思維導(dǎo)向的數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)
——基于一則案例的分析

●唐恒鈞 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004) ●周柳青 (油川初級(jí)中學(xué) 浙江永康 321306)

思維導(dǎo)向的數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)
——基于一則案例的分析

●唐恒鈞 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004) ●周柳青 (油川初級(jí)中學(xué) 浙江永康 321306)

基于導(dǎo)學(xué)案的教學(xué)已成為當(dāng)下比較流行的課堂教學(xué)模式［1］.近幾年，筆者在參加浙江省初中的一些教研活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)課堂中廣泛地應(yīng)用了導(dǎo)學(xué)案.應(yīng)該說在數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案是很有價(jià)值的，這與數(shù)學(xué)這一學(xué)科的特殊性有關(guān).首先，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中進(jìn)行的，導(dǎo)學(xué)案則為學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決提供了載體.其次，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生的獨(dú)立思考，導(dǎo)學(xué)案只有問題而沒有答案的形式正好為學(xué)生的思考提供了合適的載體.

但筆者也發(fā)現(xiàn)，目前數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案還存在一些問題，特別是一些導(dǎo)學(xué)案變成了新的習(xí)題冊(cè)，對(duì)學(xué)生導(dǎo)學(xué)、尤其是思維上的引導(dǎo)功能明顯不足.下面以一個(gè)典型的導(dǎo)學(xué)案為例，分析其在思維引導(dǎo)上存在的不足，并以此為基礎(chǔ)探討改進(jìn)的策略.

1 “一次函數(shù)復(fù)習(xí)”導(dǎo)學(xué)案概述

該課是在學(xué)生學(xué)完浙教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)“一次函數(shù)”一章后的復(fù)習(xí)課.導(dǎo)學(xué)案共包括復(fù)習(xí)和新知探究2個(gè)版塊.

復(fù)習(xí)版塊包括2個(gè)任務(wù)：第1個(gè)任務(wù)是學(xué)案給出6個(gè)空白的坐標(biāo)系，讓學(xué)生動(dòng)手畫一次函數(shù)y=kx+b的大致圖像有哪幾類;第2個(gè)任務(wù)是讓學(xué)生填寫以下空格，回顧表達(dá)式中k，b與圖像有什么聯(lián)系.

新知探究版塊包含2個(gè)例題：其中例1是關(guān)于單個(gè)函數(shù)的解析式與圖像間的關(guān)系，具體包括4個(gè)問題.

例1(1)這條直線經(jīng)過(1，2)和(4，－4)，能求出這條直線的表達(dá)式嗎?

(注：要求學(xué)生完成這一問題后，用4個(gè)字總結(jié)解這類題的4個(gè)步驟.)

這4個(gè)問題層層遞進(jìn)，第(1)小題是知道2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求直線表達(dá)式，第(2)小題是知道表達(dá)式求特殊點(diǎn)，第(3)和第(4)小題則更進(jìn)一步根據(jù)y或x的范圍求x或y范圍.例2的難度進(jìn)一步提升，由1條直線增加為2條直線，包含2個(gè)問題.

例2(1)求直線 l1：y1= －2x+4 與 l2：y2=x－5的交點(diǎn)A的交點(diǎn)坐標(biāo)：＿＿ .

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，①y1＞y2;②y1=y2;③y1＜y2.

2 思維導(dǎo)向視角下的分析與評(píng)價(jià)

該導(dǎo)學(xué)案的知識(shí)點(diǎn)遵循了如下設(shè)計(jì)邏輯：復(fù)習(xí)一次函數(shù)的圖像(直線)與表達(dá)式間的關(guān)系，強(qiáng)化k確定直線方向，b確定直線與y軸的交點(diǎn)位置，k與b共同決定直線經(jīng)過的象限;其次，例1是復(fù)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)一步精細(xì)化，討論通過點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的解析式，通過解析式求特殊點(diǎn)以及點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系;再次，例2進(jìn)一步討論2條直線之間的關(guān)系，包括交點(diǎn)坐標(biāo)、同一橫坐標(biāo)下縱坐標(biāo)之間的關(guān)系等.因此，該導(dǎo)學(xué)案所建構(gòu)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是清晰的、逐步推進(jìn)的，這對(duì)于學(xué)生已有知識(shí)的整理是很有幫助的.

若進(jìn)一步從數(shù)學(xué)思維角度看，則存在值得探討的問題.第一，導(dǎo)學(xué)案都是以封閉問題出現(xiàn).楊玉東博士曾將數(shù)學(xué)課堂上的問題分為指向教學(xué)內(nèi)部的問題和指向教學(xué)外部的管理性問題，并將指向內(nèi)部的問題細(xì)分為“旨在獲得結(jié)論的問題”和“旨在引發(fā)思考的問題”.本學(xué)案中的問題均是旨在獲得結(jié)論的問題.因此，學(xué)習(xí)結(jié)果是多數(shù)學(xué)生能解決問題，并獲得相應(yīng)結(jié)論，但對(duì)于為什么要解決這些問題并不清楚.比如，學(xué)生也許并不清楚例1中為什么要給出2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，至少不會(huì)有意識(shí)地從解析式、方程等角度理解這一條件的必要性.具體地，學(xué)生并不能用“待定系數(shù)法解方程”這一角度來理解以下關(guān)系：有2個(gè)未知數(shù)k和b，就需要構(gòu)造2個(gè)方程，從而需要給出2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).事實(shí)上，相比于單純地求出直線方程的學(xué)習(xí)結(jié)果，這一理解更具教育意義和數(shù)學(xué)方法論意義.后者在后續(xù)的學(xué)習(xí)中具有通用性.因此，在數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案的問題設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量采用開放式的、文字性的問題，在為學(xué)生提供思維背景的基礎(chǔ)上，通過問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考.這也是有學(xué)者提出的數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案應(yīng)該具備的發(fā)展性特點(diǎn)［2］.

