從橢圓的簡單幾何性質(zhì)談教學(xué)創(chuàng)新

李漢兵

摘 要： 橢圓的幾何性質(zhì)是解析幾何中的重點內(nèi)容，也是研究圓錐曲線的主體之一.本文從橢圓的基本定義推得的標(biāo)準(zhǔn)方程入手，推導(dǎo)分析了橢圓的各種幾何性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，從而實現(xiàn)學(xué)生對知識的系統(tǒng)把握和對知識的創(chuàng)新運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 橢圓 幾何性質(zhì) 創(chuàng)新教學(xué)

橢圓的簡單幾何性質(zhì)包括橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率、橢圓的第二定義，等等，是我們解析幾何內(nèi)容的一個重點，很多教材往往把它單獨(dú)分成幾塊拿出來討論，顯得聯(lián)系不緊密，學(xué)生學(xué)習(xí)時感到很困惑.特別是橢圓的第二定義，我們選用的教材沒有作具體闡述，但為了給出圓錐曲線的統(tǒng)一定義，我們有必要做拓展.而高中教材是通過一個例子給出的，也感覺思路不蹈常規(guī)，當(dāng)然這一切都是教材的簡潔性決定的.我在這部分內(nèi)容教學(xué)設(shè)計中，創(chuàng)設(shè)了問題情境，把這些內(nèi)容有機(jī)串聯(lián)起來，整個過程如同一次重大戰(zhàn)役，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散，加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).過程如下。

一、以問題為中心，注重過程教學(xué)

首先，設(shè)計如下情境，提出反常規(guī)的問題.

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點，焦點F 和F 的坐標(biāo)分別是（-c，0），（c，0）（如圖1）.由橢圓的定義可得：

+ =2a（1）

將這個方程移項，兩邊平方得

a -cx=a （2）

兩邊再平方，整理得

+ =1（a>b>0）（3）

問題1：為什么將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

對于這一問題的提出，學(xué)生首先會感到奇怪，似乎（3）式作為標(biāo)準(zhǔn)方程是順理成章的，預(yù)先規(guī)定的，進(jìn)而師生共同展開熱烈討論，然后教師總結(jié).我總結(jié)大致有以下幾點理由：

1.（3）式簡捷，具有對稱的美感.

2.（3）式為我們提供了求橢圓軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程，方便用待定系數(shù)法求解軌跡的方程.

3.根據(jù)解析幾何用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)這一特點，（3）式方便研究橢圓的幾何性質(zhì).

針對上述理由3，教師可以組織學(xué)生就如何利用（3）式從整體上把握橢圓的曲線的形狀，展開討論.這樣便自然引出：范圍、對稱性、頂點、離心率等教材中要求的內(nèi)容.若要進(jìn)一步研究橢圓的曲線，就需要列表、描點、連線等常用手段，于是課文中的例3便自然出來了.

二、以探究為熱點，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

由于有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，本節(jié)課教師的問題設(shè)計顯然很自然了.

老師：上節(jié)課我們討論了（3）式作為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的諸多優(yōu)點，自然我們會有：

問題2：將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么缺點？

對于這一問題學(xué)生感到有些困難，教師和學(xué)生一起比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點后，發(fā)現(xiàn)（3）式無法揭示橢圓上的動點到定點的距離之和等于定長2a這一本質(zhì)屬性，相比之下（1）式恰好具有這一優(yōu)點.于是師生一起可以討論（1）式的優(yōu)缺點，具體可得：

1.（1）式充分揭示了橢圓的定義.

2.（1）式難以討論橢圓的其他幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點，等等.

通過以上討論，自然產(chǎn)生問題3：是否存在一個方程，同時體現(xiàn)橢圓的第一定義和橢圓的幾何性質(zhì)？自然將目光轉(zhuǎn)向（2）式，將（2）式變形，得

=a- x（4）

即|MF |=a-ex（5）

同理可得|MF |=a+ex （6）

將（2）式再變形，得

= （ -x）

即 = （7）

（5）（6）兩式將橢圓上點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為只和焦點的橫坐標(biāo)有關(guān)的一維算式，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)降維思想.而（7）式正好揭示了橢圓的第二定義，如圖2所示.

