在數學教學中培養逆向思維能力助力學生成才

林彩金

摘 要：逆向思維能力是中學數學的重要解題能力之一。教師要從概念教學中的逆向思維能力的訓練、解題教學中的逆向思維能力的訓練這兩個方面探討逆向思維能力的培養。

關鍵詞：逆向思維；能力培養；互逆運算

思維是人腦對客觀事物的本質和規律的概括的和間接的反映過程。根據思維過程的指向性，可將思維分為常規思維（正向思維）和逆向思維兩種方式。逆向思維是一種啟發智力的方式，它有悖于通常人們的習慣，而正是這一特點，使得許多靠正常思維不能或難于解決的問題迎刃而解。一些正常思維雖能解決的問題，在它的參與下，過程可以大大簡化，效率可以成倍提高。正思與反思就像分析的一對翅膀，不可或缺。習慣于正向思維的人一旦得到了逆向思維的幫助，就像戰爭的的統帥得到了一支奇兵！因此，教師在教學中要有意識地引導和培養學生的逆向思維意識和習慣，以助力學生成才。

一、概念教學中的逆向思維能力的訓練

數學概念是推理論證和運算的基礎，準確地理解概念是學好數學的前提。

（1）定義教學中的逆向思維能力的訓練。作為定義的數學命題，其逆命題總是成立的，當學習一個新概念時，如果能讓學生學從正逆兩個方面去理解、運用定義，這不僅會加深概念的理解，而且能培養學生雙向考慮問題的良好習慣。

例1 已知a、b是兩個不相等且均大于1的整數，下列兩個二次方程有一公共根：（a-1）x2-（a2+3）x+（a2+3a）=0，（b-1）x2-

（b2+3）x+（b2+3b）=0。試求a、b的值。

分析：直接利用方程根的定義，難于解決。設x0是上述兩個方程的公共根，易知x0≠1（事實上若x0=1，即有a=b），將x0代入已知的兩個方程，并分別改寫為關于a、b的方程：（1-x0）a2+（x02+3）a-（x02+3x0）=0，（1-x0）b2+（x02+3）b-（x02+3x0）=0。從而可知a、b是方程（1-x0）y2+（x02+3）y-（x02+3x0）=0的兩個相異的正整數根。

由韋達定理得a+b= ，ab= =3+ ，∴ab=3+a+

b。若a>b>1，則a≥3故b=1+ + <3，由此易求得a=5，b=2。同理若b>a>1，則有a=2，b=5。∴a=5，b=2或a=2，b=5。

（2）公式教學中的逆向思維能力的訓練。學習數學離不開掌握計算公式，公式的使用是學習掌握公式過程的一個重要環節，是加深理解和鞏固的階段。公式的使用應該包括公式的正向使用、逆向使用以及變形使用，而學生往往習慣于正向使用，忽視了公式的逆向應用，如果能靈活地逆用公式，往往能起到化繁為簡的效果。

例2 解方程 = 。

分析：由 聯想到公式tan（？琢-？茁）= 及由 聯想到公式tan2？琢= 的逆用，從而可設x=tan？琢，則方程可化為 = ，逆向應用公式可得tan（？琢-60°）=cot2？琢=tan（90°- 2？琢）。

下略，最后易得方程的解x=tan50°或tan110°或tan170°

由此可見，公式的逆用可以使公式處于動感狀態。重視這一方面的訓練，能使學生的思維更加活躍，不僅使學生達到深刻理解和靈活運用的目的，而且在知識的淺層深挖、滲透數學思維和培養能力等方面都是很重要的。

（3）法則教學中的逆向思維能力的訓練。在解計算題或證明題時，經常需要數或式的變形后逆用運算法則計算問題，如分裂項變形、加減項變形、乘除項變形等。

例3 化簡： + 。

解：∵ 1+2 + =（1+ ）+（ + ）， +2 +3=（ + ）（ +3），逆用公式加減法的運算法則 = ± ，易得原式=1。

（4）定理教學中逆向思維能力的訓練。中學數學中有許多定理有它的逆定理，如勾股定理、三垂線定理等，在教學過程中除了強調原定理的重要性外，還應重視對它的逆定理的應用。

