中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要注意培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方式

黃文富

摘要：本文討論了中學(xué)數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的幾種數(shù)學(xué)思維方式，包括歸納思想、函數(shù)思想、統(tǒng)計(jì)觀念，類(lèi)比思想及數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)等。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維方式；歸納；類(lèi)比

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）10-0075-03

數(shù)學(xué)的思維方式是一種科學(xué)的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生具有科學(xué)的思維方式將使學(xué)生終身受益。

什么是數(shù)學(xué)的思維方式？觀察客觀世界的現(xiàn)象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，進(jìn)行探索，通過(guò)直覺(jué)判斷或歸納推理、類(lèi)比推理做出猜測(cè)，然后進(jìn)行深入分析和邏輯推理，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序，這就是數(shù)學(xué)思維方式。

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要盡量按照“觀察→實(shí)驗(yàn)→抽象→探索→猜測(cè)→分析→論證→應(yīng)用”來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，受到思維方式的熏陶，日積月累地培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生素質(zhì)。

一、培養(yǎng)學(xué)生的歸納思想

歸納是從特殊的、具體的認(rèn)識(shí)推進(jìn)到一般的、抽象的認(rèn)識(shí)的一種思維方式，它是一種常用的有效的思維方式，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的一種方法。

歸納作為一種方法，首先，通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某此相似性（共性或一般規(guī)律）；然后，把相似性推廣為明確的一般命題（猜想）；最后，對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，即進(jìn)一步考察其他特例，如果對(duì)所有考察對(duì)象的特例，這一猜想都是正確的，我們對(duì)猜想的信任程度就增強(qiáng)了，每驗(yàn)證一次，都會(huì)對(duì)它的正確性增加一份信念，而如果出現(xiàn)了不正確的情況，我們就應(yīng)對(duì)原來(lái)的猜想進(jìn)行改進(jìn)甚至放棄它。

歸納是從特殊到一般的推理，歸納推理所得的結(jié)論僅僅是一個(gè)猜想，不一定可靠，但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能。

例1.觀察下列各個(gè)和式的值：

1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)公式表示出來(lái)。

分析：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……

由此猜想：1+3+5+7+……（2n-1）=n2

要檢驗(yàn)結(jié)論的正確性，可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。

①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

1+3+5+7+……（2k-1）=k2

于是1+3+5+7+……（2k-1）+〔2（k+1）-1〕=k2+〔2（k+1）-1〕=k2+（2k+2-1）=k2+2k+1=（k+1）2

這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立。

由①②可知，結(jié)論對(duì)任意的自然數(shù)均成立。

二、培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想

現(xiàn)實(shí)中許多量之間有依賴(lài)關(guān)系，一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量隨著起變化，函數(shù)是研究各個(gè)量之間確定依賴(lài)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

例2.先在瓶中加入一些水，然后向瓶中依次投入玻璃球使其浸入水中，每次投入玻璃球后，用刻度尺測(cè)量瓶中水面的高度，

在坐標(biāo)紙上畫(huà)出水面高度與玻璃球個(gè)數(shù)關(guān)系的散點(diǎn)圖。

①實(shí)驗(yàn)中，要清楚哪些是主動(dòng)變量、被動(dòng)變量、常量？

②水面高度與玻璃球（浸入水中）個(gè)數(shù)有何關(guān)系？能根據(jù)散點(diǎn)圖確定出反映此關(guān)系的表達(dá)方式嗎？

③如果投入水中10個(gè)玻璃球，水面高度應(yīng)是多少厘米？水面上升了多少厘米？投入多少個(gè)球可使水面高度達(dá)到30厘米？

④瓶子的形狀，直徑的大小，水位多少，玻璃球的大小對(duì)結(jié)果有何影響？

簡(jiǎn)要分析：此實(shí)驗(yàn)告訴我們水面高度是玻璃球個(gè)數(shù)的函數(shù)，這實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了在給水中投球的過(guò)程中兩個(gè)變量（水面高度）與（玻璃球個(gè)數(shù)）之間的依賴(lài)關(guān)系，反映了水面高度隨玻璃球個(gè)數(shù)的變化而變化的特征。

