靈活多變的數列綜合題

●陳柏良 (紹興高級中學 浙江紹興 312000)

靈活多變的數列綜合題

●陳柏良 (紹興高級中學 浙江紹興 312000)

1 考點回顧

數列是高中數學的主干內容，蘊含著豐富的數學思想和方法，高考對數列的考查始終圍繞等差數列與等比數列這2類模型展開.題型既有靈活考查數列基礎知識和基本性質的選擇、填空題，又有綜合運用數列知識解決實際問題的解答題.

從近幾年的高考數列試題來看，選擇、填空題著重考查等差數列與等比數列的概念、性質，解答題著重考查解決數列問題的基本方法，其中涉及到方程、不等式、函數思想方法的應用等，綜合性較強，對計算技能要求較高，但難度略有下降.從解題思想方法的規律來看，主要有：(1)方程思想的應用，利用公式列方程(組);(2)函數思想方法的應用，分析單調性、研究最值等;(3)待定系數法、分類討論等方法的應用.

數列作為一種特殊的函數，設計探討與正整數有關的問題值得關注.另外，不等式是深刻認識函數和數列的重要工具，三者綜合的求解題可雙重檢測基礎和能力，三者綜合的求證題所顯現出的代數推理(數列推理題)在近幾年各省的高考試題中時有出現.

2 易錯點撥

例1已知等差數列{an}(公差d＞0)和等比數列{bn}，且 a1=1，a2=b2，a5=b3，a14=b4.

(1)求數列{an}，{bn}的通項公式;

(2)設數列{cn}對 n∈N*，均有an+1成立，求{cn}的前n項和Sn.

分析(1)由題意，知a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d.利用等比中項 b23=b2b4，結合 d＞0，可求得 d=2，進一步利用已知等式，可求得q=3，從而易得數列{an}，{bn}的通項公式.

評注該題第(2)小題容易忽視{cn}中首項的驗證，從而導致求{cn}的前n項和Sn出錯.忽視首項的特殊性是學生在求解數列題時常見的失誤，這種失誤的根本原因是沒有注意到遞推關系式的使用條件.

例2在公差為d的等差數列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數列.

(1)求 d，an;

(2)若 d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+ +|an|.

(2013年浙江省數學高考文科試題)

分析(1)根據等比中項列出方程，求得d=-1或d=4，從而

求|a1|+|a2|+|a3|++|an|的關鍵是找出an正負的分界點.考慮當{|an|}的項數 n≤11時，|an|=an，{|an|}的前n項和Tn與{an}的前n項和Sn相等，從而

評注由于數列{an}的項有正有負，故對{|an|}的前n項求和有一定的困難，易出錯.該題通項公式的正確求得是前提，正確考慮正、負2種情況是關鍵，總結各種情況的結論是重要環節，三者忽視其一都會導致錯誤.正確運用分類討論的思想求解可避免失誤.

3 典例剖析

(2013年天津市數學高考試題)

分析(1)設等比數列{an}的公比為 q，根據S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數列，利用等差中項性質列出方程

(2)由第(1)小題可得

易見當n為奇數時，Sn隨n的增大而減小;當n為偶數時，Sn隨n的增大而增大，故可分類討論的單調性，分別確定n為奇數和偶數時Tn的范圍，綜合可得數列{Tn}最大項的值與最小項的值.

評注等差數列與等比數列相結合是近幾年命制數列高考題的熱點.本題主要考查等差數列的概念、等比數列的概念、通項公式、前n項和公式，數列的基本性質等基礎知識;考查分類討論的思想，考查運算能力、分析問題和解決問題的能力.第(2)小題求最值重在對函數Tn單調性的分析，而這時要考慮到數列是自變量為正整數的特殊函數.