例4 已知a、b、c均為正實數，并且a2+b2=c2。證明：an+bn

分析：由條件a2+b2=c2的特征易聯想到用勾股定理的逆定理。

解：可設a、b、c為一個△ABC的三邊長，那么這個三角形為Rt△，并設sinA= ，cosA= 。

∵當n≥3時，sinnA

二、解題教學中的逆向思維能力的訓練

（1）通過互逆運算，訓練逆向思維。在中學數學中，每一種運算都有一個與之相反的運算為可逆運算。如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、指數與對數、冪與根式、三角與反三角、因式分解與整式乘法等，由于學生可逆思維能力相對較弱，對逆運算認識較緩慢、遲鈍，所以在教學中要重視逆運算的引入和訓練，用正運算的思維幫助學生建立逆運算的思維，從而逐漸使學生掌握逆運算。

例5 已知f（x8）=log3x，那么f（27）等于（ ）。

A.3， B. ， C.± ， D. 。

分析：令x8=27，根據乘方與開方互逆運算，有X= （∵X>0），故f（27）=log3 = ， 故選B。

（2）分析法。分析法是從求證出發追索到已知，或者說從未知到已知，這種思考方法叫作分析法。這種方法在證明題中用得較多，是逆向思維在數學解題中的具體運用。

例6 設a>0，b>0，a≠b，證明： > 。

分析：為了證明 > 成立，只要證明下面不等式成立：a+b>2 。由于a>0，b>0，即要證（a+b）2>4ab成立，展開這個不等式左邊，即得a2+2ab+b2>4ab，兩邊減去4ab，得a2-2ab+b2>0，左邊寫成（a-b）2，得（a-b）2>0成立。由此倒推，即可證明 > 成立。

（3）反證法。反證法是通過確定與論題相矛盾的反論題的虛假，根據排中律，由假推真，來證明證題的真實性的一種論證方法。某些數學題，當我們從正面證明發生困難時，可用反證法來證明。

例7 求證： 不是有理數。

證明：假設 是有理數，那么可設 = （m、n為互質的正整數），兩邊平方從而可得2m2=n2，n2為偶數。由于奇數的平方仍然是奇數，所以n也是偶數。令n=2k（K∈N*），則2m2=4k2，所以m2=2k2，同理m也是偶數，這與題設m、n互質矛盾，所以 不是有理數。

綜上所述，教師在數學教學中要根據問題的特點，在應用常規數學思維的同時注意逆向思維的應用，往往能使很多問題運算簡化，對培養學生的數學思維，特別是培養學生思維的敏捷性，提高學生的解題能力和創新能力更有重要的意義。只要教師運用好了，就一定能助力學生成才。

參考文獻：

[1]田萬海.數學教育學[M].杭州：浙江教育出版社，1993.

[2]莊秀山.在數學教學中應注意逆向思維的培養[J].福建中學數

學，2003（11）.

（福建省莆田市涵江區青璜中學）

摘 要：逆向思維能力是中學數學的重要解題能力之一。教師要從概念教學中的逆向思維能力的訓練、解題教學中的逆向思維能力的訓練這兩個方面探討逆向思維能力的培養。

關鍵詞：逆向思維；能力培養；互逆運算

思維是人腦對客觀事物的本質和規律的概括的和間接的反映過程。根據思維過程的指向性，可將思維分為常規思維（正向思維）和逆向思維兩種方式。逆向思維是一種啟發智力的方式，它有悖于通常人們的習慣，而正是這一特點，使得許多靠正常思維不能或難于解決的問題迎刃而解。一些正常思維雖能解決的問題，在它的參與下，過程可以大大簡化，效率可以成倍提高。正思與反思就像分析的一對翅膀，不可或缺。習慣于正向思維的人一旦得到了逆向思維的幫助，就像戰爭的的統帥得到了一支奇兵！因此，教師在教學中要有意識地引導和培養學生的逆向思維意識和習慣，以助力學生成才。

一、概念教學中的逆向思維能力的訓練

數學概念是推理論證和運算的基礎，準確地理解概念是學好數學的前提。

（1）定義教學中的逆向思維能力的訓練。作為定義的數學命題，其逆命題總是成立的，當學習一個新概念時，如果能讓學生學從正逆兩個方面去理解、運用定義，這不僅會加深概念的理解，而且能培養學生雙向考慮問題的良好習慣。

