立體幾何中的翻折與展開問題

●林懷傳 (龍泉市第一中學 浙江龍泉 323700)

立體幾何中的翻折與展開問題

●林懷傳 (龍泉市第一中學 浙江龍泉 323700)

1 考點回顧

圖形的翻折與展開是立體幾何圖形的2種重要變換.它是空間幾何與平面幾何問題轉化的集中體現，也是立體幾何中考查分析能力與創新能力的好素材.解決這類題目的關鍵是抓住圖形的特征關系(特別是垂直關系).畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分析清楚翻折前后發生變化的量及其關系和沒有發生變化的量及其關系，并以此為出發點結合目標運用立體幾何基礎知識解決問題.

2 方法點撥

例1已知矩形ABCD，AB=1，BC=.將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中( )

A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D.對任意位置，直線AC與BD，AB與CD，AD與BC均不垂直

(2012年浙江省數學高考理科試題第10題)

點撥翻折問題分為2類，其中第1類是翻折過程中圖形繞固定軸翻折.這類問題比較有效的一種思考角度是考察點的運動軌跡，尋找運動中的不變量.本題答案為B.

圖1

例2 如圖1，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC(端點除外)上一動點.現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作 DK⊥AB，K為垂足，設AK=t，則t 的取值范圍是 .

(2009年浙江省數學高考理科試題第17題)

點撥第2類翻折問題是翻折過程中圖形繞變化軸翻折，本題中AF也在運動.解題關鍵是要注意到：△ADF在翻折過程中，始終保持AD⊥DF不變，這就是本題的突破口.作FR⊥AB，由AD⊥DF，知AD⊥DR，從而△ADR為直角三角形.因此由射影定理得

方法歸納翻折問題一般都跟垂直緊密聯系，通過翻折將平面幾何問題演變為立體幾何問題，考查立體幾何中的垂直關系.命題的包裝可以在平面圖形上做手腳，而能力的立意卻固定在垂直關系上.對于這類問題，我們應好好揣摩，不慌不亂，抓不變量，緊握垂直主線.

3 典例剖析

例3如圖 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC的中點，E為BD的中點，AE的延長線交BC于點F，將△ABD沿BD折起，記二面角A-BD-C的大小為θ.

(1)求證：面AEF⊥面BCD;

(2)當AB⊥CD時，求θ的余弦值.

(1)證明在Rt△ABC中，∠C=30°，D為AC的中點，則△ABD是等邊三角形.又因為E是BD的中點，所以

折起后，AE∩EF=E，即

圖2

點撥本小題關鍵在BD⊥AE，BD⊥EF，在翻折前后的垂直關系不變.

圖3

(2)解如圖3，過點A作AP⊥面BCD于點P，則點 P在 FE的延長線上.設BP與CD相交于點 Q，令AB=1，則△ABD是邊長為1的等邊三角形.若 AB⊥CD，則

由∠AEF=θ就是二面角A-BD-C的平面角，知當AB⊥CD時，

點撥求解本小題的關鍵是：若AB⊥CD，則BQ⊥CD.

例4點O是邊長為4的正方形ABCD的中心，點E，F分別是AD，BC的中點.沿對角線AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B.

(1)求∠EOF的大小;

(2)求二面角E-OF-A的余弦值.

圖4

解(1)如圖4，過點 E作 EG⊥AC，垂足為 G，過點 F作 FH⊥AC，垂足為 H，則

(2)過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，聯結EM.由二面角 D-AC-B為直二面角，知平面 DAC⊥平面BAC，交線為AC.又因為

本題還可以通過建立坐標系，用向量法解決(略).

圖5

例5如圖5，在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，點E，F分別在邊 CD，CB上.點 E與點 C，D 不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求證：BD⊥平面POA;

(2)記三棱錐P-ABD的體積為V1，四棱錐P-BDEF的體積為V2，且

求此時線段PO的長.

(1)證明在菱形ABCD中，由BD⊥AC，得

因為平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABEFED=EF，且PO?平面PEF，所以PO⊥平面 ABFED.由 BD?平面ABFED，知PO⊥BD，又 AO∩PO=O，于是 BD⊥平面POA.

(2)解設AO∩BD=H.由第(1)小題知，PO⊥平面ABFED，從而PO為三棱錐P-ABD及四棱錐P-BDEF的高，于是

4 精題集萃

1.在矩形 ABCD 中，AB=a，AD=2b，a ＜ b，E，F 分別是AD，BC的中點，以 EF為折痕把四邊形 EFCD折起，當∠ECB=90°時，二面角C-EF-B的平面角的余弦值等于( )

圖6

2.如圖6，一張正方形的紙ABCD，BD是對角線，過AB，CD的中點E，F的線段交BD于點O，以EF為棱，將正方形的紙折成直二面角，則∠BOD=( )

A.120° B.150°

C.135° D.90°

A.30° B.45° C.60° D.90°

圖7

4.如圖7，在正三角形 ABC中，D，E，F 分別為各邊的中點，G，H，I，J分別為 AF，AD，BE，DE 的中點.將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數為( )

A.90° B.60° C.45° D.0°

5.設M，N是直角梯形ABCD兩腰的中點，DE⊥AB于點E(如圖8).現將△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B為45°，此時點A在平面BCDE內的射影恰為點B，則M，N的連線與AE所成角的大小等于 .

圖8

6.已知正方形 ABCD，E，F 分別是AB，CD的中點，將△ADE沿DE折起，如圖9所示，記二面角A-DE-C的大小為θ(0＜θ＜π).

(1)證明：BF∥平面ADE;

(2)若折起后△ACD為正三角形，試判斷點A在平面BCDE內的射影G是否在直線EF上，證明你的結論，并求角θ的余弦值.

圖9

7.如圖10，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4.E，F 分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起.記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.

(1)求證：NC∥平面MFD;

(2)若 EC=3，求證：ND⊥FC;

(3)求四面體NFEC體積的最大值.

圖10

參考答案

1.C 2.A 3.A 4.B 5.90°

6.(1)證明EF分別為正方形ABCD邊AB，CD的中點，從而

因此四邊形EBFD為平行四邊形，即

又EF?平面AED，而BF?平面ABD，于是BF∥平面ADE.

(2)解如圖9，點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上，過點A作AG⊥平面 BCDE，垂足為點 G，聯結 GC，GD.由△ACD為正三角形，得

又點G在CD的垂直平分線上，知點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上，過點G作GH⊥ED于點H，聯結AH，則AH⊥DE，從而∠AHD為二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ.

設原正方形的邊長為2a，聯結AF，在折后圖的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，即△AEF 為直角三角形，從而

7.(1)證明因為四邊形MNEF，EFDC都是矩形，所以

于是四邊形MNCD是平行四邊形，即

又NC?平面MFD，得NC∥平面MFD.

(2)證明設 ED∩FC=O，由平面 MNEF⊥平面ECDF，且 NE⊥EF，得 NE⊥平面 ECDF，從而

又EC=CD，知四邊形ECDF為正方形，從而

(3)解設 NE=x，則 EC=4-x，其中0＜x＜4.由第(1)小題得NE⊥平面FEC，于是四面體NFEC的體積為

當且僅當x=4-x，即x=2時，等號成立.故當x=2時，四面體NFEC的體積最大值為2.