導數及其應用復習策略

●金克勤 (黃巖中學 浙江黃巖 318020)

導數及其應用復習策略

●金克勤 (黃巖中學 浙江黃巖 318020)

導數及其應用是高中與大學數學知識的銜接點.導數具有豐富的數學內涵和表現形式，是研究函數的最好工具之一，它與函數的圖像、性質以及方程、不等式之間的緊密聯系，成為高考中考查學生綜合能力的重要素材，往往擔任壓軸的大任.

1 考點回顧

根據考試說明，導數及其應用的考查主要體現在以下幾個方面：

(1)導數的概念及其幾何意義.考點為函數在某一點處的導數是其圖像上經過該點的切線的斜率.在試題中往往以求切線方程的形式出現.

(2)導數與函數性質的關系.考點為導函數的符號與函數單調性的關系;極值與最值的關系;函數的值域與參數的范圍的關系等.在試題中往往以求函數的單調區間，證明函數的單調性，求函數的極值、最值或值域等形式出現.

(3)導數與方程、不等式的關系.考點為討論方程解的個數;利用函數單調性求與函數相關的不等式的解集;討論參數的范圍;利用函數單調性證明不等式等.

(4)導數與函數圖像的關系.考點為判斷函數圖像的形狀、極值點的位置;判斷函數圖像的變化趨勢，特別是函數圖像在定義域邊界上的變化;函數圖像與直線等其他圖形的位置關系等.

(5)導數應用的考查，主要集中在最優化問題的計算上.在解析幾何中的面積、距離等幾何量最值問題的計算，以及在非線性不等式組所確定的可行域內求目標函數最值問題都有導數的應用.

運用導數研究函數抓住函數圖像建構的關鍵，主要集中在圖像的極值點以及邊界性質的討論和分析上，要具有宏觀分析問題的觀點，掌握一般性和特殊性相結合的解題方法.要重視對一些常見函數和常考函數的研究，縱觀近幾年的高考試題，導數及其應用部分所涉及到的函數主要有以下4種類型：

(1)含有參數的三次多項式函數.如：

(2)指數函數y=ex與不超過二次的多項式函數的組合.如等.

(3)對數函數與不超過二次的多項式函數、反比例函數的組合.如：

2 易錯點撥

在導數及其應用的考查中，有以下3個環節容易出錯：

(1)混淆曲線y=f(x)在點P處的切線與過點P的切線的區別.曲線在點P處的切線只有一條，而過點P的切線往往有多條.

例1求過點P(1，-1)且與曲線y=x3-2x相切的切線方程.

如果錯將點P(1，-1)當成切點，就會產生如下錯誤.

錯解因為y'=3x2-2，所以切線的斜率k=y'|x=1=1，從而切線的方程為x-y-2=0.

正解設 P0(x0，y0)為切點，則切線的斜率為 k=y'|x=x0=3x20-2，從而切線方程為

(2)函數極值概念不清導致錯誤.可導函數極值點的導數為0，但是導數為0的點不一定是極值點.因此，函數y=f(x)在x=x0處的導數值為0是函數y=f(x)在x=x0的必要條件而非充分條件.

例2 已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求 a+b的值.

在x=1的2側f'(x)的符號相反，符合題意.

在x=1的2側f'(x)的符號相同，不符合題意，舍去.故a+b=-7.

(3)導數與函數單調性的關系理解不準確導致的錯誤.在某個區間內 f'(x)＞0(或f'(x)＜0)是函數f(x)在該區間上為增(或減)函數的充分條件.在求函數單調區間時也需考慮f'(x)=0時的情況.

例3已知函數f(x)=ax3-x2+x-5在區間(-∞，+∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍.

正解f'(x)=3ax2-2x+1，因為f(x)在R上單調遞增，所以 f'(x)≥0，即

3 典例剖析

3.1 導數與函數的圖像

例4已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是 ( )

A.存在 x0∈R，使 f(x0)=0

B.函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形

C.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區間(-∞，x0)上單調遞減

D.若x0是f(x)的極值點，則 f'(x0)=0

分析對于三次多項式函數f(x)，其值域為R，因此一定存在x0∈R，使f(x0)=0，故選項A正確.我們知道三次函數y=x3是奇函數，其圖像是中心對稱圖形.假設函數f(x)=x3+ax2+bx+c圖像的對稱中心是(m，n)，按向量a=(-m，-n)將函數圖像平移，所得的函數 y=f(x+m)-n是奇函數，從而

化簡得(3m+a)x2+m3+am2+bn+c-n=0對于x∈R恒成立，因此

評注在有關導數及其應用的考查中，對于一些常見的初等函數圖像的考查見諸于高考之中，掌握好這些函數的圖像與性質對于解決相關問題非常重要.例如對于函數f(x)=x3+ax2+bx+c，其大致圖像如圖1所示，則選項 A，D是正確的，而選項C是錯誤的.對于三次多項式函數，其圖像是中心對稱圖形，若其有2個極值點 x1，x2，則點是其圖像的對稱中心.

圖1

3.2 導數與函數的極值、單調性

(1)求f(x)的單調區間、極值;

(2)討論關于x的方程|lnx|=f(x)根的個數.

(2)設函數

其中x∈(0，+∞)，考慮函數g(x)的零點個數，先要了解函數g(x)的圖像：

圖2

即 g'(x)＜0，故g(x)在(0，1)上單調遞減(如圖2).