通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)水面高度隨著玻璃球數(shù)量的增加而增高，當(dāng)瓶子是齊口時(shí)，水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系式是y=kx+b，常量k正是散點(diǎn)擬合成的直線的斜率，常量b為玻璃瓶中原來(lái)的水面高度。

由此得出水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系與瓶子的形狀有關(guān)，若瓶子不是齊口的，水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系就不一定是線性的，也不一定能確定出這種關(guān)系表達(dá)式，瓶子中原有水面高度、瓶子的直徑大小、形狀、玻璃球的大小，都將影響水面高度與玻璃球個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

三、培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思想

類(lèi)比是在兩類(lèi)不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式。

例3.類(lèi)比的一般形式是：

系統(tǒng)甲具有屬性（或元素）a，b，c，d，具有關(guān)系k；

系統(tǒng)乙具有屬性（或元素）a，b，c

系統(tǒng)乙可能具有屬性（或元素）d及關(guān)系式k'，它們分別類(lèi)似于甲中的d及k。

類(lèi)比作為一種方法，表述如下：首先，找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；然后，用一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想；最后，檢驗(yàn)這個(gè)猜想。

兩個(gè)系統(tǒng)可作類(lèi)比的前提是，他們各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致，因此，類(lèi)比的關(guān)鍵是把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性（相似性）能確切地表述出來(lái)，也就是把關(guān)于對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)清楚，這不同于比喻。

類(lèi)比與歸納被稱(chēng)為合情推理，推理包括論證推理（演繹推理——亦稱(chēng)演繹法）與合情推理（歸納推理——亦歸納法、類(lèi)比推理——亦稱(chēng)類(lèi)比法），數(shù)學(xué)不僅要演繹推理，更需要合情推理，數(shù)學(xué)結(jié)論（定理、法則、公式……等）的發(fā)現(xiàn)論證對(duì)事物（或數(shù)學(xué)對(duì)象）的觀察，然后再通過(guò)演繹推理，證明猜想正確或舉出反例證明猜想錯(cuò)誤，因此，結(jié)論的獲得要經(jīng)歷合情推理—演繹推理的過(guò)程，合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，因而合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。

例4.畫(huà)一個(gè)平面三角形和一個(gè)空間四面體，仔細(xì)觀察兩種圖形，找出二者之間的相似性，指出平面幾何中的直角三角形、角平分線、三角形的內(nèi)切圓、三角形的中線等概念在立體幾何中的類(lèi)似概念。

根據(jù)平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)如下。

四、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

例5.建立教學(xué)模型的步驟與過(guò)程：

準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建立模型的目的，掌握對(duì)象的各種信息，弄清對(duì)象的特征。

假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特性和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并用精確語(yǔ)言做出假設(shè)。

建立：根據(jù)所做假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫(huà)出圖形或確定其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

求解：利用數(shù)學(xué)方法求出模型的解（包括解方程、畫(huà)圖形、證明定理或邏輯運(yùn)算、計(jì)算和技術(shù)等）。

分析：對(duì)模型的解進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)、分析各個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；有時(shí)根據(jù)所得結(jié)果做出數(shù)學(xué)上的預(yù)測(cè)；有時(shí)則給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制。

檢驗(yàn)：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。

應(yīng)用：用所得模型解決更廣泛的一類(lèi)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)教學(xué)還需培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)能力，抽象思維能力，運(yùn)用符號(hào)的能力，化歸思想等，這里不一一表述，同時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)還要在課堂教學(xué)中注意滲透數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，抽象性和應(yīng)用的廣泛性，使學(xué)生在每節(jié)課堂教學(xué)中都得到科學(xué)思維方式的訓(xùn)練。

參考文獻(xiàn)：

[1]丘維聲.數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)版）[M]第一冊(cè).北京：高等教育出版社，2005.6.

[2]呂世虎，張定強(qiáng).中等數(shù)學(xué)參與式教師培訓(xùn)教程[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2003，1.

