站在“平面幾何”的肩上學習“立體幾何”

楊曦

摘 要 高中“平面”是從局部學習立體幾何的起始，對后續學習有重要作用，文章探討了“平面”教學的重點，并對教學過程進行了設計，而設計的重要角度之一是類比“平面幾何”的學習，將“立體幾何”的學習與“平面幾何”進行溝通，在學生已有知識的基礎上進行教學設計。

關鍵詞 平面幾何 立體幾何 教學設計

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）14-0005-02

一、教學設計重點

對于“平面”這一課時的教學設計，重點應放在對“平面”概念的理解感受和對“三個公理”的理解上。

1.平面概念

平面是最基本的幾何概念，是立體幾何區別平面幾何的重要元素，平面是一個描述性的定義，重點在于理解其性質，對平面概念的理解可以通過與直線進行類比的方式深化，并且可以貫穿在“三個公理”的教學中。

2.三個公理

對空間圖形問題的研究經常都是借助或轉化為平面的問題來解決的。“確定平面”是將空間圖形問題轉化為平面圖形問題來解決的重要條件，而這種轉化又是空間圖形中解決許多問題的一種重要思想方法，這種轉化的最基本依據就是三個公理，可以說，刻畫平面的三個公理是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形問題時進行邏輯推理的基礎。

二、教學過程設計

1.平面概念與表示方法教學設計

（1）概念引入

“平面”是學習立體幾何引入的新要素，在引入的時候可以聯系之前學過的平面圖形，如將長方形與長方體的概念進行比較，引入長方體的知識。具體的過程如下：

①提出問題：長方體是什么幾何圖形？它是由哪些幾何元素構成的？它與長方形有什么不同？

②引導學生觀察分析：長方體是由六個平面圍成的封閉幾何體，是由點、直線、平面三種幾何元素組成的。（由此引出“平面”，長方體與長方形的不同讓學生自由發現。）

（設計意圖：通過對長方形和長方體的對比實現由平面幾何到立體幾何的過渡，初步直觀地感受空間中“平面”這一重要元素。）

（2）概念深化

①列舉生活中“平面”的例子，如桌面、黑板面、海面等，再讓學生自己舉例，直觀感知生活中的平面，使這一概念更加具體形象化。

②進一步發現問題：如何表示平面？讓學生討論交流，然后師生共同概括得出結論，再提出問題：平面這種重要的幾何元素能定義嗎？教師再加以點撥：平面和其他幾何元素點、直線一樣，是只描述而不定義的數學原名，平面內有無數個點，則平面可以看成點的集合。

③類比“直線”得到“平面”的性質。通過類比直線的無限延伸性理解平面的無限延展性，并且類比直線“沒有粗細”這一特點理解平面“沒有厚薄”。也可以類比“直線將平面分成兩個部分”思考“一個平面可以將空間分成幾個部分？”（再一次從“平面幾何”角度出發思考新問題。）

2.公理1教學設計

（1）提出問題：思考直線與平面的關系？（可聯系“平面幾何”中點與直線的關系思考），再讓學生通過直觀想象，并且結合生活中的經驗思考問題，在學生得出結論后，教師給予評價，并且用教具直觀演示直線與平面的各種關系。

（2）繼續提出問題：那么在什么情況下能判斷直線在平面€%Z內？如果直線與平面有一個公共點P，直線是否在平面€%Z內？如果直線l與平面€%Z有兩個公共點呢？（結合生活實例，引導學生思考該問題：實際生活中，我們有這樣的經驗：把一根直尺邊緣上的任意兩點放在桌面上，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上。）

（3）引出公理1并且將公理1符號化：由對上面的兩個問題的解答可引出公理1，再指導學生將公理1轉化成符號語言。

（4）深化問題：公理1可以推廣到曲面嗎？若不能，請舉例說明。（提出該推廣性問題的目的在于加深學生對“平面”的形象理解，感受平面是平的，也是對于平面概念的又一次深化。）

3.公理2教學設計

（1）類比平面幾何中學過的“直線”相關知識點思考問題：兩點能確定一條直線，那么兩點能確定一個平面嗎？若不能，要幾點？（引導學生結合實例思考該問題：例如門、窗被兩個合頁點固定在門、窗的框架上，但門、窗代表的平面，可以繞兩合頁所在的直線轉動。）