例1 已知a、b是兩個不相等且均大于1的整數，下列兩個二次方程有一公共根：（a-1）x2-（a2+3）x+（a2+3a）=0，（b-1）x2-

（b2+3）x+（b2+3b）=0。試求a、b的值。

分析：直接利用方程根的定義，難于解決。設x0是上述兩個方程的公共根，易知x0≠1（事實上若x0=1，即有a=b），將x0代入已知的兩個方程，并分別改寫為關于a、b的方程：（1-x0）a2+（x02+3）a-（x02+3x0）=0，（1-x0）b2+（x02+3）b-（x02+3x0）=0。從而可知a、b是方程（1-x0）y2+（x02+3）y-（x02+3x0）=0的兩個相異的正整數根。

由韋達定理得a+b= ，ab= =3+ ，∴ab=3+a+

b。若a>b>1，則a≥3故b=1+ + <3，由此易求得a=5，b=2。同理若b>a>1，則有a=2，b=5。∴a=5，b=2或a=2，b=5。

（2）公式教學中的逆向思維能力的訓練。學習數學離不開掌握計算公式，公式的使用是學習掌握公式過程的一個重要環節，是加深理解和鞏固的階段。公式的使用應該包括公式的正向使用、逆向使用以及變形使用，而學生往往習慣于正向使用，忽視了公式的逆向應用，如果能靈活地逆用公式，往往能起到化繁為簡的效果。

例2 解方程 = 。

分析：由 聯想到公式tan（？琢-？茁）= 及由 聯想到公式tan2？琢= 的逆用，從而可設x=tan？琢，則方程可化為 = ，逆向應用公式可得tan（？琢-60°）=cot2？琢=tan（90°- 2？琢）。

下略，最后易得方程的解x=tan50°或tan110°或tan170°

由此可見，公式的逆用可以使公式處于動感狀態。重視這一方面的訓練，能使學生的思維更加活躍，不僅使學生達到深刻理解和靈活運用的目的，而且在知識的淺層深挖、滲透數學思維和培養能力等方面都是很重要的。

（3）法則教學中的逆向思維能力的訓練。在解計算題或證明題時，經常需要數或式的變形后逆用運算法則計算問題，如分裂項變形、加減項變形、乘除項變形等。

例3 化簡： + 。

解：∵ 1+2 + =（1+ ）+（ + ）， +2 +3=（ + ）（ +3），逆用公式加減法的運算法則 = ± ，易得原式=1。

（4）定理教學中逆向思維能力的訓練。中學數學中有許多定理有它的逆定理，如勾股定理、三垂線定理等，在教學過程中除了強調原定理的重要性外，還應重視對它的逆定理的應用。

例4 已知a、b、c均為正實數，并且a2+b2=c2。證明：an+bn

分析：由條件a2+b2=c2的特征易聯想到用勾股定理的逆定理。

解：可設a、b、c為一個△ABC的三邊長，那么這個三角形為Rt△，并設sinA= ，cosA= 。

∵當n≥3時，sinnA

二、解題教學中的逆向思維能力的訓練

（1）通過互逆運算，訓練逆向思維。在中學數學中，每一種運算都有一個與之相反的運算為可逆運算。如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、指數與對數、冪與根式、三角與反三角、因式分解與整式乘法等，由于學生可逆思維能力相對較弱，對逆運算認識較緩慢、遲鈍，所以在教學中要重視逆運算的引入和訓練，用正運算的思維幫助學生建立逆運算的思維，從而逐漸使學生掌握逆運算。

例5 已知f（x8）=log3x，那么f（27）等于（ ）。

A.3， B. ， C.± ， D. 。

分析：令x8=27，根據乘方與開方互逆運算，有X= （∵X>0），故f（27）=log3 = ， 故選B。

（2）分析法。分析法是從求證出發追索到已知，或者說從未知到已知，這種思考方法叫作分析法。這種方法在證明題中用得較多，是逆向思維在數學解題中的具體運用。

例6 設a>0，b>0，a≠b，證明： > 。

分析：為了證明 > 成立，只要證明下面不等式成立：a+b>2 。由于a>0，b>0，即要證（a+b）2>4ab成立，展開這個不等式左邊，即得a2+2ab+b2>4ab，兩邊減去4ab，得a2-2ab+b2>0，左邊寫成（a-b）2，得（a-b）2>0成立。由此倒推，即可證明 > 成立。

