例析“基本圖形”的解題策略

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(安吉縣實驗初中教育集團 浙江安吉 313300)

《數學課程標準》指出“圖形與幾何”的主要內容有：空間和平面基本圖形的認識；圖形的性質、分類和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動.圍繞“基本圖形”是“圖形與幾何”教學研究的核心之一，旨在使學生掌握分離、補形、構造等基本方法，能從較復雜的圖形中分離出基本圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，直觀地進行思考.

數學中的基本圖形一般分為2種：課本中的概念、公式和定理所對應的圖形可以稱之為理論型基本圖形；重要的題目所對應的圖形可以稱之為經驗型基本圖形，經驗型基本圖形一般都是由2個或2個以上的簡單的理論型基本圖形組合而成的[1].常用的基本圖形有：平行線、角平分線、中垂線、特殊三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形、圓等.

學業考試考查基本圖形往往以基本圖形的疊加、隱藏、疊加與隱藏的綜合、構造[2]等技術手段，增大圖形的復雜程度，以此加大試題的難度.針對基本圖形的命題設計理念、方法特點，一般基本圖形的解題策略主要有分離、補形、分離與補形相結合、構造等.下面舉例說明.

1 分離

一些試題把幾個基本圖形疊加在一起，以此增加圖形的復雜度，干擾學生的分析，提高試題的難度.解決這類問題要善于從復雜圖形中分離出基本圖形,并應用其結論綜合解決問題.

1.1 分離出等腰三角形：腰長相等

例1如圖1，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC=10，則PQ的長為

( )

(2013年山東省淄博市數學學業考試題)

圖1 圖2 圖3

分析本題實質疊加了2個基本圖形(圖2、圖3)，這2個基本圖形屬同一種類型，因為角平分線與高重合，有結論：△ABE與△ACD是等腰三角形，所以Q,P分別是AE,AD中點，即PQ是△ADE的中位線，從而

故選C.

1.2 分離出等腰三角形：底角相等

例2如圖4所示的鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A=3，則∠A的度數是______．

(2013年浙江省紹興市數學學業考試題)

圖4 圖5

分析本題圖形看似復雜，但實質是疊加了多個等腰三角形，應用等腰三角形的性質(等腰三角形的2個底角相等以及三角形的1個外角等于與它不相鄰的2個內角的和)不難求解.根據對稱性，分離出如圖5所示的基本圖形.

設∠A=x，因為AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8,所以

∠A=∠AP2P1=x，∠P2P1P3=∠P2P3P1=2x，…,∠P7P6P8=∠P6P8P7=7x，

同理可得

∠P8P9P7=∠P8P7P9=7x，

在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，

即

x+7x+7x=180°，

解得x=12°，即∠A=12°．故答案為：12°．

2 補形

有些試題隱藏著基本圖形,解題時要能看到這些基本圖形的“影子”,聯想到相關圖形，并把這些基本圖形補完整,再應用相關的結論解決問題.

2.1 補圓中的半徑：半徑相等

例3如圖6，過點D,A,C的圓的圓心為E，過點B,E,F的圓的圓心為D，如果∠A=63°，那么∠B=______.

(2012年山東省日照市數學學業考試題)

圖6 圖7

分析由圓的定義可知，圓上的點到圓心的距離相等，因此聯結CE,DE，易知圖7中隱含了3個等腰等腰三角形△BDE,△CDE和△ACE，由等腰三角形的性質與三角形外角性質可得

∠DEB=∠DBE=θ,∠DCE=∠CDE=2θ，∠AEC=3θ，∠ACE=∠A=63°.

由∠A+∠ACE+∠AEC=180°，可得∠B=18°.

2.2 補圓中的垂徑：弦徑垂直

(1)求證：CG是⊙O的切線;

(2)求證：AF=CF;

(3)若∠EAB=30°，CF=2，求GA的長．

(2013年湖北省恩施州數學學業考試題)

圖8 圖9

(3)由△ADF∽△GDC即可得解.

3 補形與分離相結合

把一些基本圖形隱藏，再疊加其他的基本圖形，這類問題圖形更復雜，難度更大.解決的策略是根據題中的條件信息先補出有關的基本圖形，再分離基本圖形，并利用其結論綜合解決問題.

例5如圖10，半圓O的直徑AB=10 cm，弦AC=6 cm，AD平分∠BAC，則AD的長為

( ).

(2013年四川省內江市數學學業考試題)

例6如圖13，以M(-5，0)為圓心、4為半徑的圓與x軸交于點A,B，而P是⊙M上異于A,B的一動點，直線PA,PB分別交y軸于點C,D，以CD為直徑的⊙N與x軸交于點E,F，則EF的長為

( )

D.隨點P位置的變化而變化

(2012年江蘇省無錫市數學學業考試題)

圖13 圖14 圖15

分析此題圖形復雜，難度較大.考慮到直角坐標系兩坐標軸互相垂直，CD是直徑，由垂徑定理可知EF=2OF;聯結CF,DF，可補出隱含的圖14，有結論OF2=OC·OD；而OC,OD分別在Rt△AOC,Rt△DOB中，由圖15知Rt△AOC∽Rt△DOB，于是OC·OD=AO·BO=9，即EF=6.

4 構造

在對題目的分析過程中,由條件聯想到有關基本圖形,構造出相應的基本圖形，利用其結論解決問題，事實上就是對學生創新能力的一種有效考查.

4.1 構造K型圖：全等

例7如圖16，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點P(1，1)，C為y軸上一點，聯結PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y=x交于點A，且BD=2AD，聯結CD，直線CD與直線y=x交于點Q，則點Q的坐標為______．

(2013年重慶市數學學業考試題)

圖16 圖17

4.2 構造K型圖：相似

(2013年浙江省湖州市數學學業考試題)

圖18 圖19 圖20

分析本題求點B運動的路徑長，關鍵是確定點B運動的路徑.初中階段點運動的路徑有2種：一種是直線，即點在運動過程中滿足該點到定直線的距離不變；另一種是圓弧，即點在運動過程中滿足該點到定點的距離不變.因此，求解本題的關鍵是分析點B在運動過程中滿足的條件.由題中條件注意到在點B運動過程中∠APB=30°，BA⊥PA保持不變，可以聯想到圍繞∠PAB構造相似直角三角形(K型圖)求解.

顯然△AFP∽△BGA，于是

得

因為n是定值，所以點B到定線FG的距離不變，即點B運動的路徑是直線型.由圖20知，當點P與點O重合時，B1為起點，從而

當點P與點N重合時，B2為終點，從而

因此

顯然△OAN∽△B1AB2,于是

解得

總的來說，基本圖形在學業考試考查中主要圍繞基本圖形的疊加、隱藏、基本圖形疊加與隱藏的綜合應用，解決這類問題的關鍵是平時要做好基本圖形的積累，加強分離、補形、構造的相關訓練，掌握解決這類問題的基本策略.

參 考 文 獻

[1] 林遂香.在初中數學教學中滲透基本圖形法的案例分析[J].數理化學習，2011(8)：28-29.

[2] 錢衛華.基本圖形在競賽中應用[J].中等數學，2011(6)：1-3.