第二，盡管教師在設(shè)計(jì)導(dǎo)學(xué)案時(shí)具有清晰的數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯，但由于學(xué)案問題過于封閉，這種知識(shí)邏輯被掩蓋在題目背后.學(xué)生通過該學(xué)案的學(xué)習(xí)，并不能理解與體會(huì)教師所設(shè)計(jì)的思維邏輯.事實(shí)上，就學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展而言，這比單純會(huì)解這些問題和獲得結(jié)論性的認(rèn)識(shí)更為重要.這是因?yàn)?，上述知識(shí)的內(nèi)在邏輯其實(shí)是思考數(shù)學(xué)問題的一般過程，這些內(nèi)容的體驗(yàn)與學(xué)習(xí)將有助于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的豐富和數(shù)學(xué)思維的提升.因此，在學(xué)案設(shè)計(jì)中要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思考的脈絡(luò)，學(xué)會(huì)用具有普遍意義的數(shù)學(xué)視角思考問題.比如，該課要讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)研究的一些基本視角：既然初中函數(shù)討論的是2個(gè)變量之間的依存關(guān)系，則研究函數(shù)就要分析當(dāng)自變量取特殊值或具有某種特定的變化趨勢(shì)時(shí)，應(yīng)變量的取值或變化特點(diǎn);函數(shù)可由3種方法來刻畫，考慮這3種方法之間的相互轉(zhuǎn)化;在考慮單個(gè)函數(shù)的基礎(chǔ)上，還要分析多個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系，等等.同時(shí)，在問題鏈的設(shè)計(jì)中要蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思維，比如這節(jié)課中反復(fù)應(yīng)用的數(shù)形結(jié)合思想，在用圖像討論解析式特點(diǎn)時(shí)用到的分類比較思想、從特殊到一般、從一般到特殊的思想等.

此外，從某種程度而言，導(dǎo)學(xué)案是為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)的，是為學(xué)生的學(xué)服務(wù)的，因此導(dǎo)學(xué)案的表述應(yīng)考慮這一特點(diǎn).導(dǎo)學(xué)案不能只有數(shù)學(xué)問題，而需要一些鋪墊性的語言，來引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考或?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)思考提供脈絡(luò).

3 基于思維導(dǎo)向的“一次函數(shù)復(fù)習(xí)”導(dǎo)學(xué)案

這一章中我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).函數(shù)實(shí)際上是研究一個(gè)變化過程中，2個(gè)變量之間的依存關(guān)系，即對(duì)于x，y這2個(gè)變量，當(dāng)x取每一個(gè)確定的值時(shí)，y都有唯一確定的值.函數(shù)有3種表示方法：解析法、圖像法和列表法.一次函數(shù)的一般的解析式為y=kx+b，圖像為一條直線.

問題1由一次函數(shù)的圖像，你能獲得什么結(jié)論?

問題1-1(出示一個(gè)經(jīng)過第一、二、三象限的一次函數(shù)圖像，圖略.)從x和y的關(guān)系出發(fā)，你能得到哪些結(jié)論?

結(jié)論預(yù)設(shè)這是一次函數(shù)y=kx+b.

問題1-2你還能畫出哪些一次函數(shù)的圖像?有哪些結(jié)論?

結(jié)論預(yù)設(shè)學(xué)生根據(jù)平移圖像等方法，獲得相關(guān)的結(jié)論.其中一個(gè)特殊情況為圖像經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)為正比例函數(shù)，由此使學(xué)生認(rèn)識(shí)到正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情形.

問題2剛才是用函數(shù)圖像來理解函數(shù)的性質(zhì)，特別是解析式中k，b的取值問題.可見函數(shù)的幾種表達(dá)式之間是內(nèi)在一致的，且可以相互理解.在小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)過“2個(gè)點(diǎn)確定1條直線”，你能用一次函數(shù)的圖像與解析式作進(jìn)一步理解嗎?

問題2-1為什么要給出2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能確定1條直線呢?

結(jié)論預(yù)設(shè)學(xué)生利用待定系數(shù)法從求方程的角度理解這一問題.

問題2-2你能自己設(shè)定2個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求經(jīng)過這2個(gè)點(diǎn)的直線表達(dá)式嗎?

問題3剛才研究的是坐標(biāo)系中只有1條直線的情況，現(xiàn)在讓我們來研究2條直線的情況.2條直線有哪些可能的關(guān)系?如果用解析式來理解，有什么結(jié)論?

問題3-1如果設(shè)2條平行直線的解析式分別為y1=k1x+b1與y2=k2x+b2，你能獲得哪些結(jié)論?

問題3-1-1k1與k2之間有什么關(guān)系?

問題3-1-2b1與b2之間有什么關(guān)系?

問題3-2如果設(shè)2條相交直線的解析式分別為y1=k1x+b1與y2=k2x+b2，你能獲得哪些結(jié)論?

問題3-2-1交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?

問題3-2-2在交點(diǎn)右邊，當(dāng)x取某一確定值時(shí)，y1與y2的關(guān)系如何?

問題3-2-3在交點(diǎn)左邊，當(dāng)x取某一確定值時(shí)，y1與y2的關(guān)系如何?

［1］譚瑞軍.數(shù)學(xué)“導(dǎo)學(xué)案”教學(xué)的再思考［J］.教學(xué)與管理，2013(1)：49-51.

［2］陳蓓.數(shù)學(xué)學(xué)案教學(xué)研究綜述［J］.教育實(shí)踐與研究，2011(12B)：42-46.