如此處理教材，自然流暢，既能完成教學(xué)任務(wù)，又能充分揭示知識的發(fā)生過程，通過被人們所遺棄的（2）式，挖掘出如此寶貴的教學(xué)成果，這會讓學(xué)生興奮不已.在品嘗創(chuàng)新果實的同時也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

三、以反思為主調(diào)，奏響創(chuàng)新旋律

務(wù)必指出，反思是創(chuàng)新的源泉.通過前二節(jié)課的探索，特別是第二課時獲得一系列創(chuàng)新成果以后，教師更要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，打破思維定勢，爭取更大的突破.

總結(jié)上二節(jié)課的討論，我們發(fā)現(xiàn)對（1）式的每一次變形，都會取得一系列令人激動的科學(xué)成果，那么自然會問：

問題4：（1）式還有其他變形嗎？如果有又能得到什么收獲呢？

此時，學(xué)生的思維已被激活，討論積極，熱情高漲，通過討論可獲得一系列成果如下。

成果一：將（1）兩邊平方，整理可得：

· +x +y =a +b （8）

（8）式揭示了橢圓的又一本質(zhì)屬性：

|MF ||MF |+|MO| =a +b ，

即，橢圓上動點到兩焦點的距離之積，和它到橢圓中心距離的平方之和等于常數(shù)（如圖3）.

成果二：將（5）（6）代入（8）式可得：

|MO|= （9）

若將動點到中心的長度稱為橢圓的半徑，那么（9）式給出了橢圓半徑的計算方法，它只和該點的橫坐標(biāo)有關(guān)，同樣起到降維作用.

成果三：若將（1）式的兩邊乘以 - ，整理可得：

= （10）

（10）式給出了橢圓的又一本質(zhì)屬性：即橢圓上動點到兩焦點的距離之差與該點到橢圓的一條對稱軸（垂直于焦點所在直線）的距離之比是一個常數(shù).

成果四：在△F MF 中（圖1），設(shè)∠F MF =α，則由余弦定理可得：

4c =|MF | +|MF | -2|MF ||MF |cosα

=（|MF |+|MF |） -2|MF ||MF |（1+cosα）

=4a -2|MF ||MF |（1+cosα）

所以|MF ||MF |= （11）

將（11）式代入（8）式可得：

|MO|= （12）

（12）式給出了橢圓半徑與動點到兩焦點連線所成角的關(guān)系.

應(yīng)該指出：本節(jié)課的創(chuàng)新討論是無止境的，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，當(dāng)然由于學(xué)生的程度不同，得到的成果也不同，無論如何，教師都應(yīng)給予學(xué)生充分肯定.

從對（1）式做變形看，自然也可考慮將其他式子變形，如將（3）式變形成

= ，于是可得，橢圓上動點到兩焦點A（-a，0），B（a，0）的連線的斜率之積等于常數(shù).

參考文獻(xiàn)：

[1]李佰春.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].合肥：安徽大學(xué)出版社，2004.

[2]顧沅.教學(xué)任務(wù)與案例分析.上城教育信息港.

[3]顧沅.追求卓越—教師專業(yè)發(fā)展案例研究[M].人民教育出版社.

[4]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析[M].陜西師范大學(xué)出版社.

[5]任志鴻主編.高中新教材數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案[M].南方出版社.endprint

摘 要： 橢圓的幾何性質(zhì)是解析幾何中的重點內(nèi)容，也是研究圓錐曲線的主體之一.本文從橢圓的基本定義推得的標(biāo)準(zhǔn)方程入手，推導(dǎo)分析了橢圓的各種幾何性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，從而實現(xiàn)學(xué)生對知識的系統(tǒng)把握和對知識的創(chuàng)新運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 橢圓 幾何性質(zhì) 創(chuàng)新教學(xué)

橢圓的簡單幾何性質(zhì)包括橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率、橢圓的第二定義，等等，是我們解析幾何內(nèi)容的一個重點，很多教材往往把它單獨(dú)分成幾塊拿出來討論，顯得聯(lián)系不緊密，學(xué)生學(xué)習(xí)時感到很困惑.特別是橢圓的第二定義，我們選用的教材沒有作具體闡述，但為了給出圓錐曲線的統(tǒng)一定義，我們有必要做拓展.而高中教材是通過一個例子給出的，也感覺思路不蹈常規(guī)，當(dāng)然這一切都是教材的簡潔性決定的.我在這部分內(nèi)容教學(xué)設(shè)計中，創(chuàng)設(shè)了問題情境，把這些內(nèi)容有機(jī)串聯(lián)起來，整個過程如同一次重大戰(zhàn)役，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散，加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).過程如下。

一、以問題為中心，注重過程教學(xué)

首先，設(shè)計如下情境，提出反常規(guī)的問題.