(2013年江西省數學高考試題改編)

分析題設給出的是關于前n項和Sn的二次式，因式分解可得

評注如果數列的通項公式可轉化為f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂項求和法.特別地，當數列形如其中{an}是等差數列，可嘗試采用此法.常用的裂項技巧如：

(2013年廣東省數學高考試題)

分析本題給出的是數列通項與其前n項和Sn的遞推關系式，此類問題的一般考慮方法是將其轉化為僅含通項或僅含有前n項和Sn的關系式，再化歸為等差數列或等比數列的模型來求解.

當n=1時，上式顯然成立.故an=n2(n∈N*).

方法2在已知的遞推關系式中，分別令n=2，3，4，求出 a3=9，a4=16，a5=25，觀察特點，尋找規律，猜想：an=n2，然后用數學歸納法證明.

(3)略.

評注對某些遞推關系實施變換(分解或組合)，可使之轉化、歸結為等差數列或等比數列模型;對于某些遞推關系不能實施上述轉化、歸結時，就拿起“合情推理”的“樸素方法”，進行“觀察—歸納—猜想”，再用數學歸納法證明.

例6已知等差數列{an}的前n項和為Sn，首項為1的等比數列{bn}的公比為 q，S2=a3=b3，且 a1，a3，b4成等比數列.

(1)求{an}和{bn}的通項公式;

(2)設 cn=k+an+log3bn(k∈N*)，若成等差數列，求k和t的值.

分析(1)利用等差數列和等比數列的通項公式、求和公式與等比中項性質易求得

評注這是一道探討有關正整數解的數列問題.求解的關鍵是建立k和t的等量關系，并進行適當變形，如分離常數等，而后利用正整數的意義和性質正確求解.

(2)根據數列{bn}的特點，可利用錯位相減法求和.

(3)由

評注一般地，對于數列{an·bn}，若{an}是等差數列，{bn}是等比數列，則積數列{an·bn}可用錯位相減法求其前n項和.數列不等式求證題中有時常用到基本不等式知識和簡單的放縮法.

4 精題集萃

1.已知正項數列{an}的前 n項和為Sn，且滿足Sn+an=1.

(1)求數列{an}的前n項和Sn;

2.在數列{an}中，a1=λ，an+1=2an+3n-4(n∈N*)，其中λ為實數.

(1)對任意實數λ，證明：數列{an}不是等比數列;

(2)設bn=an+1-an+3，試判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論;

(3)求數列{an}的通項公式.

3.已知等比數列{an}滿足：|a2-a3|=10，a1a2a3=125.

(1)求數列{an}的通項公式.

(2013年湖北省數學高考試題)

4.已知數列{an}的前n項和為Sn，且a2an=S2+Sn對一切正整數n都成立.

(1)求 a1，a2的值;

6.設{an}是首項為a、公差為d的等差數列(d≠0)，Sn是其前n項和.記，其中c為實數.

(1)若 c=0，且 b1，b2，b4成等比數列，證明：Snk=n2Sk(k∈N*，n∈N*);

(2)若{bn}是等差數列，證明：c=0.

(2013年江蘇省數學高考試題)

參考答案

2.(1)證明假設存在某個實數λ，使{an}為等比數列，則有 a22=a1a3，即

由 a4=2a3+3 ×3-4，得 a4=7，則 a1，a2，a3，a4不是等比數列，因此假設錯誤，即對任意的實數λ，數列{an}不是等比數列.

(2)解數列{bn}不是等比數列.

且b1=a2-a1+3=λ+2，故當λ≠-2時，數列{bn}是等比數列;當λ=-2時，數列{bn}不是等比數列.

(3)解當 λ=-2時，bn=0，從而

則數列{an}是首項為-2、公差為-3的等差數列，于是

當 λ≠ -2時，b1=λ +2，故

又an+1=2an+3n-4，解方程組得

綜上可得，{an}的通項公式為an=(λ+2)·2n-1-3n+1.

也不存在這樣的正整數m.

因為 d≠0，所以 d1≠0，故由式(3)得 c=0.