（3）反證法。反證法是通過確定與論題相矛盾的反論題的虛假，根據排中律，由假推真，來證明證題的真實性的一種論證方法。某些數學題，當我們從正面證明發生困難時，可用反證法來證明。

例7 求證： 不是有理數。

證明：假設 是有理數，那么可設 = （m、n為互質的正整數），兩邊平方從而可得2m2=n2，n2為偶數。由于奇數的平方仍然是奇數，所以n也是偶數。令n=2k（K∈N*），則2m2=4k2，所以m2=2k2，同理m也是偶數，這與題設m、n互質矛盾，所以 不是有理數。

綜上所述，教師在數學教學中要根據問題的特點，在應用常規數學思維的同時注意逆向思維的應用，往往能使很多問題運算簡化，對培養學生的數學思維，特別是培養學生思維的敏捷性，提高學生的解題能力和創新能力更有重要的意義。只要教師運用好了，就一定能助力學生成才。

參考文獻：

[1]田萬海.數學教育學[M].杭州：浙江教育出版社，1993.

[2]莊秀山.在數學教學中應注意逆向思維的培養[J].福建中學數

學，2003（11）.

（福建省莆田市涵江區青璜中學）

摘 要：逆向思維能力是中學數學的重要解題能力之一。教師要從概念教學中的逆向思維能力的訓練、解題教學中的逆向思維能力的訓練這兩個方面探討逆向思維能力的培養。

關鍵詞：逆向思維；能力培養；互逆運算

思維是人腦對客觀事物的本質和規律的概括的和間接的反映過程。根據思維過程的指向性，可將思維分為常規思維（正向思維）和逆向思維兩種方式。逆向思維是一種啟發智力的方式，它有悖于通常人們的習慣，而正是這一特點，使得許多靠正常思維不能或難于解決的問題迎刃而解。一些正常思維雖能解決的問題，在它的參與下，過程可以大大簡化，效率可以成倍提高。正思與反思就像分析的一對翅膀，不可或缺。習慣于正向思維的人一旦得到了逆向思維的幫助，就像戰爭的的統帥得到了一支奇兵！因此，教師在教學中要有意識地引導和培養學生的逆向思維意識和習慣，以助力學生成才。

一、概念教學中的逆向思維能力的訓練

數學概念是推理論證和運算的基礎，準確地理解概念是學好數學的前提。

（1）定義教學中的逆向思維能力的訓練。作為定義的數學命題，其逆命題總是成立的，當學習一個新概念時，如果能讓學生學從正逆兩個方面去理解、運用定義，這不僅會加深概念的理解，而且能培養學生雙向考慮問題的良好習慣。

例1 已知a、b是兩個不相等且均大于1的整數，下列兩個二次方程有一公共根：（a-1）x2-（a2+3）x+（a2+3a）=0，（b-1）x2-

（b2+3）x+（b2+3b）=0。試求a、b的值。

分析：直接利用方程根的定義，難于解決。設x0是上述兩個方程的公共根，易知x0≠1（事實上若x0=1，即有a=b），將x0代入已知的兩個方程，并分別改寫為關于a、b的方程：（1-x0）a2+（x02+3）a-（x02+3x0）=0，（1-x0）b2+（x02+3）b-（x02+3x0）=0。從而可知a、b是方程（1-x0）y2+（x02+3）y-（x02+3x0）=0的兩個相異的正整數根。

由韋達定理得a+b= ，ab= =3+ ，∴ab=3+a+

b。若a>b>1，則a≥3故b=1+ + <3，由此易求得a=5，b=2。同理若b>a>1，則有a=2，b=5。∴a=5，b=2或a=2，b=5。

（2）公式教學中的逆向思維能力的訓練。學習數學離不開掌握計算公式，公式的使用是學習掌握公式過程的一個重要環節，是加深理解和鞏固的階段。公式的使用應該包括公式的正向使用、逆向使用以及變形使用，而學生往往習慣于正向使用，忽視了公式的逆向應用，如果能靈活地逆用公式，往往能起到化繁為簡的效果。

