例談平面的斜線與平面所成角的解題策略

●胡建烽 (余姚中學 浙江余姚 315400)

例談平面的斜線與平面所成角的解題策略

●胡建烽 (余姚中學 浙江余姚 315400)

數學的解題教學是整個數學教學過程的重要組成部分，它是概念教學、命題教學的繼續與深化，它的優劣會直接影響學生的數學學習，特別是在理解概念、獲取技能、掌握方法、培養能力等諸方面所起到的作用尤為突出.怎樣開展解題教學、如何上好解題示范課，如何提高學生的數學思維能力是教師共同的話題.本文試圖通過自己的實踐，以“平面的斜線與平面所成角”的習題課為例，把自己的體會和感悟寫出來，以求教于同仁.

本節課主要有2個環節：(1)分析課前布置的習題，即文中的例1，在學生充分思考的基礎上，各抒己見，并歸納出有代表性的解法;(2)在例1的基礎上，有選擇地應用例1歸納的方法解決例2.

環節1例題研析，探尋本質

例1如圖1，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分別是AC，PB的中點.

(1)證明：EF∥平面PCD;

(2)若PA=AB，求直線EF與平面PAC所成角的大小.

(2010年浙江省數學高考文科樣卷試題)

圖1

圖2

本文僅對第(2)小題進行探究.

策略1垂面法

生：如圖2所示，因為平面PAC⊥平面ABCD，故將平面ABCD向上“平移”至過點F，即取PC，PD，PA的中點分別為 G，H，K，易得平面 PAC⊥平面KFGH.由面面垂直性質定理，過點F作FM⊥KG于點M，即得FM⊥平面PAC.

簡解如圖2，∠FEM即為直線EF與平面PAC所成的角，從而

師：依定義，要求出斜線l與平面α所成的角，需過斜線l上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，因此，確定垂足O的位置是關鍵.垂面法策略，是指找到輔助平面β，滿足P∈β，β⊥α的方法，體現了轉化和化歸的思想.

利用垂面法找線面垂直是解決斜線和平面所成角問題的有效方法.但某些時候，滿足條件的垂面也未必好找，因此，解題仍可能陷入“僵局”.

策略2等角轉化

生：本題中，我利用EF∥PD證明第(1)小題，故可以考慮將所求角轉化為直線PD與平面PAC所成的角，將過點F作平面PAC垂線的問題轉化為過點D作平面PAC的垂線問題，且后者更易操作.

圖3

簡解如圖 3，聯結 PE，DE，易證 DE⊥平面 PAC，則∠DPE即為所求角，sin∠DPE=因此直線 EF與平面PAC所成的角為

師：在某些問題中，按部就班地根據條件求斜線和平面所成的角可能會比較困難，線面垂直的垂足較難找.等角轉化策略，就是利用題目中已有的一些平行等條件進行等角轉換，將不直觀的角轉化成直觀且易研究的角，體現了數形結合和轉化化歸的思想.

以下說明2個引理(證明略).

引理1若直線a∥b，則a與平面α所成角等于b與平面α所成角.

引理2若平面α∥β，則直線a與平面α所成角等于直線a與平面β所成角.

利用等角轉化策略的關鍵是找到合適的平行關系，轉化的原則是把不直觀的角轉化為直觀、易求的角，從而實現問題從復雜到簡單的轉化.

策略3距離法

生：如圖1，只需求出點F到平面PAC的距離d，所求角的正弦值即為

圖4

師：策略1和策略2都需要找到斜線與平面所成的角，即必須作出相應的直線和平面垂直的垂線.距離法策略，就是利用斜線上斜足以外的一點到平面的距離，在不直接作出直線和平面所成角的情況下，間接地求出所求角的某一個三角函數值.該方法若能使用得當，也會使問題大為簡化.

利用距離法策略的關鍵是求出點到平面的距離.求距離常用的方法主要有體積法和距離轉化法，這2種方法有時要交替使用.距離法策略是無法找到直線和平面所成角時的有效方法.

師：同學們想一想，本題還有沒有更新穎的解法?

策略4對稱策略

生：本題涉及的圖形關于平面PAC對稱(如圖2)，點F關于平面PAC的對稱點為PD的中點H，因此∠FEH為所求角的2倍.

簡解由計算可得，△FEH為正三角形，從而所求直線與平面所成角為

師：策略1與策略2都要作出直線與平面所成角，策略3可以做到不作角而求出角，策略4更從圖形的整體特征考慮顯得尤其方便，但是思維要求更高.

對于類似的問題，我們要有選擇地加以應用以上策略，下面給出例2，請你選擇合適的策略解決.

圖5

圖6

環節2高考再現，以題論道

例 2如圖 5，在?ABCD中，AB=2BC，E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A'DE，使平面A'DE⊥平面BCD，F為線段AC的中點.

(1)求證：BF∥平面A'DE;

(2)設M為線段DE的中點，求直線FM與平面A'DE所成角的余弦值.

(2010年浙江省數學高考文科試題)

此題的關鍵是過點F作平面ADE的垂線，難度較大，下面給出第(2)小題的解法.

生1：由題意知，平面A'DE⊥平面ABCD，故可考慮將平面ABCD向上“平移”至過點F.如圖6，取 A'D，A'E 的中點分別為 G，H，聯結 GH，HF，GF，易得平面GFH⊥平面A'DE.只需過點F作出GH的垂線，便是所探求的線面垂直.

生2：如圖7，取 DC 的中點 N，聯結 FN，NB，則由平面FNB∥平面A'DE，可將所求角轉化為直線MF與平面FNB所成角.

圖7

圖8

簡解2因為平面A'DE⊥平面ABCD，且平面FNB∥平面A'DE，所以平面FNB⊥平面ABCD.由，MN⊥平面FNB，于是直線MF與平面FNB所成角即為

生3：求解本題的關鍵是求出點F到平面A'DE的距離及MF的長度，故可以考慮用距離法策略來解決.將點F到平面A'DE的距離轉化為點C到平面A'DE的距離(如圖8).

說明點C到平面A'DE的距離也可以用體積法來求，即可由VA'-CDE=VC-A'DE求得.

師：應用策略4能不能解決本題?答案是肯定的.請同學們課后去思考.

本堂課學生學習的積極性空前高漲，思維活躍，發言踴躍，達到了解題示范課的效果.

教學建議及感悟“平面的斜線與平面所成的角”是立體幾何中的一個重點和難點，有些學生雖然課后也做了不少相關習題，但一遇上略有變化或稍有難度的問題，就束手無策、無所適從，解題能力顯得薄弱，究其原因錯綜復雜，但其中教師的解題示范存在欠缺也不是沒有可能.因此，施行“授人以漁”式的教學已刻不容緩.

數學解題示范課是課堂教學中師生最能互動的課型，要使它變得優質，除了學生的因素外，筆者認為教師還須做好如下4點：(1)課前：構思精到，程序合理;(2)課內：多點傾聽，少點替代;(3)課后：及時檢測，不忘反思;(4)策略：一題多解，回歸通法.