一個“交匯性試題”的教學設計展示

●楊蒼洲 (泉州市第五中學 福建泉州 362000)

一個“交匯性試題”的教學設計展示

●楊蒼洲 (泉州市第五中學 福建泉州 362000)

為了切實提高新課程復習課的教學質量、研究復習教學中“減負增效”的策略與方法，進一步發揮數學例題在高三數學復習的教學功能，筆者有幸參加了“2013屆高中畢業班數學教學工作會議暨泉州市高三數學新課程學科教學研訓會議”，會上的一個重要議程是：高中畢業班數學學科課堂教學析題技能展示、觀摩、研討.會上4位教師分別展示了各自的“例題教學設計”，展示了個人對于例題教學的不同理解.下面筆者將教學設計展示如下：

題目(1)設函數證明：當 x＞0時，f(x)＞0.

(2)從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方法連續抽取20次.設抽得的20個號碼互不相同的概率為p，證明：

(2011年全國數學高考理科試題第22題)

1 試題評價

1.1 考試評價功能

本題主要考查函數、導數、概率、不等式等基礎知識，并以這些基礎知識為載體，考查推理論證能力，運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、或然與必然思想.試題通過函數、導數知識與不等式等知識的交匯，來實現對學生綜合運用學科知識分析問題和解決問題能力的考查.試題的交匯自然和諧，綜合程度較高，充分體現了“從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡交匯點設計試題，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度”的考查要求(《考試大綱》).從本題所考查的數學能力與數學思想方法，可以看出本題的命制嚴格遵循“數學學科的考試按照‘考查基礎知識的同時，注重考查能力’的原則，確立以能力立意命題的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測考生的數學素養”這一命題原則(《考試大綱》).

1.2 教學導向功能

試題導向中數學教學必須堅持以學生為本、落實“三維目標”的理念，注重提高學生的數學思維能力，全面實施素質教育，促進學生的全面發展.

2 教學意圖

2.1 課堂情景

本題宜在高三第二輪復習中作為“函數、導數綜合問題”的典型例題進行使用.

2.2 教學目標

基于試題的內容、課程標準的要求、學生情況的實際，遵循教學目標的“三維”理念，確定本課的教學目標為：通過第(1)小題掌握利用導數證明不等式的方法;通過第(2)小題掌握古典概型的求法，掌握證明不等式的幾種思路;并通過經歷不等式證明的探究過程，感受函數與方程思想、化歸與轉化等數學思想，體驗數學發現、解題成功的快樂.

2.3 學情預設

通過平時對學生的觀察、了解，以及在長期的教學中積累、沉淀的經驗，可以判斷學生的大致情況為：學生已經掌握了函數、導數、概率、不等式等基礎知識，積累了一定的證明不等式的相關經驗，但是在觀察能力、化歸能力、解題經驗上還有一定的不足.如：學生不一定能觀察出“要證f(x)＞0即證f(x)＞f(0)”;不一定能觀察出“在不等式，即可建立起與不等式的關系”;不一定能觀察出“待證的不等式中，到首尾距離相等的2項之和等于”.這些都是學生在求解本題時可能遇見的思維障礙.

3 教學流程

為了更好地讓學生理解和掌握，筆者打算依據波利亞解題表的4個步驟進行講題展示：理解問題、擬定計劃、執行計劃、回顧反思.

3.1 閱讀理解、提取信息

本題的題干非常簡潔.

3.2 分析思路、擬定計劃

在第(1)小題中，觀察得f(0)=0，于是目標轉化為證明f(x)＞f(0)，再轉化為證明函數f(x)在(0，+∞)上單調遞增，因此我們可以先利用導數判斷函數f(x)的單調性.

根據經驗，命題者在命制試題時，往往會考慮解答題中問題前后的連續性.一般地，一個較有難度的解答題，上一步都將是下一步的一個“臺階”，因此解題時要充分考慮上一步的提示作用，利用好命題者的“善意”，下好臺階.觀察不等式的結構、結合已有解題經驗，考慮利用第(1)小題的結論進行證明，該結論可以轉化為ln(1+x)＞，因此可以考慮對上述不等式進行適當的賦值，再把對數式轉化為指數式，使問題順利得到證明.

(2)證法1抽得的20個號碼互不相同的概率為

3.4.2 問題解決的思考方式

(1)觀察題目結構

數學解題過程中的“觀察”是“理解題意”的一種方式，它往往貫穿于整個解題過程的始終.拿到一個題目時，需要經過初步觀察弄清題意，明確解題的目的、任務，然后有目的地對問題的局部從不同角度進行觀察，分析它們的結構特征以及彼此之間的關系，為“擬定計劃”打下基礎.本題的解決就得益于對問題中不等式結構的觀察，如f(0)=0、不等式的關系、不等式中到首尾距離相等的2項之和等于定值等.

(2)聯想知識遷移

聯想是解題計劃的重要一環.所謂聯想，是指由一事物想到另一事物的心理過程，它是從已經掌握的途徑、原則、方法等方面去尋求接近當前問題解決的途徑、原則和方法，聯想是數學發現和數學解題的一種常用方法.如何讓學生學會聯想是成功進行數學解題教學的關鍵，本題不等式的證明靈感來自于類比聯想，為了解決“數列求積”的問題，我們聯想到熟悉的“數列求和”方法，思考尋找其中可類比的一些方法、技巧，為本題的求解提供參考.

(3)啟迪解題經驗

在解題過程中，不同的學生有不同的解題體驗，并獲得了不同的解題經驗，隨著解題經驗的積累，不同的學生在數學上得到了不同的發展.而解題是建立在經驗之上的數學活動，因此，解題經驗的豐富與否直接關系到解題的成敗.本題從“不等式的轉化需要解題者有一定的解題經驗.經驗告訴我們，命題者在命制解答題時，為了體現梯度、區分度，常分成幾個步驟進行設問，而為了“步”與“步”之間的承接自然，往往“前一步”是“后一步”的臺階.因此，解題時我們要盡量利用好這些已設的“臺階”，使之成為我們重要的解題資源.

［1］中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2003：2-3.

［2］楊蒼洲.解題，從結構聯想開始［J］.數學通訊，2011(4)：14-16.