圓形區域多圓孔對SH波散射Green函數解

史文譜，魏 娟

（1.煙臺大學 機電汽車工程學院，煙臺 264005；2.山東省高校先進制造與控制技術重點實驗室，山東 264005）

Green函數法作為求解數學物理方程問題的重要方法應用非常廣泛，如流體問題［1］、Possion方程邊值問題［2］、裂紋問題［3－4］、動態載荷區間識別問題［5］及電磁波電阻率測量問題［6］等。又如利用Green函數法及復變函數法研究界面脫膠圓夾雜對SH波散射的遠場解［7］；借助空間契合思想與Fredholm積分方程理論研究雙相壓電介質中交界面附近圓孔邊界處環向動應力集中系數與環向電場強度集中系數的變化規律［8］；基于飽和介質三維波動理論的Biot模型，采用傅里葉積分變換與Hankel變換及算子理論研究橫觀各向同性飽和土中柱面載荷的動力Green函數問題，并給出柱坐標系下橫觀各向同性飽和土中波動方程非軸對稱通解［9］；而有關圓形區域內含多圓孔缺陷的SH波散射問題研究較少見。本文利用波函數展開法、復變函數法及Graf加法公式，討論圓形區域內含多圓孔缺陷時在圓形域邊界處作用反平面線源載荷條件的Green函數解。結果可廣泛用于與圓形區域內含夾雜SH波散射問題研究，具有重要理論意義。

1 問題模型分析

建立坐標系xoy見圖1，半徑為R的圓形區域介質內有 N個半徑為 Rj（j＝1，2，…，N）的圓孔缺陷，其圓心oj（j＝1，2，…，N）在坐標系 xoy中的位置向量設為 rj0＝（rj0，θj0），對應的復數坐標為 Zj0＝rj0exp（iθj0）。以圓心建立局部坐標系xjojyj。圓形區域介質剪切模量、質量體密度為μ，ρ。圓形區域外邊界Γ作用的反平面脈沖線源設為 δ（r－R0）e－iωt，R0＝（R，θ0）（θ0為邊界 Γ的脈沖線源作用位置方位角）。

對反平面SH波散射問題而言，位移場 u（r，θ，t）＝U（r，θ）exp（－iωt）中位移幅度函數 U（r，θ）滿足 Helmholtz方程，即

式中：2為Laplace算子；K＝ω／V為波數；ω為載荷擾動圓頻率；V＝（μ／ρ）1／2為介質內波速。

在圓形區域外邊界Γ的穩態線源載荷δ（r－R0）e－iωt作用下，各圓孔分別產生一向外傳播的散射波，且均滿足式（1），可表為

圖1 圓形區域內多圓孔對SH波散射Fig.1 Scattering of several cavities in circular domain to SHwave

圓形區域邊界Γ本身在介質內會激發一駐波（考慮波場在o點處的有界性），可表為

介質內應力場 τrz，τθz與波函數幅度函數 U（Z，Z）關系為

對各圓孔散射波幅度函數而言，本文用Graf加法公式。當需利用Γ處邊界條件時，特殊函數加法公式為

第i個圓孔產生的波函數轉換到第j個局部坐標系時所用特殊函數加法公式為

聯立式（4）～式（6）得定解方程組為

圖2 第i，j局部坐標系間多極坐標變換Fig.2 Multicoordinate transform between i－th and j－th local coordinate system

對式（11）、（12）兩邊分別乘以 e－iqθ，e－iqθj（q＝0，±1，…），并在區間［－π，π］內積分得

求解式（13）、（14）可得未知系數 Cn，Bjn（n＝0，±1，…；j＝1，2，…，N），從而確定介質內 Green函數解。

圓孔 1邊界處環向動應力 τr1z（R1，θ1）可表示為

2 算例與分析

圖3 圓管外邊界受反平面穩態載荷作用時動力響應Fig.3 Dynamic response of the pipe with steady outplane loading acting on its exterior boundary

考慮圓形區域內有兩個不相交的圓孔 1、2（圖 1），已知參數 μ＝6×106N／m2，R＝10 m，R1＝3 m，R2＝4 m，r10＝4 m，r20＝5 m，波數 K取 0.05，0.2，0.35，0.5。分析圓孔1邊界處環向動應力模τθ的變化及分布。θ10＝0，θ20＝π，θ0＝0時，計算結果見圖4（a）；θ10＝π，θ20＝0，θ0＝0時，計算結果見圖 4（b）；θ10＝π，θ20＝0，θ0＝π／2時，計算結果見圖 4（c）。由圖4（a）、（b）看出，由于兩圓孔中心線經過線源載荷位置，故結果對稱（對稱于 0°～180°）；由圖 4（c）看出，因兩圓孔中心線不經過線源載荷位置，結果不對稱。由此知低頻響應普遍不明顯。為進一步說明本文方法及結論的正確性，選數學物理方程定解問題作為對比算例，見圖3。

