含參數的不等式恒成立問題

●范東暉 (北侖中學 浙江寧波 315800)

含參數的不等式恒成立問題

●范東暉 (北侖中學 浙江寧波 315800)

1 考點回顧

含參數的不等式恒成立問題，是近幾年高考的熱點，它往往以函數、數列、三角函數、解析幾何為載體，具有一定的綜合性.解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想，根據不等式的結構特征恰當地構造函數，從而轉化為含參數的函數最值討論.

含參數的不等式恒成立問題，常見的是函數中的不等式恒成立問題，另外還有數列中的不等式恒成立問題.涉及題型一般有2類：一是已知不等式恒成立，求參數的取值范圍，解決這類問題的基本方法是相同的，首選方法是利用分離參數轉化為求新函數、新數列的最值問題，如果不能分離參數或者分離參數比較復雜時，一般選擇函數的方法，建立參數所滿足的不等關系，利用函數的最值或值域解決;二是證明不等式恒成立，在函數中一般選擇以算代證，即通過求函數的最值證明不等式.在數列中，很多時候可以與放縮法結合起來，對所證不等式的一側進行適當放大或縮小.

2 典例剖析

例1已知2個函數f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中 k∈R.

(1)若對任意的x∈［-3，3］，都有 f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍;

(2)若對任意的 x1，x2∈［-3，3］，都有 f(x1)≤g(x2)，求k的取值范圍.

分析(1)令

問題轉化為 F(x)≥0在 x∈［-3，3］時恒成立，故解F(x)min≥0即可.求導得

由 F'(x)=0，得

由k-45≥0，解得 k≥45.故實數 k的取值范圍是［45，+∞).

(2)由題意可知當 x∈［-3，3］時，有

因此實數k的取值范圍是［141，+∞).

評注將恒成立問題轉化為求函數的最值問題來處理，一般有下面2種類型：

(1)若所給函數能直接求出最值，則：

①f(x)＞0恒成立?f(x)min＞0;

②f(x)≤0恒成立?f(x)max≤0.

(2)若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式2端，則問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍，有(下面的a為參數)：

①f(x)＜g(a)恒成立?g(a)＞f(x)max;

②f(x)＞g(a)恒成立?g(a)＜f(x)min.

例2定義在R上的函數f(x)既是奇函數，又是減函數，且當2)＞0恒成立，求實數m的取值范圍.

將“抽象函數”問題轉化為常見的含參二次函數在區間(0，1)上恒為正的問題.而對于f(x)＞0在給定區間［a，b］上恒成立問題可以轉化成為f(x)在［a，b］上的最小值問題，f(x)中對稱軸為t=m，含有參數m，分①t=m＜0;②t=m∈［0，1］;③t=m＞1這3種情況進行討論，可知

評注利用不等式與函數和方程之間的聯系，將問題轉化成一次函數或二次函數(二次方程)的問題進行研究，一般有下面幾種類型：

(1)一次函數型問題：利用一次函數的圖像特點求解.

對于一次函數 f(x)=kx+b(k≠0)，x∈［m，n］，有

(2)二次函數型問題：結合拋物線的形狀考慮對稱軸、頂點、區間端點等，列出相關的不等式，求出參數的解.下面是2種基本類型：

當 x∈(0，1)時，I'(x) ＜0，故 I(x)在［0，1］上是減函數，于是 I(x)在［0，1］上的值域為［a+1+2cos1，a+3］.

因為當 a＞ -3 時，a+3 ＞0，所以存在 x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此時 f(x0) ＜g(x0)，即 f(x)≥g(x)在［0，1］上不恒成立.綜上，可得實數a的取值范圍是(-∞，-3］.

評注一般地，證明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以構造函數 F(x)=f(x)-g(x).若 F'(x) ＜0，則 F(x)在(a，b)上是減函數，同時若F(a)≤0，則由減函數的定義可知，x∈(a，b)時，有 F(x) ＜0，即證明了 F(x) ＜g(x).

證明 f(x) ＞g(x)，x∈(a，b)，可以構造函數 F(x)=f(x)-g(x).若 F'(x) ＞0，則 F(x)在(a，b)上是增函數，同時若 F(a)＞0，則由增函數的定義可知，x∈(a，b)時，有F(x)＞0，即證明了 f(x)＞g(x).

例4已知函數(k為常數，e=2.718 28是自然對數的底數)，曲線 y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行.

(1)(2)略.

(3)設g(x)=(x2+x)f'(x)，其中 f'(x)為 f(x)的導函數，證明：對任意 x＞0，g(x) ＜1+e-2.

(2012年山東省數學高考試題)

分析由題意易得

因此對任意 x＞0，g(x) ＜1+e-2.

評注本題中證明當x＞0時，g(x)＜1+e-2恒成立，如果直接證明函數上的最大值小于1+e-2，非常困難.注意到在(0，+∞)上(這是一個重要而有用的結論)，進而將問題轉化為較易求的函數h(x)=1-x-xlnx在(0，+∞)上的最大值問題，使問題得以順利解決.

例5已知a＞0，b∈R，函數f(x)=4ax3-2bx-a+b.

(1)證明：當0≤x≤1時，

①函數f(x)的最大值為|2a-b|+a;

②f(x)+|2a-b|+a≥0.

(2)若 -1≤f(x)≤1對 x∈［0，1］恒成立，求 a+b的取值范圍.

(2012年浙江省數學高考試題)

分析(1)①要求f(x)的最大值，因為f(x)是三次函數，通常做法：對其求導得

考慮f'(x)在0≤x≤1的符號，顯然當b≤0時，

在0≤x≤1上恒成立，此時f(x)的最大值為

當b＞0時，

在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時f(x)的最大值為

亦即證g(x)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2ab|+a.對g(x)=-4ax3+2bx+a-b進行求導，類似第①小題可以證得.

(2)由第①小題知，當 x∈［0，1］時，

評注 第(2)小題是不等式恒成立問題，考查的還是平時用的主要方法——最值方法，但得出結論“-1≤f(x)≤1對于x∈［0，1］恒成立的充要條件”需要較強的邏輯思維、總結歸納的能力.

例6在數列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*)，其中實數c≠0.若對一切k∈N*有a2k＞a2k-1，求c的取值范圍.

分析由題中的遞推公式直接求，感覺無從下手，此時可以由題中給出的遞推公式求出前面幾項，再應用歸納推理得出結論

再利用數學歸納法進行證明.將不等式a2k＞a2k-1化簡后得

題中的恒成立問題不能分離參數，則利用函數最值的方法求解.對于類似二次函數的最值問題，應進行分類討論，分3種情況：①c2-c=0;②c2-c＜0;③c2-c＞0.對二次項系數和對稱軸進行討論，得到f(k)＞0對k∈N*恒成立，只需f(1)＞0即可，最后得到c的取值范圍為

評注本題中關于k的不等式，不能通過分離參數將k與c分離，這時的一般解法是直接利用函數知識求函數最值，只是這時的函數定義域不是連續區間，這也是數列與函數的區別.由此可見，數列中的不等式恒成立與函數中不等式恒成立的解法基本相同，不同之處就是定義域不同.

3 精題集萃

7.設函數 f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.若x≥ -2時，f(x)≤kg(x)，求 k的取值范圍.

8.已知函數f(x)=ex-ln(x+m)，當m≤2時，證明：f(x)＞0.

7.解由題意求得