霍普金森壓桿過載實驗彌散分析

劉 衛，孫曉霞，2，沈瑞琪，葉迎華

（1.南京理工大學 化工學院，南京 210094；2.遼寧北方華豐特種化工有限公司，遼寧 撫順 113003）

分離式霍普金森壓桿（Split Hopkinson Pressure Bar，SHPB）技術廣泛用于測試如陶瓷［1］、混凝土［2］、巖石［3］及肉質［4］等材料的動態力學性能，而自由式霍普金森壓桿（Free Hopkinson Pressure Bar，FHPB）技術廣泛用于加速度傳感器標定［5］。由于該技術能方便、快速產生高值加速度，張學舜等［6－7］利用霍普金森壓桿過載實驗技術評價火工品的抗過載性能，即通過對粘貼在壓桿中間的電阻應變計采集的應變脈沖信號進行直接微分獲得火工品過載加速度，但由于質點橫向慣性運動引起應力波彌散現象影響，一維應力若存在偏差，霍普金森壓桿沿軸向不同位置處加速度狀態（峰值、脈寬）必不一致，導致所求火工品過載狀態存在偏差。

為研究壓桿中彈性波的彌散效應，Bancroft等［8－9］獲得PochhammerChree頻率方程的數值解。結果表明，用壓桿半徑、彈性模量、泊松比及密度等參數重建彌散應力波成為可能。Gong等［10］對特定泊松比的相關數據插值，獲得相速與波長關系，并用傅里葉變換方法分析壓桿應力波傳播過程。通過聯立插值公式與彌散波傅里葉展開式，使用傅里葉變換方法分析壓桿的彌散效應成為可能。本文采用快速傅里葉變換法分析霍普金森壓桿高過載實驗中由彌散效應所致火工品過載狀態偏差問題，以期獲得火工品試件準確過載狀態。

1 傅里葉彌散分析方法

1.1 過載加速度求解

自由式霍普金森壓桿過載試驗技術原理見圖1。采用波形整形器進行加速度脈寬拓展實驗，當撞擊桿以一定速度向右運動時，先撞到粘貼在入射桿打擊端的波形整形片，因其產生塑性變形，會在輸入桿中產生一定上升沿的入射應力波沿輸入桿軸向傳播，并通過壓桿－試件界面處傳遞至火工品試件，對其進行高加速度加載。

圖1 自由式霍普金森壓桿技術原理圖Fig.1 Schematic of free Hopkinson bar apparatus

基于霍普金森壓桿長徑比較大，可將應力波視為一維應力波。據一維應力波基本理論，輸入桿端面質點速度為

式中：εi，εr為壓桿入射應變及反射應變；c0＝槡 E／ρ0為入射桿一維應力波速。

由于試件長度遠小于入射桿，忽略應力波在試件內損失，入射波全部反射，εr為εi的倒像，即

實際上試件與輸入桿端面粘接，由式（1）、（2）可得輸入桿端面即試件速度v與加速度a值為

式中：v，a為試件質點速度、加速度；εi，c0，E，ρ0為自由式霍普金森桿入射應變、波速、彈性模量及密度。應變以壓為正。

1.2 過載加速度彌散修正

據 PochhammerChree頻率方程［8－9］在幾個泊松比下數值解，Gong等［10］對數據進行插值，獲得給定泊松比的相速與波長關系為

據該代數方程，可確定相速cn。若無彌散效應，且所有諧波成份相速均為c0，則所有諧波傳播x距離時間均為x／c0；但由于彌散效應影響，某諧波成份以cn速度傳播x距離所需時間為x／cn，則與無彌散效應相比，該條件下相角的改變量dn為

通過式（5）、（7）、（8）可獲得彌散波中每一頻率成份fn的相位。傳播x距離時，彌散波的相角為

據修正后相角，即可重建有限長圓桿的應力波。傳播x距離后，彌散修正后應變波的傅里葉展開式為

傅里葉變換中應變波εi轉換到頻率域的相角n可通過 cosn＝RE／（IM2＋RE2）1／2計算獲得，RE與 IM分別為應變變換波的實、虛部；再利用新相角′n及幅值（IM2＋RE2）1／2經共軛處理即可得修正后入射應變變換波的實部RE′及虛部IM′，據此通過反向FFT變換即可獲得傳播x距離后時域上的應變波，即

式中：N為數據點個數。

獲得修正的應變波后即能據式（4）求出經彌散修正的加速度。

2 壓桿過載狀態分析

2.1 壓桿過載加速度分析

圓彈性壓桿由65Si2MnW材料制成，尺寸為Φ16×1 500 mm，一維彈性應力波速 c0＝5 163 m／s，泊松比ν＝0.30。為測量壓桿沿軸向不同位置處加速度時間歷程，在壓桿相距377 mm位置各粘貼一對應變片，見圖2，采集信號并計算兩點處加速度時程。

圖2 應變片粘貼位置Fig.2 Strain gages mounted on the pressure bar

在15.8 m／s撞擊速度下，G1，G2處連續應變脈沖信號見圖3。由圖3看出，受彌散效應影響，應力波在壓桿內傳播中發生升時增加、震蕩加劇現象，不利于用應變信號時間移位方法獲得壓桿或試件其它位置精確應變結果。

