動態(tài)幾何 策略引領 理性探索
——例說立體幾何“動態(tài)”題型解題策略

●馬茂年 (杭州第十四中學 浙江杭州 310006) ●吳曉明 (富春高級中學 浙江桐廬 311500)

動態(tài)幾何 策略引領 理性探索
——例說立體幾何“動態(tài)”題型解題策略

●馬茂年 (杭州第十四中學 浙江杭州 310006) ●吳曉明 (富春高級中學 浙江桐廬 311500)

“動態(tài)”充滿著神奇，孕育著創(chuàng)造.動態(tài)性問題滲透著運動變化的觀點，是立體幾何的一大難點，又是高考的一大亮點;這類題涉及的知識點多，覆蓋面廣，滲透著主要的數(shù)學思想方法，能全方位地考查學生的基礎知識、基本能力、數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學發(fā)展?jié)撃艿?學生在解決這類問題時，總存在著一定的心理和思維方面的困惑或障礙.解決好立體幾何的“動態(tài)”題，不僅可以提高學生分析問題和解決問題的能力，而且可以提高學生的數(shù)學應用能力和數(shù)學綜合解題能力.

所謂“動態(tài)”性立體幾何題，是指在點、線、面運動變化的幾何圖形中，探尋點、線、面的位置關系或進行有關角與距離的計算.由于這類題情景新穎、解法靈活、極富有思考性和挑戰(zhàn)性，能更好地考查學生的空間想象能力和思維能力，因此成了高考的熱點內(nèi)容之一.我們知道，動與靜是矛盾的2個方面，動中有靜，靜中有動.在解“動態(tài)”性立體幾何題時，如果我們能努力探尋運動中靜止的一面，動中求靜，那么往往能以靜制動、克難致勝.本文就立體幾何中的“動態(tài)”問題的幾種類型和解題策略，通過幾個具體實例加以歸納，以供參考.

1 從概念和定義中挖掘“動態(tài)”題型的解題思路

例1 如圖1，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內(nèi)運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是 ( )

A.圓 B.橢圓

C.1條直線 D.2條平行直線

分析 此題中AB的長度是固定的，同時△ABP的面積也為定值，因此AB邊上的高h也應該是定值，即點P到直線AB的距離為定值h.因此點P可以在以AB為軸、h為半徑的圓柱的側(cè)面上隨意運動.點P的軌跡可看成以AB為軸的圓柱被平面α所截得的圖形，即圓柱面與平面α的交線為橢圓.故選B.

圖1

圖2

評析此題為2008年浙江省高考題，當年得分率并不高.解決此題主要運用構造思想，構造一個圓柱模型，從數(shù)學的概念和定義中挖掘解題思路.這樣的挖掘看似將題目復雜化了，其實是以退為進，反而讓我們尋找到了解題的突破口.當然，構造也不能亂造，要有的放矢，即根據(jù)題目的特征適時地、合理地構造.

2 從“等價”變形和轉(zhuǎn)換中破解“動態(tài)”題型的解題思路

例2如圖2，正方體 ABCD-A1B1C1D1，棱長為1，點 M在棱AB上，且BM ∶AM=1∶3，點P是平面ABCD上的動點，且動點P到直線A1D1距離與動點P到M距離平方差為1，則動點P的軌跡是 ( )

A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.直線

分析設PF⊥A1D1，垂足為 F，過點 P作PE⊥AD，垂足為 E，聯(lián)結 EF，則 AD⊥平面 PEF，AD⊥EF，即

由拋物線定義可知點P的軌跡為拋物線.

評析在復雜題型中，往往需要通過計算再根據(jù)曲線特征定義來判斷軌跡.從數(shù)學的“等價”變形和轉(zhuǎn)換中破解解題思路，通過代數(shù)計算來判斷平面軌跡.立體幾何中的軌跡問題往往求解的是交點的軌跡，因此根據(jù)圖形發(fā)揮想象去判斷動點可能形成的軌跡形狀是一種比較直觀簡便的方法，適用于填空題或選擇題.

3 從數(shù)學題目的具體特點中思索“動態(tài)”題型的解題思路

例3如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是 ( )

A.線段B1C

B.BB1中點與CC1中點連成的線段

C.線段BC1

D.BC中點與B1C1中點連成的線段

分析(1)若點P與點C重合，在正方體ABCDA1B1C1D1中，BD1在平面 ABCD內(nèi)的射影是BD，而 AC⊥BD，由三垂線定理可得AC⊥BD1，即AP⊥BD1.

(2)若點 P與點 C不重合，可知 AC⊥BD1，又 AP⊥BD1，從而 BD1⊥平面 APC，可得 PC⊥BD1.又由于 AB⊥平面BB1C1C，則有AB⊥PC，從而PC⊥平面ABD1，可得 PC⊥AD1，則PC⊥BC1.而在平面BCC1B1內(nèi)，過點C與BC1垂直的直線是B1C.

