數列中的求通項問題

尹團則

摘要：數列求通項問題在高考中一般不會單獨命題，通常以綜合性大題出現，考查學生的觀察能力，分析和解決問題的能力，解題過程中往往出現新的數列，即構造法求通項公式，下面就常見的幾類題型進行說明。

關鍵詞：數列求通項；觀察；猜想；整體構造

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）12-0266-01

數列求通項問題在高考中一般不會單獨命題，通常以綜合性大題出現，考查學生的觀察能力，分析和解決問題的能力，解題過程中往往出現新的數列，即構造法求通項公式，下面就常見的幾類題型進行說明。

例1.已知數列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，求a2007。

解：由題設，an+2≥an+2，則：

a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥L≥a1+2×1003=2007.

由an+2≥an+2，得an≤an+2-2，則：

an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）.

于是：a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤L≤a1+3×668+1×2=2007，

所以a2007=2007.

易知數列a1=1，a2=2，L，an=n符合本題要求。

點評：本題首先觀察條件的特點，掌握規律性，采用類比的思維進行解答。

（注意：猜得答案an=n或a2007=2007，給2分。若解答選擇題時，不妨一試。）

例2.（2003京春文，6）在等差數列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于（）。

A.4B.5C.6D.7

解析：因為{an}為等差數列，設首項為a1，公差為d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4.在等差數列中a1+a5=a2+a4=2a3.所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4.

點評：本題主要考查等差數列的通項公式的基本求法，屬于送分題，只要記牢性質就能把此題拿下。

例3.由a1=1，an+1=給出的數列{an}的第34項為（ ）

A.B.100C.D.

解：∵-=3，=1+（n-1）×3=3n-2，∴=100，即=100.

點評：本題重在考查數列求通項中的變形，首先要想到取倒數形式，出現新的等差數列，再代入公式法求解。

例4.已知數列{an}滿足a1=1，an+2=-（n∈N+）則該數列前26項的和為 。

解：求出此數列的前幾項：1，-2，-1，，1，-2，…，得{an}的周期為4，所以該數列前26項的和為6（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=-10.

點評：此題主要考查周期數列的性質，若數列中求取的項數較大時，就要考慮周期的情況，利用不完全歸納法找到它的周期，迅速解決，屬于中等題，不會太難。

例5.（2008北京理6）已知數列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）。

A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

解法1.由已知a4=a2+a2=-12，a8=a4+a4=-24，a10=a8+a2=-30，故選C。

解法2.由已知得a2=2a1?a1=-3?an+1-an=-3，a10=-30。

點評：本題可采用特殊值法。

例6.由正數組成的等比數列{an}，若前2n項之和等于它前2n項中的偶數項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，則數列{an}的通項公式an=。

解：當q=1時，得2na1=11na1不成立，∴q≠1，=①，a1q2+a1q3=11aq·a1q3②，由①得q=，代入②得a1=10，∴an=（）.

點評：本題考查數列中的奇偶項的問題，應首先想到等比數列的性質，利用性質解題會起到事半功倍的效果。

例7.給定公比為q（q≠1）的等比數列{an}，設b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，則數列{bn}（）。

A.是等差數列

B.是公比為q的等比數列

C.是公比為q3的等比數列

D.既非等差數列也非等比數列

解：因為{an}是等比數列，所以{bn}也是等比數列，則===q3。

點評：本題屬于數列中整體思想的體現，要有敏銳的觀察力。充分考慮到整體形式的特點，采用整體思維化解難題不失為一種能力的展示。

總之，數列中求通項的方法有很多，要善于歸類總結，針對不同條件，采用合適的方法，在此基礎上求解與通項問題相關的其他問題，就會干到得心應手水到渠成。

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