[3]王光明.數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)思維[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005，（11）.endprint

摘要：本文討論了中學(xué)數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的幾種數(shù)學(xué)思維方式，包括歸納思想、函數(shù)思想、統(tǒng)計(jì)觀念，類(lèi)比思想及數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)等。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維方式；歸納；類(lèi)比

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）10-0075-03

數(shù)學(xué)的思維方式是一種科學(xué)的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生具有科學(xué)的思維方式將使學(xué)生終身受益。

什么是數(shù)學(xué)的思維方式？觀察客觀世界的現(xiàn)象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，進(jìn)行探索，通過(guò)直覺(jué)判斷或歸納推理、類(lèi)比推理做出猜測(cè)，然后進(jìn)行深入分析和邏輯推理，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序，這就是數(shù)學(xué)思維方式。

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要盡量按照“觀察→實(shí)驗(yàn)→抽象→探索→猜測(cè)→分析→論證→應(yīng)用”來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，受到思維方式的熏陶，日積月累地培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生素質(zhì)。

一、培養(yǎng)學(xué)生的歸納思想

歸納是從特殊的、具體的認(rèn)識(shí)推進(jìn)到一般的、抽象的認(rèn)識(shí)的一種思維方式，它是一種常用的有效的思維方式，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的一種方法。

歸納作為一種方法，首先，通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某此相似性（共性或一般規(guī)律）；然后，把相似性推廣為明確的一般命題（猜想）；最后，對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，即進(jìn)一步考察其他特例，如果對(duì)所有考察對(duì)象的特例，這一猜想都是正確的，我們對(duì)猜想的信任程度就增強(qiáng)了，每驗(yàn)證一次，都會(huì)對(duì)它的正確性增加一份信念，而如果出現(xiàn)了不正確的情況，我們就應(yīng)對(duì)原來(lái)的猜想進(jìn)行改進(jìn)甚至放棄它。

歸納是從特殊到一般的推理，歸納推理所得的結(jié)論僅僅是一個(gè)猜想，不一定可靠，但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能。

例1.觀察下列各個(gè)和式的值：

1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)公式表示出來(lái)。

分析：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……

由此猜想：1+3+5+7+……（2n-1）=n2

要檢驗(yàn)結(jié)論的正確性，可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。

①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

1+3+5+7+……（2k-1）=k2

于是1+3+5+7+……（2k-1）+〔2（k+1）-1〕=k2+〔2（k+1）-1〕=k2+（2k+2-1）=k2+2k+1=（k+1）2

這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立。

由①②可知，結(jié)論對(duì)任意的自然數(shù)均成立。

二、培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想

現(xiàn)實(shí)中許多量之間有依賴(lài)關(guān)系，一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量隨著起變化，函數(shù)是研究各個(gè)量之間確定依賴(lài)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

例2.先在瓶中加入一些水，然后向瓶中依次投入玻璃球使其浸入水中，每次投入玻璃球后，用刻度尺測(cè)量瓶中水面的高度，

在坐標(biāo)紙上畫(huà)出水面高度與玻璃球個(gè)數(shù)關(guān)系的散點(diǎn)圖。

①實(shí)驗(yàn)中，要清楚哪些是主動(dòng)變量、被動(dòng)變量、常量？

②水面高度與玻璃球（浸入水中）個(gè)數(shù)有何關(guān)系？能根據(jù)散點(diǎn)圖確定出反映此關(guān)系的表達(dá)方式嗎？

③如果投入水中10個(gè)玻璃球，水面高度應(yīng)是多少厘米？水面上升了多少厘米？投入多少個(gè)球可使水面高度達(dá)到30厘米？

④瓶子的形狀，直徑的大小，水位多少，玻璃球的大小對(duì)結(jié)果有何影響？

簡(jiǎn)要分析：此實(shí)驗(yàn)告訴我們水面高度是玻璃球個(gè)數(shù)的函數(shù)，這實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了在給水中投球的過(guò)程中兩個(gè)變量（水面高度）與（玻璃球個(gè)數(shù)）之間的依賴(lài)關(guān)系，反映了水面高度隨玻璃球個(gè)數(shù)的變化而變化的特征。