據式（4）計算G1，G2處加速度脈沖曲線，結果見圖4。由圖4看出，加速度峰值由G1處125 770 g減少至G2處99 150 g，脈沖寬度則由14μs增加至16μs。本文的加速度脈寬為全峰寬，但因加速度脈沖震蕩較大，很難準確讀出，據加速度脈沖與應變脈沖間存在的關聯性，一般參考應變脈沖獲取脈寬，將應變由0上升至最大值的時間差定義為加速度脈沖寬度。表明壓桿沿軸向不同位置處質點加速度狀態發生變化：隨應力波在壓桿內部的傳播過載加速度峰值不斷減小，而脈寬會略微增加。此因存在彌散效應，應力波沿壓桿軸向傳播時其升時不斷增加，斜率減小，產生由應變微分過程所得加速度曲線峰值不斷減小、脈寬增大現象。因此，在Hopkinson高過載試驗中須對用應變計采集的加速度曲線進行彌散修正，以準確獲取壓桿任意位置的應變及加速度狀態。

圖 3 G1，G2處應變信號Fig.3 Strain pulse getting from G1and G2 gage

圖4 G1，G2處加速度曲線Fig.4 Acceleration pulse getting from G1and G2 strain gage

圖5 G1處修正加速度曲線與G2處加速度曲線比較Fig.5 Comparison between corrected acceleration pulse at G1 gage and acceleration at G2 gage

2.2 波形傳播過程彌散修正

為驗證傅里葉彌散修正分析方法的正確性，本文以G2處加速度信號為基準，將G1處應變信號進行右行377 mm距離的彌散修正，再據式（4）將修正的應變信號轉化成加速度信號，并與基準加速度曲線進行比較。若二者吻合則表明該方法準確、可靠。

由圖5看出，G1處經右行修正的加速度曲線與G2處基準加速度曲線吻合較好，表明在采用G1處加速度狀態評估G2處加速度狀態過程中須對G1處加速度曲線進行彌散修正，才能獲得符合實際的實驗結果；若利用應變計處加速度狀態表征壓桿其它任意位置加速度狀態，只要對用應變計所得應變信號進行一定距離的右行或左行彌散修正據式（4）求解加速度即可。

3 試件的過載加速度分析

脈沖整形技術已廣泛用于材料的動態力學性能，以消除應變波形的高頻震蕩并實現試件應力均勻，獲得恒應變率加載［11－12］。將脈沖整形技術引入霍普金森壓桿過載實驗，對保持較高加速度峰值及拓展加速度脈沖寬度，均取得良好效果。

圖6 不同脈沖加載的加速度彌散分析Fig.6 Dispersion analysis under the loading of pulses with different shape

不同條件下所得幾種典型應變脈沖見圖6（a）。其中＃1為15.8 m／s速度、未經整形時電阻應變計采集的應變曲線；＃2，＃3為依次用 Φ7.06×0.88 mm的 A3鋼及 Φ3.04×2.00 mm的軟鋁整形器，分別在 18.7 m／s，25.1 m／s撞擊速度下所得應變脈沖。由圖6（a）看出，雖三種應變波形上升沿寬度不同，但在波形局部，三者均陡峭上升沿明顯，此為對霍普金森壓桿高過載實驗的基本要求。過載加速度太小，較難滿足火工品過載實驗要求。試驗中電阻應變片傳感器粘貼于G1位置（圖2）。試驗后對＃1、＃2、＃3號應變曲線進行右行1.144 m彌散修正，獲得置于入射桿端部試件所受過載加速度曲線見圖 6（b）、（c）、（d）。由圖 6（b）、（c）、（d）看出，在三種不同形狀的連續脈沖加載條件下，經彌散修正后試件的過載加速度峰值均有降低，但加速度脈沖寬度略微增加。

對＃1、＃2、＃3脈沖加載所得及修正前后加速度峰值、脈寬分別進行偏差分析，結果見表1。由表1看出，無論采用何種脈沖加載，所得試件的過載加速度曲線峰值及脈沖寬度均有較大偏差，峰值偏差均在10%以上；脈沖寬度偏差因波形而異，脈寬越小的加速度修正后脈寬偏差越小，但絕對誤差均小于6μs。即波形整形技術在提高加速度脈寬情況下若不能完全消除彌散效應對實驗結果影響，須對應變計脈沖進行彌散修正，才能精確獲得試件的過載加速度峰值及脈寬。此對實驗方法的完善、建立準確數學模型至關重要。

通常不同作用脈沖，其上升沿越陡峭，高頻成分越多、脈沖在圓桿中傳播相同距離的彌散越大。由此表明，含陡峭上升沿的加載脈沖在傳播過程中必存在彌散效應。而在霍普金森壓桿高過載實驗中，因含陡峭上升沿應變加載脈沖必然存在，否則所得加速度脈沖幅值必較小，無法滿足高過載實驗對加速度峰值104g的量級要求。因此對含陡峭上升沿的彌散應變脈沖，精確獲得試件實際過載加速度，彌散修正必不可少。而不含高頻成分的非彌散波，則無需彌散修正。

表1 彌散修正前后偏差分析Tab.1 Errors analysis before and after dispersion correction

4 結 論

（1）考慮壓桿質點的橫向運動，用傅里葉變換方法分析壓桿應變及加速度脈沖傳播過程的彌散效應；用雙應變片法獲得壓桿不同位置的應變及加速度。通過比較證明由于彌散現象存在導致壓桿不同位置加速度狀態存在差異。

（2）用傅里葉變換彌散分析方法獲得不同脈沖加載及彌散修正前后試件過載加速度間的偏差。結果表明，利用傅里葉變換進行彌散分析方法正確、可靠，且效果較好；為求得準確的過載加速度，對含高頻成分的彌散波須進行彌散修正。

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