一道2013年甘肅省預賽試題的解法、源頭及推廣

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(會宮中學 安徽樅陽 246740)

1 試題及解法

圖1

(2013年甘肅省數學競賽預賽試題第9題)

從而

由梯形的中位線定理及拋物線的定義,可得

從而

解法2由拋物線定義得

|AF|+|BF|= |AA1|+|BB1|=2|MN|,

故

又在△ABF中,

|AB|2= |AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|cos120°,

即

|AB|2=(|AF|+|BF|)2-|AF|·|BF|.

又

則

即

因此

當且僅當|AF|=|BF|時,取到等號.

2 題源探究

我們發現,這道試題是由2012年全國高中數學聯賽的一道試題改編而來的.

(2012年全國高中數學聯賽試題第4題)

按照例1的2種解法可求得最大值為1.

3 試題推廣

證明設∠ABF=θ(其中0<θ<π-α),則由正弦定理得

從而

由梯形的中位線定理及拋物線的定義,得

從而

由此得到定理1.

4 類比研究

在橢圓和雙曲線中也有類似的結論.

圖2

證明如圖2,設點A,B在l上的投影分別為A1,B1,則

由梯形的中位線定理,得

在△ABF中,設∠ABF=θ(其中0<θ<π-α),則由正弦定理得

從而

因此

因此

當點F為左焦點、l為左準線時,也有相應的結論.

易知拋物線的離心率為1,將e=1代入定理2和定理3即為定理1，因此以上3個定理可以統一為如下定理: