三視圖向直觀圖轉(zhuǎn)化時(shí)存在的障礙與突破方法

●余繼光 (柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030) ●陳朝陽 (余杭區(qū)教育局教研室 浙江杭州 311100)

三視圖向直觀圖轉(zhuǎn)化時(shí)存在的障礙與突破方法

●余繼光 (柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030) ●陳朝陽 (余杭區(qū)教育局教研室 浙江杭州 311100)

有關(guān)三視圖的試題最常見的是給出正視圖、俯視圖、側(cè)視圖后計(jì)算幾何體的體積，然而在由三視圖畫直觀圖或想象空間幾何體的形狀過程中，由于空間概念弱或邏輯推理不當(dāng)，學(xué)生常會遇到思維障礙，突破這一障礙就需要尋找或掌握此類問題的思維規(guī)律，抓住平行投影的特點(diǎn)，以及斜高的特定位置，從而駕馭此類問題.

1 平行投影描繪幾何體的點(diǎn)、線、面

三視圖是在平行投影下對幾何體從三維向二維的轉(zhuǎn)化，由于要對幾何體從3個(gè)不同的方向進(jìn)行投影，因此就會有3個(gè)可變化的情形或變量，認(rèn)識它時(shí)就必須全面而準(zhǔn)確，關(guān)鍵是在平行光線下尋找到其投影.

圖1

例1如圖1，E，F(xiàn)分別是正方體的面 ADD1A1，BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體面上的射影可能是 (如圖2所示，要求把可能的圖的序號都填上).

圖2

障礙點(diǎn)(1)不按平行投影規(guī)則來看幾何體而導(dǎo)致出錯;(2)沒完成3個(gè)方向上的平行投影而導(dǎo)致出錯.

突破口由三視圖的定義研究四邊形BFD1E在該正方體面上的射影可分為：上下、左右、前后3個(gè)方向.由于線是由點(diǎn)確定的，故研究四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)在3個(gè)投影面上的射影，再將其聯(lián)結(jié)即可得到3個(gè)視圖的形狀.因?yàn)檎襟w是對稱的幾何體，所以四邊形BFD1E在該正方體面上的射影可分為：上下、左右、前后3個(gè)方向，也就是在面ABCD，ABB1A1，ADD1A1上的射影.

四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖2②所示;四邊形BFD1E在該正方體對角面的ABC1D1內(nèi)，它在面ADD1A1上的射影顯然是一條線段，如圖2③所示.故②③正確.

簡單空間圖形的三視圖，主要考查根據(jù)作三視圖的規(guī)則來作出3個(gè)視圖的能力.三視圖的投影規(guī)則是：主視圖與俯視圖要長對正;主視圖與左視圖要高平齊;左視圖與俯視圖要寬相等.

2 幾何體中斜高在三視圖中位置

例2 若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖3所示，則此幾何體的表面積為 .

圖3

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考試題改編)

障礙點(diǎn)(1)此三視圖對應(yīng)的直觀圖與實(shí)物是什么;(2)計(jì)算表面積時(shí)，側(cè)面圖形是什么.如果是三角形，計(jì)算三角形面積時(shí)，三角形的高是直觀圖中的斜高還是其他，在三視圖中有此線嗎?

突破口根據(jù)三視圖先畫出三棱柱的底面，然后畫出三棱柱，再尋找點(diǎn)F的位置.可見幾何體是一個(gè)直三棱柱截取一個(gè)直角四面體后的空間圖形(如圖4所示)，它的5個(gè)面分別是正方形、梯形、三角形，其面積分別為：

圖4

此題在準(zhǔn)確畫出直觀圖后，關(guān)鍵是判斷△DEF的形狀與大小，以便于找到三角形的高(此高在三視圖中任何線段都不能表達(dá))，從而準(zhǔn)確計(jì)算其面積.

例3若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖5所示，則該幾何體的體積為 ( )

圖5

A.10 cm3B.20 cm3C.30 cm3D.40 cm3

障礙點(diǎn)根據(jù)三視圖有的學(xué)生判斷此幾何體為以俯視圖為底的三棱錐，于是計(jì)算出體積為10.此題的最大障礙就是準(zhǔn)確判斷幾何體的形狀，即要準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)三視圖向直觀圖的轉(zhuǎn)化，只有畫出直觀圖，而不僅僅是由三視圖想象幾何體的形狀.

