直線與圓錐曲線綜合問題的求解策略

●宋益超 (奉化市第二中學 浙江奉化 315506) ●楊亢爾 (奉化中學 浙江奉化 315500)

直線與圓錐曲線綜合問題的求解策略

●宋益超 (奉化市第二中學 浙江奉化 315506) ●楊亢爾 (奉化中學 浙江奉化 315500)

自實施新課程高考以來，浙江省數學高考自主命題一貫堅持“有利于高校選拔新生，有利于推進課程改革”的命題原則，以考試大綱和考試說明為依據，從學科知識、思想方法和學習潛能出發，立足數學教材，回歸數學本源，重視數學基礎知識和基本技能，突出數學能力的考查，著力體現“控制難度，穩中漸變，貼近實際，回歸課本”的命題特色.鑒于此，在臨近高考的專題復習階段，深入研究高考試題不失為提高教學效率的一種有效手段.

1 考點回顧

作為高中數學的核心內容之一，解析幾何歷來是高考的重點、熱點和難點.根據《2013年浙江省普通高考考試說明(理科)》所列數學考試內容要求，直線與圓錐曲線的位置關系考查重點是直線與圓、橢圓、拋物線的位置關系(文科主要考查直線與圓、拋物線的位置關系).借助于導數，曲線的切線也經常出現在試題中.從近5年的高考試題來看，選擇、填空題主要考查圓錐曲線的方程及其幾何性質，如離心率、距離、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查函數與方程、數形結合、分類討論、化歸思想以及解析幾何的運算能力;解答題一般安排在理科的倒數第2題和文科的壓軸題，主要考查最值和范圍問題，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

2 典例剖析

2.1 求解策略1：合理選取直線方程

綜觀近幾年的直線與圓錐曲線綜合題，無論是理科還是文科，一個明顯的特點是試題設計平和，考查的都是一些常見的數量和幾何關系，如橢圓、拋物線的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系等，可謂平淡無奇，但試題對解析幾何基本思想和運算求解能力的考查要求并不低，沒有扎實的數學功底難以完成解答，其中合理選取直線方程往往成為解決此類問題的關鍵.

圖1

(1)求 p，t的值;

(2)求△ABP面積的最大值.

(2012年浙江省數學高考文科試題)

(2)設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段 AB 的中點坐標為Q(m，m)，直線AB的斜率為k

評注從以上解答過程看到，無論是聯立方程、消元、韋達定理的應用，還是弦長公式、點到直線距離和利用導數求函數的最值，處處圍繞解析幾何的通性通法展開.而題中直線AB方程形式的確定，無疑是解決本題的關鍵一步.

事實上，多數學生是習慣于從設直線AB方程為y=kx+m入手.

顯然，由于直線方程選擇的不同，求解過程中運算、變形和推理論證的難度也大不相同.

如果考慮到線段AB的中點為(m，m)，可設直線AB的方程為

這樣得到的m，k的關系式更容易為學生所接受.

(下略.)

由以上過程可以看到，試題在平和、樸實的外表之下，蘊含著豐富的解析幾何基本思想，直線AB方程的多樣性選擇為我們提供了精彩紛呈的解題方法，而這些解法的后半部分又殊途同歸，通過配湊、換元，再借助導數求出最值，對運算求解能力有較高要求，真正體現了高考試題“平凡之中見功底”的命題原則.

2.2 求解策略2：靈活運用平面幾何知識

解析幾何作為利用代數方式研究幾何問題的一門學科，決定了求解直線與圓錐曲線綜合問題的2把鑰匙：代數法和幾何法.如果題目中的條件或結論能明顯體現某種幾何特征及意義，可以充分挖掘已知條件，靈活運用平面幾何知識，或直接利用圖形的性質及圓錐曲線的定義來求解，以期達到事半功倍的效果.

例2如圖2，F1，F2分別是橢圓 C：的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2=60°.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)已知△AF1B的面積為，求 a，b的值.

(2012年安徽省數學高考文科試題)

評注本題也可用代數方法求解：

借助韋達定理求出c的值.這些方法對于數式變形、運算求解和推理論證有較高的要求，與之相比，運用平面幾何知識求解顯得更為簡潔、快捷、靈活.

圖3

(1)求橢圓C的方程;

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，聯結PF1，PF2，設∠F1PF2的角平分線 PM交 C的長軸于點M(m，0)，求m的取值范圍;

(3)略.

(2013年山東省數學高考理科試題)

評注本題第(2)小題利用平面幾何知識求解有多種方法：既可利用角平分線性質定理尋找線段間的比例關系，也可以利用向量的數量積定義，還可利用角平分線上的點到2條邊的距離相等來確定m的取值范圍.這種借助平面幾何知識解決直線與圓錐曲線綜合問題的求解策略，需要我們認真把握.

2.3 求解策略3：熟記某些常用結論

直線與圓錐曲線涉及的知識點多，綜合性強，能力要求高，這就要求我們明確概念，認真梳理，熟記與圓錐曲線有關的一些常用結論、性質及思想方法，如焦半徑、通徑的有關性質、求軌跡方程的常用方法等，深入體會解析幾何基本思想，不斷提高分析問題、解決問題的能力.在此，我們介紹橢圓中一個結論和它的應用.

我們知道，圓的任一條直徑的2個端點與圓上任意一點連線的斜率乘積為定值，將這個結論類比到橢圓中，會得到什么結果?

圖4

于是我們得到如下的結論：

圖5

例4如圖5，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓的頂點，過原點的直線與橢圓相交于點 P，A，其中點 P在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為C，聯結AC，并延長交橢圓于點B.設直線PA的斜率為k.

(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值;

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d;

(3)對任意的 k＞0，求證：PA⊥PB.

(2011年江蘇省數學高考試題)

這里只證明第(3)小題.

評注本題有多種證明方法.如通過直線求解交點坐標，或者利用三點共線及點在曲線上列出多個等式，其運算和變形過程將會非常復雜，即使借助韋達定理及向量工具證明

如果考慮到kPA=tan∠POC，kAB=tan∠ACO，由平面幾何知識即得tan∠POC=2tan∠ACO，從而命題得證.這再次顯示了平面幾何性質在解決直線與圓錐曲線問題時收到的神奇效果!

3 精題集萃

(2010年四川省數學高考理科試題)

圖6

圖7

圖8

圖9

(1)求橢圓的方程.

(2)設A，B是橢圓上位于x軸上方的2個點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與直線BF1交于點P.

②求證：PF1+PF2是定值.

(2012年江蘇省數學高考試題)

參考答案