三角恒等變換與解三角形復習要點指津

●王勇強 (湖州市教育科學研究中心 浙江湖州 313000)

三角恒等變換與解三角形復習要點指津

●王勇強 (湖州市教育科學研究中心 浙江湖州 313000)

1 考點回顧

(1)前幾年的浙江省數學高考對三角函數的考查，一般是以2個左右的客觀題和1個解答題的形式出現，以中、低檔題為主.2013年浙江省數學高考文科卷的三角函數試題結構穩定，但理科試題解答題結構發生了調整，不考三角函數，改考數列，出現了三角函數、數列、概率之間三選二的格局，這并不是說理科高考對三角函數的考查弱化了.事實上，2013年浙江省數學高考理科卷中，三角函數在第4，6，16題及第20題的第(2)小題都有考查，特別是第6，16題中多角度考查了三角恒等變換和解三角形，給人一種簡約而不簡單、平而不俗、兼收并蓄的感覺.

(2)三角恒等變換中公式較多，包括同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式等，合理運用三角公式是解決三角函數的圖像與性質、三角求值及解三角形這幾類問題的關鍵.在高考客觀題中，突出考查三角公式所涉及的基本運算;解答題中以中等難度題為主，重點考查三角函數名稱、角、關系式的變換，常會聯系三角形、向量等概念進行綜合考查.而解三角形是三角函數的一個典型應用，考試說明中明確提出必須掌握正弦定理、余弦定理，并能運用這2個定理解決實際問題.浙江省數學高考對正、余弦定理的考查一般集中在求解三角形的邊、角、形狀、面積等方面.因此三角恒等變換與解三角形是三角函數部分的重要內容，也是這幾年浙江省數學高考必考的一個重要知識點.

2 易錯點撥

在解題過程中，由于三角恒等變換和解三角形中公式眾多需靈活運用，且常需要對角的范圍及三角函數值的符號等進行討論，甚至需要對題設中的隱含條件進行挖掘，故解題時稍有不慎，就會出現漏解、增解等現象.

例1設△ABC 內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且(a+b+c)(a-b+c)=ac.

分析“由得出A-C=30°”這一步錯了，漏了“A-C=-30°”這種情況.這種錯解情況是學生對余弦函數的性質理解不透，以及將余弦函數與正弦函數的三角函數值符號混淆所導致的.正確的解答是：由cos(A-得 A-C=30°或 A-C=-30°，因此 C=15°或 C=45°.

評注該題主要考查余弦定理、三角形內角和定理、兩角和的正(余)弦公式等基礎知識，同時考查運算求解能力.若將轉化為

展開后再變形，化為

這里必須考慮到角C的范圍和正弦函數的三角函數值符號才可求得正確答案，否則也會出現漏解的情況.因此，在解決三角恒等變換和解三角形問題時要重視已知角和所求角的范圍，要考慮角的范圍對三角函數值符號的影響.

分析該題利用了“3α=2α+α”這一拆角技巧使所求問題得以順利求解，并且由“α為第四象限角”這一條件可得出2α可能為第三、四象限角這一結論.但是，當

評注由于三角恒等變換中公式眾多，需靈活運用，同時需要對題設中的隱含條件進行充分挖掘.如例2：若在得出后直接求2α 的余弦值就可以避免出現增解的錯誤.因此，在高三復習時應讓學生熟悉各種三角變換公式，學會靈活選用.另外，如果學生沒有范圍意識，常常會出現三角函數值符號取錯的情況.這種錯誤看是“失誤”，究其根源是對三角函數值的符號意識不強、思考不深入、思維不嚴謹導致的，因此在三角恒等變換中一定要加強“角的范圍先行、挖掘隱含條件”的意識.

3 典例剖析

例3設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為 ( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不確定

(2013年陜西省數學高考理科試題)

分析要判斷△ABC的形狀，必須將已知條件進行轉化，找到比較明顯的邊的關系或角的關系.這類問題通常需要運用正弦定理和余弦定理，并結合三角恒等變換公式將條件中的邊角關系統一到邊的關系或角的關系，即“角化邊”或“邊化角”.“角化邊”或“邊化角”是解決這類問題常見的思維出發點.

