平面向量及其應用

●周建峰 (浙江師范大學附屬中學 浙江金華 321004)

平面向量及其應用

●周建峰 (浙江師范大學附屬中學 浙江金華 321004)

平面向量試題是近幾年浙江省數學高考試卷中的一大亮點，多年來形成了具有浙江特色的命題視角和方式，題目簡潔、新穎，思維靈活性強，試題豐富多彩，具有較強的創新性.平面向量試題考查多以選擇題、填空題形式出現，每年會設置1～2個小題，尤以填空題居多，文、理科多以相同題(題號不同)或姊妹題出現.

1 考點回顧

從知識本身看，平面向量具有代數形式(有序實數對表示)與幾何形式(有向線段表示)的雙重特點，體現了其獨到的工具性和交匯性，要求學生綜合運用邏輯推理和運算能力解決實際問題.

從《考試說明》的要求看，對平面向量的考查主要集中在5個方面：(1)平面向量的概念及向量的幾何意義;(2)向量的加法、減法和數乘運算及其幾何意義;(3)平面向量基本定理及坐標運算;(4)平面向量數量積的運算及其幾何意義，利用數量積求模和夾角;(5)利用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.

從命題視角看，主要圍繞平面向量運算設計試題，考查平面向量的概念、線性運算、坐標運算和數量積運算，其中，平面向量的數量積運算尤為突出.縱觀近幾年的浙江省數學高考試題，強調幾何背景和代數性質的結合，命題熱點主要集中在以下3個方面：(1)利用平面向量的幾何意義求解最值問題;(2)利用數量積的極化恒等式計算數量積問題;(3)利用判別式或構造二次函數求解取值范圍問題.

2 典例剖析

2.1 平面向量的性質與線性運算

平面向量的線性運算是向量運算的基礎，要求考生掌握平面向量基本定理，正確地進行平面向量的和、差、數乘等線性運算法則，并理解運算的幾何意義.

例1設a，b是2個非零向量，則 ( )

A.若|a+b|=|a|-|b|，則 a⊥b

B.若 a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數 λ，使得 b=λa

D.若存在實數 λ，使得 b=λa，則|a+b|=|a|-|b|

(2012年浙江省數學高考理科試題)

分析利用排除法可得選項C是正確的.因為|a+b|=|a|-|b|，則 a，b 共線，即存在實數 λ，使得 b=λa.

選項A：當|a+b|=|a|-|b|時，a，b可為異向的共線向量;選項B：若a⊥b，由正方形的性質得|a+b|=|a|-|b|不成立;選項 D：若存在實數 λ，使得 a=λb，則 a，b可為同向的共線向量，此時顯然|a+b|=|a|-|b|不成立.

評注本題主要考查平面向量的加法運算、數乘運算及它們的幾何意義，考查考生的邏輯思維能力和綜合運用數學知識解題的能力.

例2已知a，b是平面內2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是( )

(2008年浙江省數學高考理科試題)

評注本題主要考查平面向量的基本運算及其幾何意義，考查數形結合的思想.平面向量問題中若出現“數量積等于0”這一條件，通常考慮用向量運算的幾何意義解決.

圖1

圖2

2.2 平面向量的坐標運算

平面向量的坐標運算是實現向量運算代數化的有效途徑，要求考生能根據題設條件合理建立直角坐標系，用坐標表示向量并進行合理運算.

評注本題主要考查平面向量的坐標運算、向量加法和模的運算、不等式性質等基本知識，考查考生的推理與運算能力.

2.3 平面向量的數量積運算

數量積運算是向量試題考查的核心知識，有4種不同的運算方法.從數的角度看，它有定義式和坐標式;從形的角度看，它有幾何意義式和極化恒等式.

(1)定義式：a·b=|a||b|cosθ，適用于向量的模和夾角問題;

(2)坐標式：a·b=x1x2+y1y2，適用于向量的坐標運算;

(3)幾何意義式：a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積，適用于題設中存在與垂直相關的條件的向量計算問題;

即可.于是a=1，故HB=2，即H是AB的中點，因此△ABC是等腰三角形，從而AC=BC.故選D.

圖3

圖4

評注本題主要考查平面向量的基本運算和幾何意義，考查利用幾何圖形中特殊位置關系解決不等式恒成立問題，同時考查考生運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.本題條件構思巧妙，體現一題多解和多元化思維.

2.4 平面向量與其他數學知識交匯

平面向量與其他知識交匯也是高考的重點，常與函數、三角、不等式以及解析幾何等知識點交匯在一起出現，往往借助平面向量的數量積、模、向量的坐標運算等設置綜合問題.解決策略是通過有效運算實現向量運算、幾何運算向代數運算轉化.

評注本題主要考查平面向量的模的運算，利用配方法求二次函數最值，考查考生的運算能力和化歸思想.向量與函數、不等式交匯問題綜合性較強，本題側重于向量“數”的特征，應從代數運算入手突破.

評注本題是平面向量與三角函數交匯命題，主要考查平面向量坐標運算、模的計算、三角變換，已知三角函數值求角，考查考生綜合運用平面向量和三角函數知識的能力.平面向量與三角函數交匯試題，往往通過坐標運算去向量，實現代數化.

3 精題集萃

圖5

圖6

9.如圖6，已知圓 M：(x-3)2+(y-3)2=4，四邊形ABCD為圓M的內接正方形，E為邊AB的中點，當正方形ABCD繞圓心M轉動，同時點F在邊AD上運動時

參考答案

1.B 2.B 3.D 4.C

5.12 6.-16 7.(0，±1) 8.7 9.8