式中：r2為圓管內半徑；r1為圓管外半徑；f（θ）為外部分布載荷幅度函數；x為介質點位置向量，定義x＝（r，θ）；μ為圓管材料剪切模量。

取 f（θ）＝3cos（2θ）分析管內邊界處環向動應力幅度模τθ隨無量綱波數Kr2（K為波數）變化情況。由數學物理方法得定解問題理論解為

管內邊界處動應力幅度模形式為

若取μ＝6×106N／m2，r1＝10 m，r2＝3 m，波數 K取0.05，0.2，0.35，0.5，則理論解與本文 Green函數積分解（N＝1，r10＝0）計算結果見圖4（d）。由圖4（d）看出，兩者在計算精度范圍內完全一致，說明本文方法有效、可行。

圖4 圓孔邊界處環向應力幅度變化Fig.4 Variations of the hoop stress of the points on the boundary of the number one circular cavity

3 結 論

（1）本文針對圓形區域外邊界處作用反平面線源載荷時其內部多圓孔缺陷對SH波散射的Green函數解問題進行研究，利用復變函數法、波函數展開法及Graf加法公式提出的解析求解方法，亦適用于線源作用在某個內部圓孔邊界情形。所得Green函數解對采用大圓逼近直邊界法研究雙相介質界面附近圓形夾雜及孔洞對SH波散射問題有重要參考意義。

（2）該方法計算收斂速度快、精度高。通過具有理論解的數學物理定解問題驗證方法、結論的正確性。圓形區域外邊界處作用反平面分布載荷時，利用疊加原理結合本文Green函數解可直接給出問題的積分解。

［1］Manyanga D O，Duan W Y.Green functions with pulsating sources in a twolayer fluid of finite depth［J］.China Ocean Eng.，2011，25（4）：609－624.

［2］陳秀武.Poisson方程邊值問題的Green函數法［J］.甘肅聯合大學學報（自然科學版），2008，22（1）：122－124.CHEN Xiuwu.Green function’s method of poisson equation boundary conditions questions［J］.Journal of Gansu Lianhe University（Natural Sciences），2008，22（1）：122－124.

［3］齊輝，張根昌，陳冬妮，等.SH波入射時半空間界面裂紋與圓形襯砌的相互作用［J］.爆炸與沖擊，2012，32（5）：463－469.QI Hui， ZHANG Genchang， CHEN Dongni， et al.Scattering of SHwave by the circular lining with an interface crack in a bimaterial halfspace［J］.Explosion and Shock Waves，2012，32（5）：463－469.

［4］崔元慶，楊衛，仲政.半無限平面裂紋構型橫向應力的Green函數［J］.應用數學和力學，2011，32（8）：912－919.CUI Yuanqing， YANG Wei， ZHONG Zheng. Green’s function for tstress of a semiinfinite plane crack［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2011，32（8）：912－919.

［5］王曉軍，楊海峰，邱志平，等.基于Green函數的動態載荷區間識別方法研究［J］.固體力學學報，2011，32（1）：95－101.WANG Xiaojun， YANG Haifeng，QIU Zhiping， et al.Research on interval identification method for dynamic loads based on Green’s function［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2011，32（1）：95－101.

［6］楊錦舟，魏寶君，林楠.徑向成層介質的Green函數及其在隨鉆電磁波電阻率測量的應用［J］.中國石油大學學報（自然科學版），2009，33（3）：53－58.YANG Jinzhou，WEI Baojun，LIN Nan.Green’s function for radial stratified media and its application to electromagnetic wave resistivity measurement while drilling tool［J］.Journal of China University of Petroleum，2009，33（3）：53－58.

［7］趙嘉喜，齊輝.界面脫膠圓夾雜對SH波散射的遠場解［J］.力學與實踐，2009，31（1）：47－51.ZHAO Jiaxi，QI Hui.Far field solution of SHwave scattered by an interface cylindrical inclusion with disconnected curve［J］.Mechanics in Practice，2009，31（1）：47－51.

［8］李冬，宋天舒.雙相壓電介質中界面附近圓孔的動態性能分析［J］.振動與沖擊，2011，30（3）：91－95.LI Dong，SONG Tianshu.Dynamic perfermance analysis of circular cavity near interface in piezoelectric bimaterials［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30（3）：91－95.

［9］王小崗.橫觀各向同性飽和土中柱面載荷的動力Green函數［J］.力學學報，2010，42（5）：909－918.WANG Xiaogang.Dynamic Green’s function for internal barrel loads in transversely isotropic saturated soils［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2010，42（5）：909－918.