評注本題是一道“基礎題”，考查了正、余弦定理和三角恒等變換公式的運用，考查了化歸轉化的數學思想.本題也可以直接從△ABC中bcosC，ccosB所對應線段的幾何意義出發，得到結論“bcosC+ccosB=a”.這是任意三角形的射影定理，源自人教A版《數學(必修5)》第18頁的練習3.教師在教學過程中要讓學生養成“回到基本概念中去”的解題習慣，從而引領學生夯實基礎，熟練運用課本知識解決基礎題.在復習階段，回歸課本既是“以不變應萬變”的復習策略，又是提高備考效率的有效途徑.

(2013年浙江省數學高考理科試題)

圖1

分析如圖1，在△ABC中，角 A，B，C的對邊分別為 a，b，c.因為∠C=90°，所以要想求出sin∠BAC的值，只需根據條件找到a，b，c任意2條邊的比例關系即可.不妨設AC=1，由已知條件可得，則

接著，可以用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換中的兩角差的正切公式、向量坐標運算等多種方法解得從而

詳細解答請參見本刊2013年第8期第26-27頁.

評注該題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等基礎知識，以及靈活運用三角恒等變換公式、平面向量的數量積運算解決問題的能力.本題的多種解法都是通性通法，從不同角度切入，應用不同的數學工具，都只需抓住“找到三角形任意2邊的比例關系，即可完成解題”這一基本想法，呈現出同樣的精彩.高三復習教學堅持通性通法，不僅能不斷地將學生的思維引向數學的基本概念和基本思想，能使學生養成良好的思考問題的習慣，以“不變”的思考問題的出發點來應對“萬變”的數學題目，才能擺脫題海，事半功倍.注重通性通法才是好的數學教學.

(2008年浙江省數學高考理科試題)

實際上這3道題都是同一類型的，其中2013年的考題比另2道題更具一般性，更需要用通性通法來思考解題的突破口.本題可以用定義法、方程組法、式子2邊平方后弦化切法、引入輔助角法等不同方法來解決，詳細解答請參見本刊2013年第8期第28-29頁.

評注該題主要考查了同角三角函數的關系、三角恒等變換中的二倍角公式等基礎知識，以及靈活運用方程思想、化歸與轉化思想、活用公式解決問題的能力.本題比較典型，解法較多，既有一定的計算量，又有一定的計算技巧;既起點基礎，又層層遞進，由淺入深;既平實簡潔，又有豐富的內涵.高三解題教學要堅持對典型例習題進行多角度、多層次地剖析，要倡導一題多解、多解選優、多角度揭示問題的數學本質，從而更好地提高高三復習備考的質量和效果.

例6如圖2，在等腰Rt△OPQ中，∠POQ=90°，OP=，點M在線段PQ上.

圖2

(2)若點 N在線段 MQ上，且∠MON=30°，問：當∠POM 取何值時，△OMN的面積最小?求出面積的最小值.

(2013年福建省數學高考文科試題)

分析這道題目是通過平面幾何圖形呈現的解三角形問題，探求三角形面積的最小值.解三角形問題中求三角形中的基本量，主要是指求三角形的3條邊、3個角、面積等.本題的實質是將幾何問題轉化為代數問題，解題的關鍵是正確分析邊角關系，依據題設條件合理地設計解題程序，利用三角形的內角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等進行邊角關系的轉化，得到S△OMN與∠POM的關系，再利用三角函數的有界性求出其最值，才能解題成功.

因為 0°≤α≤60°，30°≤2α +30°≤150°，所以當 α =30°時，sin(2α+30°)的最大值為1，此時△OMN的面積取到最小值.即當∠POM=30°時，S△OMN的最小值為 8-4.

評注該題主要考查同角三角函數的基本關系式、兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式等基礎知識，同時考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，還考查了函數思想、特殊與一般思想、化歸與轉化思想.第(2)小題中將三角形的面積表示成某個角度的三角函數至關重要，這是該題的突破口.另外，三角恒等變形、運算求解的能力也非常重要.因此在三角函數復習中不僅要讓學生學會套用公式、逆用公式、變形使用公式，還要讓學生掌握公式及其變形的特點，靈活使用公式，正確簡便地進行運算求解;還要在教學中加強數學思想方法的滲透，有意地讓學生體會并運用數學思想方法.這樣才能抓住解題教學的核心和本質，在解題中學會解題，真正提高教學效益.

4 精題集萃

參考答案