選好問題 多元表征 變式拓展 提升能力

●張明遠 薛豐滿 張 博 (隴西縣第二中學 甘肅隴西 748100)

選好問題 多元表征 變式拓展 提升能力

●張明遠 薛豐滿 張 博 (隴西縣第二中學 甘肅隴西 748100)

著名數學教育家波利亞曾說過：“掌握數學意味著善于解題.”善于解題是數學教師必需的基本功，也是數學教學追求的重要目標，更是高三師生共同追求的最高愿望.波利亞也說過：“選擇一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入發掘題目的各個側面，使學生通過這道題目，就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地.”這樣的問題能讓各類學生有工作可干，擴大了課堂上數學活動的參與面;對問題深入研究，將問題多元表征，會有效地擴大知識的聯系面;嘗試對問題一題多解，體驗一題多解成功的愉悅.

教師應有意對問題進行變式拓展，引導學生探究、認識問題本質，在探究中體驗數學思想方法的普適面;應恰當地、不露痕跡地幫助學生，順應學生的“原生態”的思路，對問題多角度思考，廣泛聯系，并進行類比、拓展、延伸;應有意給學生時間和機會，讓學生嘗試、交流、展示，是提高解題能力的有效途徑.

圖1

例1如圖1，正方形ABCD的邊長為1，延長 BA至點 E，使 AE=1，聯結 EC，ED，則 sin∠CED= ( )

(2012年四川省數學高考理科試題)

問題呈現后，讓學生閱讀題目，獨立思考，理解題意，審條件、審結論;廣泛聯系，由已知看可知，由未知看需知，尋求已知和未知之間的聯系.教師要忍得住不講，在巡視中發現學生的不同想法和解法，讓不同層次的學生說自己的思路和展示自己的解法.筆者在課堂中發現了學生們不同的解法，分別展示如下：

生4：(向量的坐標法)分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，則 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E( －1，0)，從而

生5：(解析法)同生4的解法建立坐標系，∠CED可以看成是直線EC到直線ED的角，則由到角公式得

學生們展示了7種不同的解法，讓師生深感驚訝和滿足，筆者引領其他學生欣賞和領略了這7種解法的解題過程，體驗了解析法、向量法、三角法與方程思想的數學魅力.接著，趁熱打鐵，筆者設計了以下2個變式讓學生思考，通過類比、思考，上述方法仍然適用.

變式1將正方形ABCD改為矩形，且AB=a，BC=b，AE=c，求 sin∠CED.

變式2將正方形ABCD改為平行四邊形，且AB=a，BC=b，∠BAD=θ，AE=c，求 sin∠CED.

筆者適時拋出如下問題，讓學生體驗解題成功的快樂.

生2：(坐標法)分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，依題意可設A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，從而

圖2

圖3

在教師的啟發下，課后一名學生對例1進行了一般化的研究，現將結果展示如下：

拓展1將2個全等的四邊形(正方形、長方形、平行四邊形等)拼在一起，聯結原來四邊形的對角線和拼接后四邊形的對角線，求它們之間夾角的正弦值.

(1)2個四邊形為全等的正方形.

如圖3，正方形ABCD，ADFE拼成矩形BCFE，求正方形對角線DE和拼接成的矩形對角線CE的夾角.

特別地，當a=b，即2個四邊形為全等的正方形時，即為拓展1的情形(1).

圖4

圖5

拓展2將2個不全等的四邊形(正方形、長方形、平行四邊形等)拼在一起，聯結原來四邊形的對角線和拼接后四邊形的對角線，求它們之間夾角的正弦值.

(1)2個四邊形為不全等的長方形.

設AB=a，BC=b，AE=c，則

特別地，當a=b=c，即2個四邊形為全等的正方形時，即為拓展1的情形(1);當a=c，即2個四邊形為全等的正方形時，即為拓展1的情形(2).

(2)2個四邊形為不全等的平行四邊形.

針對復習內容和學生實際，在學生的最近發展區，選好題目，關注每個學生的發展，使得課堂不僅僅是培養尖子生的學堂，更是大多數學生學習數學、體驗成功的樂園.這一切源于教師的精心選題，擴大了學生在課堂上數學活動的參與面、動手面;也源于教師忍住不講，有意讓學生展示、交流，將體驗成功的機會還給學生，使他們真正成為解題的主人、解題的實踐者、享受解題成功的愉悅者.學生不再是課堂上的看客，不再是教師表演“絕技”時的欣賞者;陸游說得好：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”經教師的啟發、引導，對問題多元表征，擴大了知識的聯系;引領學生對問題變式拓展，深入探究，對結果進行恰當的點評，不僅實現了回顧反思，而且達到激發興趣之目的.在教育教學實踐中，體驗了“如果教師用和學生的知識相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養學生對獨立思考的興趣，并交給他們某些方法”的重要意義.

(本文為甘肅省教育科學“十二五”規劃課題“師生活動中生成性教育資源開發和運用的研究”成果之一，項目編號：2012(GSG591).)