三角函數的圖像與性質

●苗孟義 (三山高級中學 浙江慈溪 3153002) ●沈新權 (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

三角函數的圖像與性質

●苗孟義 (三山高級中學 浙江慈溪 3153002) ●沈新權 (嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

1 命題趨勢

三角函數作為重要的基本初等函數，是高考必考的內容之一.對函數圖像與性質(如：定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最值等)的掌握情況可以在三角函數中得到體現.公式運用及其變形能力、運算能力等可以在這些問題中進行考查，在復習時要注意基礎知識的理解與落實.

2 典例剖析

(2013年四川省數學高考理科試題)

點評求φ是一個難點，要注意從圖像中獲取的特殊點，若選擇不當，則會導致錯誤，一般選擇最值點來求解.另外借助五點法也可以判斷：點)對應正弦曲線的最高點，取.根據函數圖像寫解析式時，要遵循“定最值求A，定周期求ω，定最值點求φ”的思路.

題型2已知解析式判斷圖像

例2函數f(x)=xcosx+sinx的圖像大致為 ( )

(2013年山東省數學高考理科試題)

分析易知f(-x)=-f(x)，故f(x)為奇函數，其圖像關于原點對稱，排除選項B;通過觀察，發現0，排除選項C;f(π)=-π＜0，排除選項 A.故選D.

點評函數圖像的判斷依據大致有2點：一是根據函數的性質，如函數的奇偶性、單調性、值域、定義域等;二是根據特殊點的函數值，采用多次排除的方法得出正確選項.

題型3三角函數的周期性、奇偶性、對稱性

例3已知函數f(x)=cosxsin2x，則下列結論中錯誤的是( )

A.y=f(x)的圖像關于點(π，0)中心對稱

D.f(x)既是奇函數，又是周期函數

(2013年全國數學高考大綱卷理科試題)

點評本題考查三角函數的圖像與性質(包括對稱中心、對稱軸、最值、奇偶性、周期性等知識)，考查考生對三角函數知識的綜合運用，考查化歸與轉化的思想方法.本題可采用多次排除法.因為f(π)=0，所以f(x)的圖像關于點(π，0)中心對稱，排除選項A;易證明f(π+x)=f(-x)，所以f(x)的圖像關于直線對稱，排除選項B;易證明f(-x)=-f(x)，f(x+2π)=f(x)，所以 f(x)既是奇函數，又是周期函數，排除選項D.故選C.

題型4三角函數圖像的變換

例4將函數y=cosx+sinx(x∈R)的圖像向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖像關于y軸對稱，則m的最小值是 ( )

(2013年湖北省數學高考理科試題)

點評本題主要考查三角恒等變換、三角函數圖像的平移及三角函數的對稱性.另外對于函數y=Asin(ωx+φ)，若此函數為偶函數，則必有若此函數為奇函數，則必有φ=kπ(k∈Z).掌握這些結論便可以快速準確地解決類似的選擇、填空題，達到事半功倍的效果.

點評正確化簡函數關系式是解題的關鍵，警惕“一開始算錯，接下來白做!”

題型6三角函數的最值

點評已知f(x)式子結構復雜，利用倍角公式化簡時要避免符號出錯導致式子結構不能形成y=Asin(ωx+φ)這一標準形式.

3 精題集萃