通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)水面高度隨著玻璃球數(shù)量的增加而增高，當(dāng)瓶子是齊口時(shí)，水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系式是y=kx+b，常量k正是散點(diǎn)擬合成的直線的斜率，常量b為玻璃瓶中原來(lái)的水面高度。

由此得出水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系與瓶子的形狀有關(guān)，若瓶子不是齊口的，水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系就不一定是線性的，也不一定能確定出這種關(guān)系表達(dá)式，瓶子中原有水面高度、瓶子的直徑大小、形狀、玻璃球的大小，都將影響水面高度與玻璃球個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

三、培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思想

類(lèi)比是在兩類(lèi)不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式。

例3.類(lèi)比的一般形式是：

系統(tǒng)甲具有屬性（或元素）a，b，c，d，具有關(guān)系k；

系統(tǒng)乙具有屬性（或元素）a，b，c

系統(tǒng)乙可能具有屬性（或元素）d及關(guān)系式k'，它們分別類(lèi)似于甲中的d及k。

類(lèi)比作為一種方法，表述如下：首先，找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；然后，用一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想；最后，檢驗(yàn)這個(gè)猜想。

兩個(gè)系統(tǒng)可作類(lèi)比的前提是，他們各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致，因此，類(lèi)比的關(guān)鍵是把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性（相似性）能確切地表述出來(lái)，也就是把關(guān)于對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)清楚，這不同于比喻。

類(lèi)比與歸納被稱(chēng)為合情推理，推理包括論證推理（演繹推理——亦稱(chēng)演繹法）與合情推理（歸納推理——亦歸納法、類(lèi)比推理——亦稱(chēng)類(lèi)比法），數(shù)學(xué)不僅要演繹推理，更需要合情推理，數(shù)學(xué)結(jié)論（定理、法則、公式……等）的發(fā)現(xiàn)論證對(duì)事物（或數(shù)學(xué)對(duì)象）的觀察，然后再通過(guò)演繹推理，證明猜想正確或舉出反例證明猜想錯(cuò)誤，因此，結(jié)論的獲得要經(jīng)歷合情推理—演繹推理的過(guò)程，合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，因而合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。

例4.畫(huà)一個(gè)平面三角形和一個(gè)空間四面體，仔細(xì)觀察兩種圖形，找出二者之間的相似性，指出平面幾何中的直角三角形、角平分線、三角形的內(nèi)切圓、三角形的中線等概念在立體幾何中的類(lèi)似概念。

根據(jù)平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)如下。

四、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

例5.建立教學(xué)模型的步驟與過(guò)程：

準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建立模型的目的，掌握對(duì)象的各種信息，弄清對(duì)象的特征。

假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特性和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并用精確語(yǔ)言做出假設(shè)。

建立：根據(jù)所做假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫(huà)出圖形或確定其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

求解：利用數(shù)學(xué)方法求出模型的解（包括解方程、畫(huà)圖形、證明定理或邏輯運(yùn)算、計(jì)算和技術(shù)等）。

分析：對(duì)模型的解進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)、分析各個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；有時(shí)根據(jù)所得結(jié)果做出數(shù)學(xué)上的預(yù)測(cè)；有時(shí)則給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制。

檢驗(yàn)：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。

應(yīng)用：用所得模型解決更廣泛的一類(lèi)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)教學(xué)還需培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)能力，抽象思維能力，運(yùn)用符號(hào)的能力，化歸思想等，這里不一一表述，同時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)還要在課堂教學(xué)中注意滲透數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，抽象性和應(yīng)用的廣泛性，使學(xué)生在每節(jié)課堂教學(xué)中都得到科學(xué)思維方式的訓(xùn)練。

參考文獻(xiàn)：

[1]丘維聲.數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)版）[M]第一冊(cè).北京：高等教育出版社，2005.6.

[2]呂世虎，張定強(qiáng).中等數(shù)學(xué)參與式教師培訓(xùn)教程[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2003，1.