例2 解方程 = 。

分析：由 聯想到公式tan（？琢-？茁）= 及由 聯想到公式tan2？琢= 的逆用，從而可設x=tan？琢，則方程可化為 = ，逆向應用公式可得tan（？琢-60°）=cot2？琢=tan（90°- 2？琢）。

下略，最后易得方程的解x=tan50°或tan110°或tan170°

由此可見，公式的逆用可以使公式處于動感狀態。重視這一方面的訓練，能使學生的思維更加活躍，不僅使學生達到深刻理解和靈活運用的目的，而且在知識的淺層深挖、滲透數學思維和培養能力等方面都是很重要的。

（3）法則教學中的逆向思維能力的訓練。在解計算題或證明題時，經常需要數或式的變形后逆用運算法則計算問題，如分裂項變形、加減項變形、乘除項變形等。

例3 化簡： + 。

解：∵ 1+2 + =（1+ ）+（ + ）， +2 +3=（ + ）（ +3），逆用公式加減法的運算法則 = ± ，易得原式=1。

（4）定理教學中逆向思維能力的訓練。中學數學中有許多定理有它的逆定理，如勾股定理、三垂線定理等，在教學過程中除了強調原定理的重要性外，還應重視對它的逆定理的應用。

例4 已知a、b、c均為正實數，并且a2+b2=c2。證明：an+bn

分析：由條件a2+b2=c2的特征易聯想到用勾股定理的逆定理。

解：可設a、b、c為一個△ABC的三邊長，那么這個三角形為Rt△，并設sinA= ，cosA= 。

∵當n≥3時，sinnA

二、解題教學中的逆向思維能力的訓練

（1）通過互逆運算，訓練逆向思維。在中學數學中，每一種運算都有一個與之相反的運算為可逆運算。如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、指數與對數、冪與根式、三角與反三角、因式分解與整式乘法等，由于學生可逆思維能力相對較弱，對逆運算認識較緩慢、遲鈍，所以在教學中要重視逆運算的引入和訓練，用正運算的思維幫助學生建立逆運算的思維，從而逐漸使學生掌握逆運算。

例5 已知f（x8）=log3x，那么f（27）等于（ ）。

A.3， B. ， C.± ， D. 。

分析：令x8=27，根據乘方與開方互逆運算，有X= （∵X>0），故f（27）=log3 = ， 故選B。

（2）分析法。分析法是從求證出發追索到已知，或者說從未知到已知，這種思考方法叫作分析法。這種方法在證明題中用得較多，是逆向思維在數學解題中的具體運用。

例6 設a>0，b>0，a≠b，證明： > 。

分析：為了證明 > 成立，只要證明下面不等式成立：a+b>2 。由于a>0，b>0，即要證（a+b）2>4ab成立，展開這個不等式左邊，即得a2+2ab+b2>4ab，兩邊減去4ab，得a2-2ab+b2>0，左邊寫成（a-b）2，得（a-b）2>0成立。由此倒推，即可證明 > 成立。

（3）反證法。反證法是通過確定與論題相矛盾的反論題的虛假，根據排中律，由假推真，來證明證題的真實性的一種論證方法。某些數學題，當我們從正面證明發生困難時，可用反證法來證明。

例7 求證： 不是有理數。

證明：假設 是有理數，那么可設 = （m、n為互質的正整數），兩邊平方從而可得2m2=n2，n2為偶數。由于奇數的平方仍然是奇數，所以n也是偶數。令n=2k（K∈N*），則2m2=4k2，所以m2=2k2，同理m也是偶數，這與題設m、n互質矛盾，所以 不是有理數。

綜上所述，教師在數學教學中要根據問題的特點，在應用常規數學思維的同時注意逆向思維的應用，往往能使很多問題運算簡化，對培養學生的數學思維，特別是培養學生思維的敏捷性，提高學生的解題能力和創新能力更有重要的意義。只要教師運用好了，就一定能助力學生成才。

參考文獻：

[1]田萬海.數學教育學[M].杭州：浙江教育出版社，1993.

[2]莊秀山.在數學教學中應注意逆向思維的培養[J].福建中學數

學，2003（11）.

（福建省莆田市涵江區青璜中學）