圖6

圖7

圖8

突破口首先畫出三棱柱的直觀圖(如圖6所示)，然后去掉一個(gè)大三棱錐，得到一個(gè)四棱錐體(如圖7所示)，其底面是一個(gè)邊長為5的正方形，其高為.于是其體積為

變式若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖5所示，則該幾何體的表面積為 .

此幾何體的表面有5個(gè)面，其中4個(gè)面為特殊面(1個(gè)正方形、3個(gè)直角三角形)，第5個(gè)面為任意△ADE，如何求此三角形的高或面積呢?

(3)如圖8所示，由AF⊥BC，過點(diǎn)F作FG∥BD，聯(lián)結(jié)AG，則△ADE的高于是

對于學(xué)生而言，看似一個(gè)非常簡單的問題，充滿活力的是求解的各個(gè)思路，尋找最佳思路是一個(gè)展示數(shù)學(xué)智慧的機(jī)會!

3 三視圖的基本投影模型的再現(xiàn)

例4某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為 ( )

障礙點(diǎn)(1)一條線段的投影的三視圖位置聯(lián)系;(2)投影的三視圖與直觀圖中的數(shù)量關(guān)系;(3)基本不等式的運(yùn)用.

突破口人教A版《數(shù)學(xué)(必修2)》第12頁給出一個(gè)長方體在3個(gè)方向上的投影——三視圖，這其中蘊(yùn)含著一條線段(長方體的體對角線)在3個(gè)不同方向上的投影，這種思維的聯(lián)系是學(xué)生最缺少的.設(shè)此長方體的長、寬、高分別為 x，y，z，則

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號成立.

此問題檢測學(xué)生的基本投影模型的再現(xiàn)能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)處理能力，而有關(guān)三視圖的教學(xué)需要增加這方面的訓(xùn)練!

圖9

4 實(shí)物、直觀圖、三視圖間轉(zhuǎn)化

例5如圖9，單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別是BC，CD的中點(diǎn)，平面 A1EF交BB1于點(diǎn)M，交DD1于點(diǎn)N.

(1)畫出幾何體A1MEFN-ABEFD的直觀圖與三視圖;

(2)計(jì)算幾何體A1MEFN-ABEFD的體積;

(3)計(jì)算幾何體A1MEFN-ABEFD的表面積.

障礙點(diǎn)(1)在正方體中是否能準(zhǔn)確畫出平面A1EF(學(xué)生最容易畫成△A1EF);(2)是否能準(zhǔn)確畫出幾何體A1MEFN-ABEFD的直觀圖;(3)畫三視圖時(shí)，實(shí)線、虛線是否準(zhǔn)確畫出;(4)如何分割幾何體成為基本空間幾何體并計(jì)算出體積;(5)如何準(zhǔn)確地計(jì)算各面的面積.

突破口(1)已知幾何的直觀圖如圖10所示，三視圖如圖11所示.

圖10

圖11

(2)幾何體A1MEFN-ABEFD是一個(gè)六面體，有多個(gè)思路可以計(jì)算其體積：①先補(bǔ)形成大三棱錐并計(jì)算其體積，再減去2個(gè)等積小三棱錐的體積;②將其分割成2個(gè)等積的四棱錐和1個(gè)三棱錐，從而

(3)幾何體A1MEFN-ABEFD是一個(gè)六面體，根據(jù)其對稱性，只要計(jì)算2個(gè)梯形、2個(gè)三角形和1個(gè)五邊形的面積，從而

例6一個(gè)棱錐的三視圖(單位：cm)如圖12所示，則該棱錐的全面積為 ( )

圖12

(2009年寧夏、海南省數(shù)學(xué)高考試題)

障礙點(diǎn)(1)根據(jù)三視圖想象不出直觀圖的特征或畫不出直觀圖;(2)把三視圖中某一邊(本是直觀圖中某一面上的斜高)當(dāng)成側(cè)棱或反之.

圖13

突破口首先根據(jù)三視圖來還原幾何體的直觀圖，根據(jù)俯視圖畫出三棱錐的底;然后根據(jù)主視圖與側(cè)視圖確定三棱錐的高，由于俯視圖與主視圖的對稱性，可判斷高PO的位置;最后聯(lián)結(jié) PA，PB，PC，得到三棱錐的直觀圖.如圖13，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，有 PO=4，OD=3，由勾股定理得

從而全面積為

故選A.

將三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖，除了能畫出直觀圖以外，還要能分析直觀圖與三視圖中的數(shù)量關(guān)系.