結合(1)和(2)的分析可得，動點P的軌跡是線段B1C.故選 A.

評析結合立體幾何中圖形本身的點、線、面之間的位置關系特征，或從數(shù)學題目中的具體數(shù)字特點來思索解題思路，也是解決立體幾何中軌跡問題的一種重要解題方法.例如本例中，充分注意到題目中AP⊥BD1的特點，通過分類討論點P與點C重合和點P與點C不重合來思索解題思路，結合幾何中圖形本身的特征來確定所求動點P的軌跡是線段B1C.

圖3

圖4

4 從多種條件限制和分類中突破“動態(tài)”題型的解題思路

例4如圖4，定點A和B都在平面α內(nèi)，點C是α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC.那么，動點C在平面α內(nèi)的軌跡是 ( )

A.1條線段，但要去掉2個點

B.1個圓，但要去掉2個點

C.1個橢圓，但要去掉2個點

D.半圓，但要去掉2個點

分析由PB⊥α，可得PB⊥AC.又PC⊥AC，從而AC⊥平面PBC，則可得AC⊥BC.由于定點A和B都在平面α內(nèi)，動點C滿足AC⊥BC的軌跡是在平面α內(nèi)以AB為直徑的圓.而C是α內(nèi)異于A和B的動點，于是動點C在平面α內(nèi)的軌跡是在平面α內(nèi)以AB為直徑的圓(但去掉2個點A和B).故選B.

評析本例為2004年天津市數(shù)學高考試題，得分率尚可.如果這道題改為填空題，很多考生就不會注意條件的限制.在做此類“動態(tài)”題型時，需注意結果的多種可能性或軌跡求解中的條件限制.立體幾何與解析幾何作為幾何的2個分支，兩者“聯(lián)姻”而成的題型——立體幾何中的軌跡問題逐漸成為高考與各省市模擬考中的熱點.

5 從對特殊性的探究和求解中感悟“動態(tài)”題型的解題思路

圖5

例5如圖5，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點P是棱上一點，則滿足|PA|+|PC1|=2的點P的個數(shù)為＿＿ .

分析點P在以A，C1為焦點的橢圓上.若點P在AB上，設AP=x，則PA+PC1=2，解得.故AB上有一點P(AB 的中點)滿足條件.同理在 AD，AA1，C1B1，C1D1，C1C 上各有一點滿足條件.又若點P在BB1上，則

故 BB1上不存在滿足條件的點 P，同理 DD1，BC，A1D1，DC，A1B1上也不存在滿足條件的點P.答案為6.

評析對于立體幾何的軌跡問題，學生往往感覺比較陌生，不知從何下手.解決立體幾何中的軌跡問題的關鍵是通過知識點的遷移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)動點所滿足的幾何條件，再把它轉(zhuǎn)化為解析幾何的問題來求解.本題根據(jù)條件|PA|+|PC1|=2，先探究點P的位置在以A，C1為焦點的橢圓上，再根據(jù)條件判定是否滿足已知條件來確定所求點的個數(shù).

6 從形式的轉(zhuǎn)化和應用中明晰“動態(tài)”題型的解題思路

例6請你設計一個包裝盒.如圖6所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的4個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得點A，B，C，D重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的2個端點.設 AE=FB=x，則

(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S最大，試問x應取何值?

(2)某廠商要求包裝盒的容積V最大，試問x應取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

分析設包裝盒的高為h，底面邊長為a.由已知得

(1)因為S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800，所以當x=15時，S取得最大值.

由 V'=0得 x=0(舍去)或 x=20.當 x∈(0，20)時，V'＞0;當 x∈(20，30)時，V'＜0.因此當 x=20 時，V 取得極大值，也是最大值.此時即包裝盒的高與底面邊長的比值為

圖6

評析本題主要考查空間幾何體中的最值問題，綜合考查數(shù)學建模能力及應用導數(shù)解決實際問題的能力.本題的解題思路是確定函數(shù)關系，通過求導來確定函數(shù)的最值，從數(shù)學形式的轉(zhuǎn)化和應用中明晰“動態(tài)”題型的解題思路.

7 從數(shù)形結合的解題過程中品味“動態(tài)”題型的解題思路

例7如圖 7，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M為AA1的中點，P是BC上一點，且由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到點M的最短路線長為.設這條最短路線與C1C的交點為N，求：

圖7

(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長;

(2)PC和NC的長;

(3)平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的正切值.

困惑(1)不知道利用側(cè)面BCC1B1展開圖求解，不會找長為的線段在哪里;(2)不會找二面角的平面角.

解(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個長為9、寬為4的矩形，其對角線長為

(2)如圖8，將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AC1在同一平面上，點P運動到點P1的位置，聯(lián)結MP1，則MP1就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過CC1到點M的最短路線.

