析這是2010年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題，第(3)小題計算繁雜，參考答案給出的2種解答讓很多學(xué)生拿穩(wěn)基本分后堅定選擇戰(zhàn)略性撤退.其實該題可利用“類準(zhǔn)線”特值探路得定點D(1，0)后，只要加強點的解析力度，避開直線與圓錐曲線的聯(lián)立，便可直取目標(biāo).

解令 M(x1，y1)，N(x2，y2)，T(9，m)，A(-3，0)，B(3，0).由題意得

故直線MN必過定點D(1，0).

評注上述過程盡管運算量大大減小，但若沒有經(jīng)歷過類似變形過程，難度還是較大.不過在清晰目標(biāo)的前提下，變形過程的每一步都是自然的，可結(jié)合例1的解法6仔細(xì)體味.

3 精題集萃

1.如圖6，點P(3，4)為圓x2+y2=25 上的一點，點E，F(xiàn)為y軸上的2個點，△PEF是以點P為頂點的等腰三角形，直線PE，PF交圓于點 D，C，直線 CD交 y軸于點 A，則sin∠DAO= ( )

圖6

圖7

2.如圖7，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且 AB=2AD，設(shè)以A，B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點且過點A的橢圓的離心率為 e2，則 ( )

A.隨著角度α的增大，e1增大，e1e2為定值

B.隨著角度α的增大，e1減小，e1e2為定值

C.隨著角度α的增大，e1增大，e1e2也增大

D.隨著角度α的增大，e1減小，e1e2也減小

(1)求證：kPA+kQB為定值;

(2)當(dāng)m∈(-1，2)時，求點A，P，B，Q 圍成的四邊形面積的最大值.

圖8

圖9

(1)求橢圓C的方程.

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，聯(lián)結(jié)PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線 PM交 C的長軸于點M(m，0)，求m的取值范圍.

(3)在第(2)小題的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若 k≠0，試證明為定值，并求出這個定值.

(2013年山東省數(shù)學(xué)高考試題)

(1)求橢圓的方程.

(2)橢圓的左、右頂點分別為A，B，點P為直線x=3上任意一點(點P不在x軸上)，聯(lián)結(jié)AP交橢圓于點C，聯(lián)結(jié)PB并延長交橢圓于點D，試問：是否存在λ，使得S△ACD=λS△BCD成立?若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由.

參考答案