數學高考中的概率與統計

●胡水林 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

數學高考中的概率與統計

●胡水林 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

1 考點回顧

現代社會是信息化的社會，人們常常需要收集數據，根據所獲得的數據提取有價值的信息，作出合理的決策.統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的科學，它可以為人們制定決策提供依據.概率是研究隨機現象規律的科學，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法.因此，概率與統計基礎知識不僅是一個公民的必備常識，同時又是大學概率論與統計學的基礎，更是各省、市高考數學中考查實際應用能力和數學建模能力的一個重要載體，已成為高考的熱點之一.

概率與統計的考查注重概率統計的基本思想、基本方法和基本應用，主要考點有：等可能性事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、對立事件的概率、獨立事件同時發生的概率、事件在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率、以及取有限個值的離散型隨機變量的分布列、期望、方差、兩點分布、二項分布、超幾何分布等;抽樣方法、統計中數據特征、用樣本估計總體、直方圖、條形圖、莖葉圖、正態分布等核心知識的考查.

2 易錯點撥

(1)對頻率分布直方圖和莖葉圖的準確識圖;

(2)正確理解“頻率”與“概率”之間的關系;

(3)準確把握互斥事件與對立事件的概念及相應概率公式;

(4)弄清楚“互斥事件”與“等可能事件”的差異;

(5)計算古典概型時，一定要先進行事件等可能性的判斷，防止因基本事件發生的可能性不相等而致誤;

(6)解古典概型問題時，特別要注意分清“有放回”與“無放回”、“有序”與“無序”等條件的影響.

2 典例剖析

例1設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規定：取出1個紅球得1分，取出1個黃球2分，取出1個藍球得3分.

(1)當a=3，b=2，c=1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2個球所得分數之和，求ξ的分布列;

(2)從該袋子中任取(且每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數，若Eη=5，Dη=3

(2013年浙江省數學高考理科試題)

分析(1)本小題由于每個球(有放回，且每球取到的機會均等)被取的可能性相等且基本事件的總數是有限的，可知該題屬于古典概型.因此，可以采用“雙向表”(如表1)清楚地列出各種情況的基本事件，從而計算出相應的概率.

表1 雙向表

當2次摸到的球分別是紅紅時，ξ=2，此時

當2次摸到的球分別是黃黃、紅藍、藍紅時，ξ=4，此時

當2次摸到的球分別是紅黃、黃紅時，ξ=3，此時

當2次摸到的球分別是黃藍、藍黃時，ξ=5，此時

當2次摸到的球分別是藍藍時，ξ=6，此時

因此ξ的分布列如表2所示：

表2 ξ的分布列

(2)本小題從袋子中任取(且每球取到的機會均等)1個球，η表示取到球的分值，因此，η有3種取值，即1，2，3，從而η的分布列如表3所示：

表3 η的分布列

評注本題主要考查隨機事件概率的隨機變量的分布列、數學期望、數學方差等概念，同時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識.

解決古典概型問題的關鍵是要明確：①基本事件是什么?②試驗是否等可能?③基本事件總數是什么?④事件中包含多少個基本事件?策略可采用“雙向表”來加以分析.

例2圖1是某市3月1日～14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日～13日中的某一天到達該市，并停留2天.

圖1

(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率;

(2)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數，求X的分布列與數學期望;

(3)由圖1判斷從哪天開始連續3天的空氣質量指數方差最大(結論不要求證明)?

(2013年北京市數學高考理科試題)

分析對于此類以社會熱點為主題的應用性問題，要注意認真審題，從數學與實際生活2個角度來理解問題的實質，將問題成功轉化為古典概型、獨立事件、互斥事件等概率模型求解，因此對于概率型應用性問題來說，理解是基礎，轉化是關鍵.

設Ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i=1，2，，13).根據題意

(1)設B為事件“此人到達當日空氣重度污染”，則B=A5∪A8，從而

因此X的分布列如表4所示：

表4 X的分布列

(3)從3月5日開始連續3天的空氣質量指數方差最大.

評注本題主要考查古典概型及其計算公式、互斥事件、事件的相互獨立性、離散型隨機變量的分布列與數學期望等基礎知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.

圖2

例3某車間共有12名工人，隨機抽取6名，他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖2所示，其中莖為十位數，葉為個位數.

(1)根據莖葉圖計算樣本均值;

(2)日加工零件個數大于樣本均值

的工人為優秀工人，根據莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優秀工人;

(3)從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優秀工人的概率.

(2013年廣東省數學高考理科試題)

分析首先試題的選材來源于生活，學生比較熟悉，其次本題主要考查莖葉圖識圖，通過樣本的均值，來推斷總體水平.

(1)由題意可知，樣本均值

(2)因為樣本6名工人中日加工零件個數大于樣本均值的工人共有2名，所以可以推斷該車間12名工人中優秀工人的人數為

評注本題主要考查了莖葉圖的識圖能力，難度適中，準確讀取莖葉圖的數據是解題的關鍵.

例4某聯歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲，乙2種抽獎方案，方案甲的中獎率為中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為中獎可以得3分;未中獎則不得分.每人有且只有1次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數兌換獎品.