設 PC=x，則 P1C=x，在 Rt△MAP1中，

圖8

圖9

(3)聯(lián)結PP1(如圖9)，則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH⊥PP1于點H，又CC1⊥平面ABC，聯(lián)結CH，由三垂線定理的逆定理得，CH⊥PP1，從而∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角，在Rt△PHC中，

評析本題真真切切地可以從數(shù)形結合的解題過程中品味到“動態(tài)”題型解題的思路.實際上此類題目很多，例如：如圖10，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，D1C1上的動點，點G為正方形B1BCC1的中心，則空間四邊形AEFG在該正方體各個面上的正投影所構成的圖形中，面積的最大值為＿＿ .

圖10

分析如圖11，當E與A1重合，F(xiàn)與C1重合時，四邊形AEFG在前、后面的正投影的面積最大值為12;

如圖12，當 E與 A1重合，四邊形AEFG在左、右面的正投影的面積最大值為8;

如圖13，當 F與D1重合時，四邊形AEFG在上、下面的正投影的面積最大值為8.

圖11

圖12

圖13

綜上可得，面積最大值為12.因此所求的答案為12，體現(xiàn)了“動態(tài)”題型立體幾何題數(shù)形結合求解之妙者.

8 從目標推理中點活“動態(tài)”題型的解題思路

例8如圖14，四棱錐 E-ABCD中，EA=EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD.

(1)求證：AB⊥ED.

(2)線段EA上是否存在點F，使DF∥平面BCE?若存在，求出的值;若不存在，請說明理由.

圖14

圖15

分析(1)如圖15，取 AB中點 O，聯(lián)結 EO，DO.因為EA=EB，所以 EO⊥AB.因為 AB∥CD，AB=2CD，所以 BOCD.又因為AB⊥BC，所以四邊形OBCD為矩形，從而AB⊥DO.因為EO∩DO=O，所以 AB⊥平面 EOD.又因為平面EDC⊥平面EOD，所以AB⊥ED.

評析本題第(2)小題主要先通過一個估計，再用直線與平面平行的判定定理來加以證明，從求解和求證的目標推理中點活了“動態(tài)”題型的解題思路，此類題目很多，值得我們深深地思考.

9 從探索和尋求數(shù)學解題規(guī)律中發(fā)現(xiàn)“動態(tài)”題型的解題思路

例9如圖16，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP=m.

圖16

(1)試確定m，使得直線AP與平面 BDD1B1所成角的正切值為

(2)在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP，證明你的結論.

分析(1)如圖17，聯(lián)結AC，設AC與BD相交于點O，AP與平面BDD1B1相交于點G，聯(lián)結OG.因為 PC∥平面 BDD1B1，平面 BDD1B1∩平面 APC=OG，故 OG∥PC，所以

又因為 AO⊥BD，AO⊥BB1，所以 AO⊥平面 BDD1B1，故∠AGO是AP與平面BDD1B1所成的角.在Rt△AOG中，

(2)可以推測，點 Q應當是 A1C1的中點 O1，因為D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，所以 D1O1⊥平面 ACC1A1.又AP?平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直.

圖17

圖18

評析本題為2006年湖北省數(shù)學高考試題，實際上本例也可用空間向量的方法求解如下：

(1)建立如圖18所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，從而

(2)若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x，則.依題意，對任意的m，要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，則

即Q為A1C1的中點時，滿足題設要求.

圖19

10 從坐標化和代數(shù)化中拓展“動態(tài)”題型的解題思路

例10如圖19，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2AD，

(1)求證：對任意 0＜λ＜1，總有AP⊥BD.

(3)是否存在λ，使得AP在平面B1AC上的射影平分∠B1AC?若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由.

分析(1)以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.設AB=1，則

從而可取平面AB1P的法向量為n=(2，6，-3)，又取平面AB1B的法向量為m=(1，0，0)，且設二面角 P-AB1-B為 θ，則

評析(1)以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，可以證明進而說明 AP⊥BD;(2)當時，計算2個平面的法向量，利用向量法求二面角;(3)做出圖形，將問題轉(zhuǎn)化為證明即可.

總之，解立體幾何動態(tài)問題的過程實質(zhì)是數(shù)學建模的過程，是創(chuàng)新的過程.方程、函數(shù)和圖形變換等是基礎，因此夯實基礎是解題關鍵.化整為零的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)思想、分類討論思想等是解決立體幾何動態(tài)問題的最好策略.在平時我們應作適當?shù)淖兓屯卣褂柧殻_闊視野，培養(yǎng)動態(tài)思維，鞏固數(shù)學思想，積累解題經(jīng)驗，提高應變能力，創(chuàng)造性地使用所學知識，這樣才能從容應對新的動態(tài)問題.