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點，焦點F 和F 的坐標(biāo)分別是（-c，0），（c，0）（如圖1）.由橢圓的定義可得：

+ =2a（1）

將這個方程移項，兩邊平方得

a -cx=a （2）

兩邊再平方，整理得

+ =1（a>b>0）（3）

問題1：為什么將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

對于這一問題的提出，學(xué)生首先會感到奇怪，似乎（3）式作為標(biāo)準(zhǔn)方程是順理成章的，預(yù)先規(guī)定的，進(jìn)而師生共同展開熱烈討論，然后教師總結(jié).我總結(jié)大致有以下幾點理由：

1.（3）式簡捷，具有對稱的美感.

2.（3）式為我們提供了求橢圓軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程，方便用待定系數(shù)法求解軌跡的方程.

3.根據(jù)解析幾何用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)這一特點，（3）式方便研究橢圓的幾何性質(zhì).

針對上述理由3，教師可以組織學(xué)生就如何利用（3）式從整體上把握橢圓的曲線的形狀，展開討論.這樣便自然引出：范圍、對稱性、頂點、離心率等教材中要求的內(nèi)容.若要進(jìn)一步研究橢圓的曲線，就需要列表、描點、連線等常用手段，于是課文中的例3便自然出來了.

二、以探究為熱點，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

由于有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，本節(jié)課教師的問題設(shè)計顯然很自然了.

老師：上節(jié)課我們討論了（3）式作為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的諸多優(yōu)點，自然我們會有：

問題2：將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么缺點？

對于這一問題學(xué)生感到有些困難，教師和學(xué)生一起比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點后，發(fā)現(xiàn)（3）式無法揭示橢圓上的動點到定點的距離之和等于定長2a這一本質(zhì)屬性，相比之下（1）式恰好具有這一優(yōu)點.于是師生一起可以討論（1）式的優(yōu)缺點，具體可得：

1.（1）式充分揭示了橢圓的定義.

2.（1）式難以討論橢圓的其他幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點，等等.

通過以上討論，自然產(chǎn)生問題3：是否存在一個方程，同時體現(xiàn)橢圓的第一定義和橢圓的幾何性質(zhì)？自然將目光轉(zhuǎn)向（2）式，將（2）式變形，得

=a- x（4）

即|MF |=a-ex（5）

同理可得|MF |=a+ex （6）

將（2）式再變形，得

= （ -x）

即 = （7）

（5）（6）兩式將橢圓上點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為只和焦點的橫坐標(biāo)有關(guān)的一維算式，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)降維思想.而（7）式正好揭示了橢圓的第二定義，如圖2所示.

如此處理教材，自然流暢，既能完成教學(xué)任務(wù)，又能充分揭示知識的發(fā)生過程，通過被人們所遺棄的（2）式，挖掘出如此寶貴的教學(xué)成果，這會讓學(xué)生興奮不已.在品嘗創(chuàng)新果實的同時也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

三、以反思為主調(diào)，奏響創(chuàng)新旋律

務(wù)必指出，反思是創(chuàng)新的源泉.通過前二節(jié)課的探索，特別是第二課時獲得一系列創(chuàng)新成果以后，教師更要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，打破思維定勢，爭取更大的突破.

總結(jié)上二節(jié)課的討論，我們發(fā)現(xiàn)對（1）式的每一次變形，都會取得一系列令人激動的科學(xué)成果，那么自然會問：

問題4：（1）式還有其他變形嗎？如果有又能得到什么收獲呢？

此時，學(xué)生的思維已被激活，討論積極，熱情高漲，通過討論可獲得一系列成果如下。

成果一：將（1）兩邊平方，整理可得：

· +x +y =a +b （8）

（8）式揭示了橢圓的又一本質(zhì)屬性：

|MF ||MF |+|MO| =a +b ，

即，橢圓上動點到兩焦點的距離之積，和它到橢圓中心距離的平方之和等于常數(shù)（如圖3）.

成果二：將（5）（6）代入（8）式可得：

|MO|= （9）

若將動點到中心的長度稱為橢圓的半徑，那么（9）式給出了橢圓半徑的計算方法，它只和該點的橫坐標(biāo)有關(guān)，同樣起到降維作用.

成果三：若將（1）式的兩邊乘以 - ，整理可得：

= （10）

（10）式給出了橢圓的又一本質(zhì)屬性：即橢圓上動點到兩焦點的距離之差與該點到橢圓的一條對稱軸（垂直于焦點所在直線）的距離之比是一個常數(shù).