（2）進一步提問：三個定點能唯一確定平面的位置嗎？

（3）引出概括公理2：在思考問題2時可先思考該問題：過三個定點能唯一確定圓的位置嗎？學生則能發現過三個不在同一直線上的定點能唯一確定圓的位置，再進一步思考這能否說明過三個不共直線的定點能唯一確定平面位置嗎？（因為圓本身就是封閉的平面圖形，這三個定點唯一確定圓的位置就確定了圓所在的平面位置。）再舉出生活中的例子：如三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等，并且通過這些例子體會公理2的簡單應用。

（4）再將該公理推廣到曲面提出問題：不在一條直線上的三個已知點，能否唯一確定曲面的位置？通過直觀想象，讓學生發現不在一條直線上的三個已知點不能唯一確定球面的位置，它只能確定過這三點的球面的一個截面圖。（讓學生充分理解公理2是平面的一個基本性質，不能推廣到曲面，則進一步對平面有深刻的感知和理解。）

4.公理3教學設計

（1）實物操作并思考問題：把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？

（2）觀察長方體，發現兩個平面相交成直線，這條直線叫做兩個平面的交線，并且，相鄰兩個平面有一個公共點，且經過該點有且只有一條過該點的公共線，由此引出公理3。再指導學生將公理3用符號語言描述。

三、實施要點分析

1.類比“平面幾何”相關知識學習新知

以上所設計的教學過程中很重要的一個角度是從“平面幾何”的相關知識出發，從而引出新知識。通過提出問題，讓學生聯想學習平面幾何時的類似問題及解答，從而得出自己的結論，并且向學生滲透“在解決立體幾何問題時可以通過轉化成平面幾何的問題進行解決”的思想。endprint

但需要注意的是，平面幾何只是作為學習立體幾何的基礎，并不是要在立體幾何的教學過程中過分重視回到平面幾何，從而弱化學生的空間幾何觀念，在教學中培養學生的空間想象能力也尤為重要。

2.“平面”的概念深化及其教學應貫穿在“三個公理”教學中

平面概念是學生相對陌生的概念，雖然掌握了平面幾何的相關知識，但是對于空間中存在的各個平面的理解還是存在陌生感，尤其是平面的無限延展性等，因此在對平面概念進行教學時可以類比直線，將直線的性質拓展到平面。另外很重要的一點是區分平面和曲面，要能充分感受理解“平面是平的”，因此在教學中可以將“三個公理”推廣到曲面，讓學生思考平面與曲面的區別，從而深化對平面的理解。

3.教學應注重直觀形象性

另外重要的一點是在高中立體幾何教學的初始要注意直觀形象性，因此借助實例來引入平面的概念是必要的，讓學生感受生活中的平面。教科書給出的平面畫法，主要是從“直觀性”來考慮的，教學時要引導學生注意：畫的平行四邊形表示的是整個平面，需要時，可以把它延展開來，如同畫直線一樣，直線是可以無限延展的，但在畫直線時卻只畫出一條線段來表示。

4.“三個公理”的教學

所謂公理，就是不必證明而直接承認的真命題，是進一步推理的出發點和根據。在進行三個公理教學時，要讓學生盡快熟悉立體幾何中的各種語言表述方法，因此在給出三個公理時，要同時使用三種語言的描述。

另外，在給出公理之前，先提出“思考”，引導學生的思維，并結合生活中的例子說明公理所描述的事實，以幫助學生更好地領會公理，并且要引導學生通過直觀感知、操作確認、理性思考，以及三種語言的描述和相互轉換，經歷公理的歸納、概括過程，形成對公理的完整認識。

三個公理的各自作用也是在教學中需要讓學生思考的，并且公理教學的過程中要穿插對平面概念的深化。為了使學生更好地掌握三個公理，教學中應當多給學生提供觀察實物，用三個公理進行判斷的機會，特別是要充分利用長方形這個模型。

參考文獻：

[1]編寫組.普通高中課程標準實驗教科書數學必修（2）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]編寫組.普通高中課程標準實驗教科書數學必修（2）教師教學用書[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]薛紅霞.讓學生體會立體幾何學習的愉悅感——由高中數學《平面》課例說起[J].教育理論與實踐，2009，（7）.

（責任編輯 曾 卉）endprint