(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率;

(2)若小明、小紅都選擇方案甲或方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大?

(2013年福建省數學高考理科試題)

分析在解決摸獎的古典概型問題時，要特別注意分清“有放回”與“無放回”、“有序”與“無序”等條件的影響.

(2)設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數為X1，都選擇方案乙抽獎中獎的次數為X2，則這2個人選擇方案甲抽獎累計得分的數學期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數學期望為E(3X2).

所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望最大.

評注本題主要考查了獨立事件、互斥事件、對立事件、二項分布等概念.判斷一個隨機變量是否服從二項分布，其關鍵是：(1)獨立性，即在一次實驗中，事件發生與不發生二者必居其一;(2)重復性，即實驗獨立重復地進行了n次.

本題主要考查了利用概率知識求期望的決策問題，立意新穎.由于利用了隨機變量的一些性質，因此運算大為簡化.這里用到的性質有：

例5現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙2個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲1枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.

(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;

(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率;

(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記ξ=|X-Y|，求隨機變量的分布列與數學期望Eξ.

(2012年天津市數學高考理科試題)

分析本題主要考查互斥事件概率的求解、離散型隨機變量的分布列與期望，關鍵是確定變量的取值，理解變量取值的含義.同時，要注意在解決概率問題時要規范解答，有必要的文字敘述，不能只有數字和符號.

參加甲游戲”為事件 Ai(i=0，1，2，3，4)，則

(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為

(2)設“這4人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數”為事件B，則B=A3∪A4，由于A3與A4互斥，故

因此這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率為

(3)ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A1與 A3互斥，A0與A4互斥，故

因此ξ的分布列如表5所示：

表5 ξ的分布列

隨機變量ξ的數學期望為

評注本題主要考查古典概型及其計算公式、互斥事件、獨立重復事件、離散型隨機變量的分布列與數學期望、二項分布等核心知識;考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.應用性問題是高考命題的一個重要考點，近年來常通過概率問題來考查，且常考常新.

3 精題集萃

1.設隨機變量ξ服從正態分布N(3，4)，若P(ξ＜2a-3)=P(ξ＞a+2)，則 a的值為 ( )

2.某學習小組共12人，其中有5人是“三好學生”，現從該小組中任選5人參加競賽，用ξ表示這5人中“三好學生”的人數，則下列概率中等于的是 ( )

A.P(ξ=1) B.P(ξ≤1)

C.P(ξ≥1) D.P(ξ≤2)

3.某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數據的平均數為 10，方差為 2，則|x-y|的值為 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

圖3

4.為了了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生，得到學生視力的頻率分布直方圖(如圖3所示).由于不慎將部分數據丟失，但知道前4組的頻數成等比數列，后6組的頻率成等差數列.設最大頻率為a，視力在4.6～5.0之間的學生人數為 b，則 a，b的值分別為 ( )

A.0.27，78 B.0.27，83

C.2.7，78 D.2.7，83

5.已知箱中共有6個球，其中紅球、黃球、藍球各2個.每次從該箱中取1個球(有放回，每球取到的機會均等)，共取3次.設事件A：“第1次取到的球和第2次取到的球顏色相同”，事件 B：“3次取到的球顏色都相同”，則P(B|A)= ( )

圖4

6.在某學校組織的校園十佳歌手評選活動中，8位評委為某學生的演出打出分數的莖葉統計圖如圖4所示.去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數為 .

7.抽樣統計甲、乙2位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環)，結果如表6所示.

表6 2位射擊運動員的5次訓練成績

則成績較為穩定(方差較小)的那位運動員成績的方差為＿＿.

8.拋擲2枚骰子得到向上的點數分別記為m，n，則mn是偶數的概率等于 .

9.盒子A里裝有3個大小形狀完全相同的小球，分別標有數字1，2，3;盒子B里也有3個大小形狀完全相同的小球，分別標有數字2，3，4.現分別從A，B這2盒子里各任取1個球，記所得的2個數字之差的絕對值為ξ，則Eξ=.

10.一個袋子中裝有6個大小形狀完全相同的小球，其中1個球編號為1，2個球編號為2，3個球編號為3，現從中任取1個球，記下編號后放回，再任取1個球，則2次取出的球的編號之和等于4的概率是 .

11.甲、乙2支球隊進行總決賽，比賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝4場，則此隊為總冠軍，比賽就此結束.因2個隊實力相當，每場比賽2隊獲勝的可能性均為.據以往資料統計，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元.

(1)求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率;

(2)設總決賽中獲得的門票總收入為X，求X的均值E(X).

參考答案

1.A 2.B 3.D 4.A 5.B

11.解(1)依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為40、公差為10的等差數列.設此數列為{an}，則易知

解得n=-12(舍去)或n=5，因此此決賽共比賽了5場.前4場比賽的比分必為1∶3，且第5場比賽為領先的球隊獲勝，其概率為

(2)隨機變量 X 可取的值為 S4，S5，S6，S7，即 220，300，390，490，又

從而X的分布列如表7所示：

表7 X的分布列

因此X的均值為E(X)=377.5(萬元).