成果四：在△F MF 中（圖1），設(shè)∠F MF =α，則由余弦定理可得：

4c =|MF | +|MF | -2|MF ||MF |cosα

=（|MF |+|MF |） -2|MF ||MF |（1+cosα）

=4a -2|MF ||MF |（1+cosα）

所以|MF ||MF |= （11）

將（11）式代入（8）式可得：

|MO|= （12）

（12）式給出了橢圓半徑與動點到兩焦點連線所成角的關(guān)系.

應(yīng)該指出：本節(jié)課的創(chuàng)新討論是無止境的，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，當(dāng)然由于學(xué)生的程度不同，得到的成果也不同，無論如何，教師都應(yīng)給予學(xué)生充分肯定.

從對（1）式做變形看，自然也可考慮將其他式子變形，如將（3）式變形成

= ，于是可得，橢圓上動點到兩焦點A（-a，0），B（a，0）的連線的斜率之積等于常數(shù).

參考文獻(xiàn)：

[1]李佰春.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].合肥：安徽大學(xué)出版社，2004.

[2]顧沅.教學(xué)任務(wù)與案例分析.上城教育信息港.

[3]顧沅.追求卓越—教師專業(yè)發(fā)展案例研究[M].人民教育出版社.

[4]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析[M].陜西師范大學(xué)出版社.

[5]任志鴻主編.高中新教材數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案[M].南方出版社.endprint

摘 要： 橢圓的幾何性質(zhì)是解析幾何中的重點內(nèi)容，也是研究圓錐曲線的主體之一.本文從橢圓的基本定義推得的標(biāo)準(zhǔn)方程入手，推導(dǎo)分析了橢圓的各種幾何性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，從而實現(xiàn)學(xué)生對知識的系統(tǒng)把握和對知識的創(chuàng)新運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 橢圓 幾何性質(zhì) 創(chuàng)新教學(xué)

橢圓的簡單幾何性質(zhì)包括橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率、橢圓的第二定義，等等，是我們解析幾何內(nèi)容的一個重點，很多教材往往把它單獨(dú)分成幾塊拿出來討論，顯得聯(lián)系不緊密，學(xué)生學(xué)習(xí)時感到很困惑.特別是橢圓的第二定義，我們選用的教材沒有作具體闡述，但為了給出圓錐曲線的統(tǒng)一定義，我們有必要做拓展.而高中教材是通過一個例子給出的，也感覺思路不蹈常規(guī)，當(dāng)然這一切都是教材的簡潔性決定的.我在這部分內(nèi)容教學(xué)設(shè)計中，創(chuàng)設(shè)了問題情境，把這些內(nèi)容有機(jī)串聯(lián)起來，整個過程如同一次重大戰(zhàn)役，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散，加強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).過程如下。

一、以問題為中心，注重過程教學(xué)

首先，設(shè)計如下情境，提出反常規(guī)的問題.

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點，焦點F 和F 的坐標(biāo)分別是（-c，0），（c，0）（如圖1）.由橢圓的定義可得：

+ =2a（1）

將這個方程移項，兩邊平方得

a -cx=a （2）

兩邊再平方，整理得

+ =1（a>b>0）（3）

問題1：為什么將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

對于這一問題的提出，學(xué)生首先會感到奇怪，似乎（3）式作為標(biāo)準(zhǔn)方程是順理成章的，預(yù)先規(guī)定的，進(jìn)而師生共同展開熱烈討論，然后教師總結(jié).我總結(jié)大致有以下幾點理由：

1.（3）式簡捷，具有對稱的美感.

2.（3）式為我們提供了求橢圓軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程，方便用待定系數(shù)法求解軌跡的方程.

3.根據(jù)解析幾何用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)這一特點，（3）式方便研究橢圓的幾何性質(zhì).

針對上述理由3，教師可以組織學(xué)生就如何利用（3）式從整體上把握橢圓的曲線的形狀，展開討論.這樣便自然引出：范圍、對稱性、頂點、離心率等教材中要求的內(nèi)容.若要進(jìn)一步研究橢圓的曲線，就需要列表、描點、連線等常用手段，于是課文中的例3便自然出來了.

二、以探究為熱點，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

由于有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，本節(jié)課教師的問題設(shè)計顯然很自然了.

