函數中的“二域、四性”

●王紅權 (杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

函數中的“二域、四性”

●王紅權 (杭州市普通教育研究室 浙江杭州 310003)

1 考點回顧

本文中函數的“二域”是指函數的定義域和值域;“四性”是指奇偶性、單調性、周期性、對稱性.函數中的“二域、四性”是歷年高考函數部分命題的熱點之一，內容涉及全卷，素有“得‘二域、四性’得函數”之說.單獨以此立意的試題往往小巧靈活、新穎別致，解答好這類問題需要考生對數學有透徹的理解，熟練掌握一定的技巧.近幾年在全國各省市的高考試卷中普遍出現，本文給出該類試題的一些解法，旨在拋磚引玉.

2 易錯點撥

(1)若f［g(x)］的定義域為A，則f(x)的定義域就是函數g(x)(x∈A)的值域.

反例設函數 f(x)=x，函數 g(x)=x2，則復合函數f［g(x)］=x2.

理由 顯然函數f［g(x)］=x2的定義域為R，而函數g(x)=x2的值域為［0，+∞).一般地，設函數 g(x)的值域為 B，則 B?A.

圖1

(2)若函數f(x)=x2-2x-4的定義域與值域都是M，則M=［4，+∞).

答案錯誤.

理由對于函數y=x，其定義域和值域永遠是相等的，從圖1不難看出下列集合均滿足條件：M=［4，+∞)或(4，+∞)或{-1}∪(4，+∞)或{-1}∪［4，+∞)或M=［-5，+∞).

(3)若函數f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)，則函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱.

答案錯誤.

理由函數f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)表明函數y=f(x)是周期函數，且周期為2a;若函數f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)才表明直線x=a是其對稱軸.

(4)若函數f(x)與g(x)都是R上的單調遞增函數，則f(x)·g(x)是R上的單調遞增函數.

答案錯誤.

反例設 f(x)=x，g(x)=-x，則 f(x)·g(x)=-x2在R上不單調(還可以考慮函數f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，的單調性).

3 典例剖析

3.1 研究新函數從“兩域、四性”開始

研究任何一個未知函數，一般的方法就是結合圖像從研究函數的“兩域、四性”開始.三角函數的“兩域、四性”都比較簡單，但復合后則變得有趣，理清下面4個函數的這些性質有利于熟悉函數的“兩域、四性”的學習.

例1函數 y=sin(cosx)，y=sin(sinx)，y=cos(sinx)，y=cos(cosx)的“兩域、四性”分別是什么?

分析

表1 4個函數的“兩域、四性”

3.2 一組姐妹題的探析

綜上可得，a+b=5.

注 這樣做體現了解決這類問題的通性通法，但未觸及問題的本質，解答變得冗長，也容易使學生出錯.

我們已經知道函數f(x)=x的定義域和值域永遠是相等的，從而可以把函數f(x)=x理解成“參照物”，如圖2所示.觀察圖形，只有區間［1，4］滿足條件，問題得到輕松解決.因此，解決這類定義域和值域相等問題的核心是利用函數f(x)=x的特征，通過函數圖像獲得解題突破.利用與第(1)小題類似的方法可以解決姐妹題(2)，(3).

第(2)小題是一個與第(1)小題完全不同的問題，解答如下：

圖2

圖3

圖4

注這里的解法1和解法2實際上是一樣的.圖像恰好解釋了代數解法的幾何背景，本質地揭示了問題的核心.

3.3 一個解題案例

通過前面的分析，我們得到該類問題的圖像解法和代數解法，下面通過例3的分析，再次體會該類問題解題的關鍵.

例3設f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a(a∈R).

(1)若函數 f(x)在［0，2］上的最大值為0，求 a的值;

(2)若函數 f(x)在閉區間［α，β］上單調，且{y|y=f(x)，x∈［α，β］}=［α，β］，求 a 的取值范圍.

(2013年浙江省杭州市高二數學第一次質量檢測卷試題)

3.4 “四性”問題

“四性”中的核心是函數的單調性，事實上若函數y=f(x)是定義域D上的單調函數，則比較x與y的大小關系等價于比較f(x)與f(y)的大小關系.

例4(1)設 a＞0，b＞0. ( )

A.若2a+2a=2b+3b，則 a＞b

B.若2a+2a=2b+3b，則 a＜b

C.若2a-2a=2b-3b，則 a＞b

D.若2a-2a=2b-3b，則 a＜b

(2012年浙江省數學高考理科試題)

(2006年浙江省數學高考試題改編)

分析(1)設函數f(x)=2x+2x.顯然要比較a，b的大小，只需要比較f(a)與f(b)的大小，而f(x)是R上的單調遞增函數，即

注(1)這3道題都是難題，其實考查的本質是一樣的，就是利用函數的單調性比較大小;(2)復習的本質通過知識整體、例題剖析、體驗練習達到理解數學，而理解數學的核心是看清問題的本質，融會貫通，百題一解.

4 精題集萃

1.若函數f(x)(x∈R)是奇函數，函數g(x)(x∈R)是偶函數，則 ( )

A.函數 f［g(x)］是奇函數

B.函數 g［f(x)］是奇函數

C.函數f(x)·g(x)是奇函數

D.函數f(x)+g(x)是奇函數

2.已知f(x)在實數集上是減函數，若a+b≤0，則下列正確的是 ( )

A.f(a)+f(b)≤ -［f(a)+f(b)］

B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)

C.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

D.f(a)+f(b)≥ -［f(a)+f(b)］

A.-2 B.-4 C.-8 D.不能確定

4.已知 a，b，c∈R，函數 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4) ＞f(1)，則 ( )

A.a ＞0，4a+b=0 B.a ＜0，4a+b=0

C.a ＞0，2a+b=0 D.a ＜0，2a+b=0

5.已知 t為常數，函數 y=|x2-2x-t|在區間［0，3］上的最大值為2，則t= .

(2008年浙江省數學高考理科試題)

6.設數列{an}滿足an+1=a2n-2(n∈N*).若存在常數A，對于任意 n∈N*，恒有 |an|≤A，則 a1的取值范圍是.

圖5

7.如圖5，已知f(x)是以2為周期的偶函數，且當 x∈(0，1)時，f(x)=x+1，求 f(x)在(n，n+1)(n∈Z)上的解析式.

參考答案

1.C 2.C 3.B 4.A

5.t=1 6.［-1，1］

7.解當 x∈(0，1)時，f(x)=x+1.因為 f(x)是偶函數，所以當 x∈(-1，0)時，f(x)=f(-x)=-x+1.又f(x)的周期為2，由圖6可知：當n為偶數時，f(x)在(n，n+1)(n∈Z)上的圖像是經過點(n，1)和(n+1，2)的線段，因此f(x)=x+1-n，x∈ (n，n+1);當 n為奇數時，f(x)在(n，n+1)(n∈Z)上的圖像是經過點(n，2)和(n+1，1)的線段，因此 f(x)=2+n-x，x∈(n，n+1).