因此，x=1是函數 g(x)唯一的極小值點，g(1)=-e-2-c.于是當g(1) ＞0，即 c＜ -e-2時，g(x)沒有零點;當g(1)=0，即c=-e-2時，g(x)有1個零點.下面考察c＞-e-2時函數g(x)的情形，此時 g(1)＜0，當x∈(1，+∞)時，由情形①可知

要使 g(x) ＞0，只需 lnx-1-c＞0，即 x∈(e1+c，+∞);而當x∈(0，1)時，同樣由情形②可知

要使 g(x) ＞0，只需 -lnx-1-c＞0，即 x∈(0，e-1-c)，因此當c＞-e-2時，g(x)有2個零點.

由此，我們可以知道關于x的方程|lnx|=f(x)，當c＜-e-2時，方程根的個數為0;當c=-e-2時，方程根的個數為1;當c＞-e-2時，方程根的個數為2.

評注在本例中，利用函數的極大值來進行函數值的估計，利用不等式的放縮來判斷函數值的符號.關于方程根的存在性以及根的個數的討論是高考中的熱點問題之一，因此利用導數來判斷函數值的方法，是有效解決這些問題的重要途徑.

3.3 導數與函數的最值

例6已知a∈R，函數f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.

(1)求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程;

(2)當 x∈［0，2］時，求|f(x)|的最大值.

分析(1)因為f'(x)=3x2-6x+3a，所以

而f(1)=1，從而所求的切線方程為

(2)函數|f(x)|在［0，2］上的最大值只能在區間的端點及函數f(x)的極值點上取到.

而 f'(0)=f'(2)=3a，因此

①當 a≥1時，f'(x)≥0，f(x)是［0，2］上的增函數，故

②當 a≤0時，f'(x)≤0，f(x)是［0，2］上的增函數，故

因為x1+x2=2，所以

即f(x)的2個極值點關于點(1，1)對稱(如圖3所示)，從而

圖3

評注函數的最值問題是函數的整體性質，閉區間上函數的最值只能在區間的端點和極值點上取到，因此需要對函數在這個區間上的性質作充分地分析才能進行準確地判斷.其中要充分利用函數的圖像以及問題所具有的特殊性.在本題中，函數圖像關于點(1，1)對稱是解題的節點.

3.4 導數與函數不等式

例7已知函數f(x)=x2lnx.

(1)證明：對于任意t＞0，存在唯一的s，使t=f(s);

(2)設第(1)小題中所確定的s關于t的函數為s=g(t)，證明：當 t＞e2時，有

分析(1)因為當0＜x≤1時，f(x)≤0，所以要證明當x∈(1，+∞)時，f(x)是單調函數且值域為(0，+∞).

設 h(x)=f(x)-t，則

當 x∈(1，+∞)時，h'(x) ＞0，從而 h(x)在(1，+∞)上單調遞增.又 h(1)=-1＜0，h(et)=e2tlnet-t=t(e2t-1) ＞0，故存在唯一的s∈(1，+∞)，使t=f(s)成立.

(2)因為 s=g(t)，由第(1)小題可知 t=f(s)，且 s＞1，因此

由f(x)在區間(1，+∞)上單調遞增，知s＞e，因此u=lns＞1，故 lnu＞0.

令 φ'(u)=0，得 u=2.當1＜u＜2時，φ'(u) ＞0;當 u＞2時，φ'(u)＜0，從而u=2是φ(u)唯一的極大值點，故對于u＞1，

評注函數不等式與函數的單調性之間存在著自然的聯系，函數的零點、極值點、最值、單調區間與函數間的不等關系緊密相關，利用導數研究不等式也是高考的熱點之一.

導數及其應用的考查，綜合性強、要求高、難度大，但它所體現的數學思想、數學價值是其他內容所不能替代的.因此在高考中往往是作為考查學生綜合能力的壓軸大題，但是只要我們緊緊依靠導數這個有力的工具，樹立函數圖像整體觀點，抓住函數單調性的關鍵，就能在錯綜復雜的問題中發現本質，從而正確地解決問題.

4 精題集萃

1.若函數 f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點 x1，x2，且f(x1)=x1，則關于x的方程3［f(x)］2+2af(x)+b=0的不同實根的個數是 ( )

A.3 B.4 C.5 D.6

2.設函數f(x)的定義域為R，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點，以下結論一定正確的是 ( )

A.對于任意 x∈R，f(x)≤f(x0)

B.-x0是f(-x)的極小值點

C.-x0是-f(x)的極小值點

D.-x0是-f(-x)的極小值點

(1)若曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值;

(2)求函數f(x)的極值;

(3)當a=1時，若直線l：y=kx-1與曲線 y=f(x)沒有公共點，求k的最大值.

7.已知a為給定的正實數，m為實數，函數 f(x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1.

(1)若f(x)在(0，3)上無極值點，求m的值;

(2)若存在 x0∈(0，3)，使得f(x0)是f(x)在［0，3］上的最值，求m的取值范圍.

參考答案

(2)當a≤0時，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，+∞)上單調遞增，故函數f(x)沒有極值;當a＞0時，令 f'(x)=0，得x=lna，f(x)在(-∞，lna)上單調遞減，在(lna，+∞)上單調遞增，故 f(x)在 x=lna處取得極小值，且極小值為f(lna)=lna，函數無極大值.