老師：上節(jié)課我們討論了（3）式作為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的諸多優(yōu)點，自然我們會有：

問題2：將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么缺點？

對于這一問題學(xué)生感到有些困難，教師和學(xué)生一起比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點后，發(fā)現(xiàn)（3）式無法揭示橢圓上的動點到定點的距離之和等于定長2a這一本質(zhì)屬性，相比之下（1）式恰好具有這一優(yōu)點.于是師生一起可以討論（1）式的優(yōu)缺點，具體可得：

1.（1）式充分揭示了橢圓的定義.

2.（1）式難以討論橢圓的其他幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點，等等.

通過以上討論，自然產(chǎn)生問題3：是否存在一個方程，同時體現(xiàn)橢圓的第一定義和橢圓的幾何性質(zhì)？自然將目光轉(zhuǎn)向（2）式，將（2）式變形，得

=a- x（4）

即|MF |=a-ex（5）

同理可得|MF |=a+ex （6）

將（2）式再變形，得

= （ -x）

即 = （7）

（5）（6）兩式將橢圓上點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為只和焦點的橫坐標(biāo)有關(guān)的一維算式，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)降維思想.而（7）式正好揭示了橢圓的第二定義，如圖2所示.

如此處理教材，自然流暢，既能完成教學(xué)任務(wù)，又能充分揭示知識的發(fā)生過程，通過被人們所遺棄的（2）式，挖掘出如此寶貴的教學(xué)成果，這會讓學(xué)生興奮不已.在品嘗創(chuàng)新果實的同時也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

三、以反思為主調(diào)，奏響創(chuàng)新旋律

務(wù)必指出，反思是創(chuàng)新的源泉.通過前二節(jié)課的探索，特別是第二課時獲得一系列創(chuàng)新成果以后，教師更要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，打破思維定勢，爭取更大的突破.

總結(jié)上二節(jié)課的討論，我們發(fā)現(xiàn)對（1）式的每一次變形，都會取得一系列令人激動的科學(xué)成果，那么自然會問：

問題4：（1）式還有其他變形嗎？如果有又能得到什么收獲呢？

此時，學(xué)生的思維已被激活，討論積極，熱情高漲，通過討論可獲得一系列成果如下。

成果一：將（1）兩邊平方，整理可得：

· +x +y =a +b （8）

（8）式揭示了橢圓的又一本質(zhì)屬性：

|MF ||MF |+|MO| =a +b ，

即，橢圓上動點到兩焦點的距離之積，和它到橢圓中心距離的平方之和等于常數(shù)（如圖3）.

成果二：將（5）（6）代入（8）式可得：

|MO|= （9）

若將動點到中心的長度稱為橢圓的半徑，那么（9）式給出了橢圓半徑的計算方法，它只和該點的橫坐標(biāo)有關(guān)，同樣起到降維作用.

成果三：若將（1）式的兩邊乘以 - ，整理可得：

= （10）

（10）式給出了橢圓的又一本質(zhì)屬性：即橢圓上動點到兩焦點的距離之差與該點到橢圓的一條對稱軸（垂直于焦點所在直線）的距離之比是一個常數(shù).

成果四：在△F MF 中（圖1），設(shè)∠F MF =α，則由余弦定理可得：

4c =|MF | +|MF | -2|MF ||MF |cosα

=（|MF |+|MF |） -2|MF ||MF |（1+cosα）

=4a -2|MF ||MF |（1+cosα）

所以|MF ||MF |= （11）

將（11）式代入（8）式可得：

|MO|= （12）

（12）式給出了橢圓半徑與動點到兩焦點連線所成角的關(guān)系.

應(yīng)該指出：本節(jié)課的創(chuàng)新討論是無止境的，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，當(dāng)然由于學(xué)生的程度不同，得到的成果也不同，無論如何，教師都應(yīng)給予學(xué)生充分肯定.

從對（1）式做變形看，自然也可考慮將其他式子變形，如將（3）式變形成

= ，于是可得，橢圓上動點到兩焦點A（-a，0），B（a，0）的連線的斜率之積等于常數(shù).

參考文獻(xiàn)：

[1]李佰春.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].合肥：安徽大學(xué)出版社，2004.

[2]顧沅.教學(xué)任務(wù)與案例分析.上城教育信息港.

[3]顧沅.追求卓越—教師專業(yè)發(fā)展案例研究[M].人民教育出版社.

[4]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析[M].陜西師范大學(xué)出版社.

[5]任志鴻主編.高中新教材數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案[M].南方出版社.endprint