[3]王光明.數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)思維[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005，（11）.endprint

摘要：本文討論了中學(xué)數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的幾種數(shù)學(xué)思維方式，包括歸納思想、函數(shù)思想、統(tǒng)計(jì)觀念，類(lèi)比思想及數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)等。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維方式；歸納；類(lèi)比

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）10-0075-03

數(shù)學(xué)的思維方式是一種科學(xué)的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生具有科學(xué)的思維方式將使學(xué)生終身受益。

什么是數(shù)學(xué)的思維方式？觀察客觀世界的現(xiàn)象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，進(jìn)行探索，通過(guò)直覺(jué)判斷或歸納推理、類(lèi)比推理做出猜測(cè)，然后進(jìn)行深入分析和邏輯推理，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序，這就是數(shù)學(xué)思維方式。

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要盡量按照“觀察→實(shí)驗(yàn)→抽象→探索→猜測(cè)→分析→論證→應(yīng)用”來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，受到思維方式的熏陶，日積月累地培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提高學(xué)生素質(zhì)。

一、培養(yǎng)學(xué)生的歸納思想

歸納是從特殊的、具體的認(rèn)識(shí)推進(jìn)到一般的、抽象的認(rèn)識(shí)的一種思維方式，它是一種常用的有效的思維方式，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的一種方法。

歸納作為一種方法，首先，通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某此相似性（共性或一般規(guī)律）；然后，把相似性推廣為明確的一般命題（猜想）；最后，對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，即進(jìn)一步考察其他特例，如果對(duì)所有考察對(duì)象的特例，這一猜想都是正確的，我們對(duì)猜想的信任程度就增強(qiáng)了，每驗(yàn)證一次，都會(huì)對(duì)它的正確性增加一份信念，而如果出現(xiàn)了不正確的情況，我們就應(yīng)對(duì)原來(lái)的猜想進(jìn)行改進(jìn)甚至放棄它。

歸納是從特殊到一般的推理，歸納推理所得的結(jié)論僅僅是一個(gè)猜想，不一定可靠，但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能。

例1.觀察下列各個(gè)和式的值：

1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)公式表示出來(lái)。

分析：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……

由此猜想：1+3+5+7+……（2n-1）=n2

要檢驗(yàn)結(jié)論的正確性，可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。

①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

1+3+5+7+……（2k-1）=k2

于是1+3+5+7+……（2k-1）+〔2（k+1）-1〕=k2+〔2（k+1）-1〕=k2+（2k+2-1）=k2+2k+1=（k+1）2

這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立。

由①②可知，結(jié)論對(duì)任意的自然數(shù)均成立。

二、培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想

現(xiàn)實(shí)中許多量之間有依賴(lài)關(guān)系，一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量隨著起變化，函數(shù)是研究各個(gè)量之間確定依賴(lài)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

例2.先在瓶中加入一些水，然后向瓶中依次投入玻璃球使其浸入水中，每次投入玻璃球后，用刻度尺測(cè)量瓶中水面的高度，

在坐標(biāo)紙上畫(huà)出水面高度與玻璃球個(gè)數(shù)關(guān)系的散點(diǎn)圖。

①實(shí)驗(yàn)中，要清楚哪些是主動(dòng)變量、被動(dòng)變量、常量？

②水面高度與玻璃球（浸入水中）個(gè)數(shù)有何關(guān)系？能根據(jù)散點(diǎn)圖確定出反映此關(guān)系的表達(dá)方式嗎？

③如果投入水中10個(gè)玻璃球，水面高度應(yīng)是多少厘米？水面上升了多少厘米？投入多少個(gè)球可使水面高度達(dá)到30厘米？

④瓶子的形狀，直徑的大小，水位多少，玻璃球的大小對(duì)結(jié)果有何影響？

簡(jiǎn)要分析：此實(shí)驗(yàn)告訴我們水面高度是玻璃球個(gè)數(shù)的函數(shù)，這實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了在給水中投球的過(guò)程中兩個(gè)變量（水面高度）與（玻璃球個(gè)數(shù)）之間的依賴(lài)關(guān)系，反映了水面高度隨玻璃球個(gè)數(shù)的變化而變化的特征。

