用導數研究函數圖像與性質時的幾個細節
——以2013年部分函數高考題為例

●李金興 (蕭山中學 浙江杭州 311201)

用導數研究函數圖像與性質時的幾個細節
——以2013年部分函數高考題為例

●李金興 (蕭山中學 浙江杭州 311201)

導數作為研究函數的重要工具，能對一些函數的單調性作“精確”地描述.但導數并非萬能，有些函數的導數自身比較復雜，在用導數研究函數的圖像與性質時，還需要綜合運用“數形結合、等價轉化、放縮變換、分類討論”等方法才能簡化解題過程.解決這類問題需要在一些細節的處理上積累經驗.本文以2013年部分函數高考題為例，歸納幾個使用導數的細節，以期拋磚引玉.

細節1利用圖像的對稱性，簡化解題過程

(1)圖像的對稱性與函數的極值.

圖形直觀顯示，如果函數y=f(x)的圖像關于直線x=x0對稱，則x0是f(x)的極值點.利用這一細節，為研究四次函數帶來便利.

例1若函數f(x)=(1－x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=－2對稱，則f(x)的最大值為＿＿.

(2013年全國數學高考理科試題第6題)

圖1

分析由圖像關于直線x=－2對稱，易知函數有4個零點：－5，－3，－1，1，從而可設

f(x)=(1－x2)(x+3)(x+5)，即f(x)=(1－x2)(x2+8x+15)，于是f'(x)=－4(x4+6x2+7x－2).又由圖像關于直線x=－2對稱，易知f'(－2)=0(－2是f(x)的極值點，如圖1所示)，因此

反思本題利用四次函數圖像的對稱性，不僅簡潔地求得了解析式，而且克服了對導函數(是一個三次函數)分解因式的困難.由對稱性得到－2是函數f(x)的極值點是成功解題的關鍵.當然，如果不用導數，而用不等式方法也能求出f(x)的最大值，過程如下：

例2已知a∈R，函數f(x)=x3－3x2+3ax－3a+3.

(1)求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程;

(2)當 x∈［0，2］時，求|f(x)|max.

(2013年浙江省數學高考理科試題第22題)

分析(1)略.

(2)因為 f'(x)=3(x2－2x+a)，所以

①若a≤0 或a≥1，則f(x)在［0，2］上單調，從而

②若0＜a＜1，則 f(x)在［0，x1］上單調遞增，在［x1，x2］上單調遞減，在［x2，2］上單調遞增(其中而曲線 y=f(x)關于點(1，1)對稱，于是f(x1)＞1＞f(x2)且f(x1)－1=1－f(x2)＞0，因此

綜上所述，|f(x)|max=max{|f(x1)|，|f(2)|}(如圖2和圖3所示). (1)

圖2

圖3

反思在第(2)小題的情況②中，利用圖像的對稱性得到結論(1)，從而避免了最值可能在x=0或x=x2處取到的討論，大大簡化了解題過程.而化簡|f(x1)|得到結論(2)時，合理地代入消元也是運算的關鍵.

細節2合理代入消元，化簡解析式

除了數的計算外，運算能力也體現于式子的運算與化簡中.如果對函數(值)表達式的化簡過程不合理，也會造成解題的困難.

例3設函數f(x)=x3－kx2+x(k∈R).

(1)當k=1時，求函數f(x)的單調區間;

(2)當k＜0時，求函數 f(x)在［k，－k］上的最小值m和最大值M.

(2013年廣東省數學高考文科試題第21題)

細節3討論字母系數的范圍時，先用必要性縮小討論范圍

在確定符合題意的字母系數范圍時通常需要分類討論，如果先用必要性縮小討論范圍，可避免一些不必要的討論，簡化解題過程.

例4設函數 f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(1)求 a，b，c，d 的值;

(2)當 x≥ －2時，f(x)≤kg(x)，求 k的取值范圍.

(2013年全國數學高考理科試題第21題)

分析(1)f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)，過程略.

(2)取x=－2和x=0時，f(x)≤kg(x)成立，解得1≤k≤e2.設 F(x)=2kex(x+1) －(x2+4x+2)(x≥ －2)，則

由 F'(x)=0，解得 x1= －2，x2= －lnk.

①若k=e2，則 F'(x)≥0(x≥ －2)恒成立，F(x)在［－2，+∞)上單調遞增，從而

②若1≤k≤e2，易知 x2∈( －2，0］且 F(x)在［－2，x2)上單調遞減，在(x2，+∞)上單調遞增，從而 F(x)≥F(x2).而

因此F(x)≥0成立.

綜上所述，僅當1≤k≤e2時符合題意.

反思“取x=－2和x=0時，f(x)≤kg(x)成立，解得1≤k≤e2”縮小了k的取值范圍，既避開了排除k＜1或k＞e2所帶來的困難，又為討論指明方向.

細節4利用熟知結論ex≥x+1和lnx≤x－1進行放縮

通過構造函數能證明許多不等式，有些不等式作為經典結論可廣泛應用于證明其他不等式，比如結論ex≥x+1和lnx≤x－1，在證明某些不等關系時能出奇制勝.

例5已知函數f(x)=ex－ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m的值，并討論f(x)的單調性;

(2)當 m≤2時，證明：f(x)＞0.

(2013年全國數學高考理科試題第21題)

分析(1)略.

(2)由結論ex≥x+1，知僅當x=0時等號成立.兩邊取對數易知lnx≤x－1，從而

僅當m=2，x=－1時2個等號都成立.

因為ex≥x+1與ln(x+m)≤x+m－1≤x+1不能同時取等號，所以

反思嚴格說來，結論ex≥x+1也需要證明，而結論lnx≤x－1可直接由ex≥x+1變換得到.

細節5轉化問題，構造合適的函數

在用導數解決實際問題時需先構造函數.通常同一問題可作系列等價轉化，所對應的函數也有系列不同形式，那么采用合理的函數形式便成為解題的關鍵.

例6若存在正數x使2x(x－a)＜1成立，則a的取值范圍是 ( )

A.(－∞，+∞) B.(－2，+∞)

C.(0，+∞) D.(－1，+∞)

(2013年全國數學高考文科試題第12題)

解法1設f(x)=2x(x－a)，則

從而f(x)在(－∞，a－log2e)上單調遞減，在(alog2e，+∞)上單調遞增.因此當x＞0時，

①當a≤log2e時，(x)＞f(0)= －a，若存在正數x使2x(x－a)＜1成立，則 －a＜1，因此 －1＜a≤log2e.

②當a＞log2e時，

因為f(log2e)=e(log2e－a)＜0＜1，所以存在正數x使2x(x－a)＜1成立.

綜上所述，a∈( －1，+∞).故選 D.

反思比較上述2種解法可知，解法2采用“分離系數法”轉化了函數類型，使所要研究的函數變得簡單，從而大大簡化了解題過程.

結語解決一個稍難的導數題時往往需要綜合運用多種細節技巧，形成一套“組合拳”才能制勝.作為教師，要在解題教學時重點講解克服解題困難的關鍵細節，從而讓學生更好地領悟方法、提高學習效率.