例談高考解析幾何復習中題目的運用與講解

●張傳鵬 (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

例談高考解析幾何復習中題目的運用與講解

●張傳鵬 (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

解析幾何是“以代數方法研究幾何問題”，具有代數和幾何雙重學科特點，因此許多學生感覺有點難學，許多教師就讓學生通過題海戰術加以鞏固.其實在解決解析幾何問題的過程中，需要提高的不僅是運算技能和對知識本身的理解，更重要的是在這個過程中提升思維能力和養成良好的思維習慣.筆者在高考解析幾何復習時對運用題目與講解題目有以下幾點做法，與同行交流.

1 進行題目變式

教師在進行高考復習時，經常會找一些歷年高考試題讓學生做.高考試題都是經過命題專家精心命制的，里面有許多好題，把這些好題講給學生聽，分析透徹，讓學生有所受益.但是筆者認為只是做到這樣是不夠的，如果能對一些高考試題進行有效的改編，學生對問題將會有更加清晰的認識.

圖1

例1如圖1，直線y=kx+b與橢圓交于點 A，B，記△AOB的面積為S.

(1)求在 k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值;

(2)當|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程.本題是2007年浙江省的數學高考試題，講解此題后，教師可以繼續以下變式：

變式1當|AB|=2時，求S△AOB的最大值.

變式2當點O到直線AB的距離為1時，求S△AOB的最大值.

變式1的2種解法如下：

時，S△AOB的最大值為1.

變式2的解答如下：

解設點O到AB的距離為d，則

通過這樣的變式，可以讓學生形成較好的認知結構，學生就會對這類最值問題的處理比較清晰，更加了解題目之間的內在聯系，知曉數學知識的發生過程、概念的形成過程、結論的推導過程、問題的發現過程、規律的揭示過程、方法的思考過程、揭示知識間內在聯系的過程.

2 多角度講解、剖析

理性思維的形成是以數學題目為載體，在題目的解決過程中形成的.教師在講解題目時，千萬不能直接把答案寫在黑板上，讓學生看懂就行了，這樣的教學過程只注重知識的強化，沒有鍛煉學生的思維和自主解決問題的能力.教師教給學生的不僅僅是會算，更要會想，要尊重學生的思維習慣，把復雜的問題最大限度地簡單化，才是教學的真諦.講解要多角度，思路自然、清晰，學生更多、更好的解法就會自然生成.

例2 給定拋物線C：y2=4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于點A，B.

通過分析可以發現l在y軸上的截距就是直線斜率的相反數，因此可以從以下角度來考慮：

角度2利用求根公式，尋找直線斜率與λ的關系

角度3構造對偶式，利用韋達定理

角度4數形結合，利用拋物線定義

圖2

過點 A作 AD⊥BB1于點 D，則BD=(λ －1)t，于是在△ABD 中，

3 尋找錯解中的閃光點

學生解題有錯誤很正常，教師要讓學生學會主動參與找錯、議錯、評錯、賞錯，對學生來說這是一種可貴的成功體驗.有時候看似錯誤的解法中隱藏著教師意想不到的“大智慧”.

圖3

(1)求雙曲線的方程.

本題是筆者所任教學校一次月考中的試題，其中第(1)小題比較簡單，所求雙曲線的方程為3x2－y2=12，第(2)題的標準答案如下：

解法1設直線OP的方程為y=kx(k≠0)，聯立雙曲線方程得

第(2)題學生的得分率非常低，分析錯誤的原因是很少有學生想到設直線OP的方程為y=kx，而首先想到的是設直線OQ的方程為y=kx+m，與雙曲線方程聯立后，計算量非常大，導致大多數學生都做不下去.筆者分析了學生的答題情況，順著學生的思路進行整理，產生了以下解法：

我們發現，解法2是最復雜的，也是許多學生想到的方法，聯立后運用韋達定理代入，計算量大;而解法3通過引入點O到直線PQ的距離，使計算得到簡化;解法4則有設而不求之感.