通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)水面高度隨著玻璃球數(shù)量的增加而增高，當(dāng)瓶子是齊口時(shí)，水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系式是y=kx+b，常量k正是散點(diǎn)擬合成的直線的斜率，常量b為玻璃瓶中原來(lái)的水面高度。

由此得出水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系與瓶子的形狀有關(guān)，若瓶子不是齊口的，水面高度與玻璃球數(shù)量之間的關(guān)系就不一定是線性的，也不一定能確定出這種關(guān)系表達(dá)式，瓶子中原有水面高度、瓶子的直徑大小、形狀、玻璃球的大小，都將影響水面高度與玻璃球個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。

三、培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思想

類(lèi)比是在兩類(lèi)不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式。

例3.類(lèi)比的一般形式是：

系統(tǒng)甲具有屬性（或元素）a，b，c，d，具有關(guān)系k；

系統(tǒng)乙具有屬性（或元素）a，b，c

系統(tǒng)乙可能具有屬性（或元素）d及關(guān)系式k'，它們分別類(lèi)似于甲中的d及k。

類(lèi)比作為一種方法，表述如下：首先，找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；然后，用一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想；最后，檢驗(yàn)這個(gè)猜想。

兩個(gè)系統(tǒng)可作類(lèi)比的前提是，他們各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致，因此，類(lèi)比的關(guān)鍵是把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性（相似性）能確切地表述出來(lái)，也就是把關(guān)于對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)清楚，這不同于比喻。

類(lèi)比與歸納被稱(chēng)為合情推理，推理包括論證推理（演繹推理——亦稱(chēng)演繹法）與合情推理（歸納推理——亦歸納法、類(lèi)比推理——亦稱(chēng)類(lèi)比法），數(shù)學(xué)不僅要演繹推理，更需要合情推理，數(shù)學(xué)結(jié)論（定理、法則、公式……等）的發(fā)現(xiàn)論證對(duì)事物（或數(shù)學(xué)對(duì)象）的觀察，然后再通過(guò)演繹推理，證明猜想正確或舉出反例證明猜想錯(cuò)誤，因此，結(jié)論的獲得要經(jīng)歷合情推理—演繹推理的過(guò)程，合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，因而合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。

例4.畫(huà)一個(gè)平面三角形和一個(gè)空間四面體，仔細(xì)觀察兩種圖形，找出二者之間的相似性，指出平面幾何中的直角三角形、角平分線、三角形的內(nèi)切圓、三角形的中線等概念在立體幾何中的類(lèi)似概念。

根據(jù)平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)如下。

四、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

例5.建立教學(xué)模型的步驟與過(guò)程：

準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建立模型的目的，掌握對(duì)象的各種信息，弄清對(duì)象的特征。

假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特性和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，并用精確語(yǔ)言做出假設(shè)。

建立：根據(jù)所做假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫(huà)出圖形或確定其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

求解：利用數(shù)學(xué)方法求出模型的解（包括解方程、畫(huà)圖形、證明定理或邏輯運(yùn)算、計(jì)算和技術(shù)等）。

分析：對(duì)模型的解進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)、分析各個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；有時(shí)根據(jù)所得結(jié)果做出數(shù)學(xué)上的預(yù)測(cè)；有時(shí)則給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制。

檢驗(yàn)：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。

應(yīng)用：用所得模型解決更廣泛的一類(lèi)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)教學(xué)還需培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)能力，抽象思維能力，運(yùn)用符號(hào)的能力，化歸思想等，這里不一一表述，同時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)還要在課堂教學(xué)中注意滲透數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，抽象性和應(yīng)用的廣泛性，使學(xué)生在每節(jié)課堂教學(xué)中都得到科學(xué)思維方式的訓(xùn)練。

參考文獻(xiàn)：

[1]丘維聲.數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)版）[M]第一冊(cè).北京：高等教育出版社，2005.6.

[2]呂世虎，張定強(qiáng).中等數(shù)學(xué)參與式教師培訓(xùn)教程[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2003，1.

[3]王光明.數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)思維[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005，（11）.endprint