確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的分析與決策方法

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(象山縣教育局教科研中心 浙江象山 315700)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》)倡導(dǎo)旨在滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展需要的“過程教育”，但調(diào)研發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師的課堂教學(xué)不符合“過程教育”要求．深度訪談發(fā)現(xiàn)其根本原因是教師對“教什么”和“怎樣教”的認識存在偏差，而導(dǎo)致認識上偏差的原因是教師在教學(xué)設(shè)計之前沒有經(jīng)歷深入、細致地確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的分析與決策過程，教師不經(jīng)歷該過程的原因是教師缺乏相關(guān)的分析與決策方法．由于當前缺少具有數(shù)學(xué)學(xué)科特點的可操作的確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的分析與決策理論，導(dǎo)致確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的問題一直是困擾教師的難題．

怎樣解決困擾教師的這個疑難問題？筆者采用“邊學(xué)習(xí)、邊實踐、邊研究”的方式進行了探索．初步的理論求證與實踐驗證表明，探索中形成的確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的操作方法對幫助教師認識與實踐教學(xué)分析與決策方法有積極的影響．本文結(jié)合浙教版課標教材八年級上冊第1.1節(jié)“認識三角形(第1課時)”，介紹確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的分析與決策方法，供讀者參考、研究．

1 確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的分析方法

1．1 厘清并解析涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果

數(shù)學(xué)結(jié)果是具有顯性特征的數(shù)學(xué)活動成果，它包括數(shù)學(xué)中的事實、概念、性質(zhì)、定理、公式、法則、規(guī)律、方法、問題與結(jié)論等．它是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的主要組成部分．厘清涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果就是按數(shù)學(xué)結(jié)果的含義從章節(jié)核心概念的概念體系中析出涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果．解析涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果就是說明涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的背景及涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用．說明涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的背景可從“數(shù)學(xué)背景、現(xiàn)實背景、教學(xué)背景”3個角度展開；說明涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用主要是闡述研究對象在數(shù)學(xué)體系中的位置、涉及數(shù)學(xué)結(jié)果在解決數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部問題中的作用、獲得涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的方法對進一步認識數(shù)學(xué)的影響．

例如，根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的含義從三角形的概念體系中可以析出“認識三角形(第1課時)”涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果有：三角形的產(chǎn)生方法、三角形與線段、三角形與生活中三角形的關(guān)系；三角形的概念(包括名稱、屬性、定義、示例、組成要素)、用字母和符號表示三角形的方法、定義三角形的步驟；三角形3個內(nèi)角之和等于180°、三角形的分類表示、三角形任何兩邊之和大于第三邊、三角形任何兩邊之差小于第三邊、3條線段構(gòu)成三角形的條件、生成三角形有關(guān)性質(zhì)的步驟；用三角形的有關(guān)知識解答有代表性的問題．其邏輯關(guān)系可用圖1表示．

圖1

三角形是在認識線段、射線、直線和角等幾何圖形的基礎(chǔ)上提出來的，有豐富的生活情景.盡管三角形是在小學(xué)階段初步認識基礎(chǔ)上的再認識，但小學(xué)階段對三角形的認識比較膚淺，有進一步認識的必要．三角形是基本圖形，是平面幾何的重要研究對象.三角形的“角角關(guān)系”和三角形的“邊邊關(guān)系”是進一步學(xué)習(xí)幾何的理論基礎(chǔ)，日常生活中也經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu).研究三角形的基本“套路”(用適當?shù)姆椒óa(chǎn)生具體三角形→觀察并歸納的基礎(chǔ)上定義與表示三角形→探索三角形的性質(zhì)(包括判定三角形的方法)→用獲得的數(shù)學(xué)結(jié)果解決有代表性問題)對后繼學(xué)習(xí)其他幾何圖形有指導(dǎo)作用．

1.2 論證并解析獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的認知過程和認知條件

論證認知過程和認知條件就是運用學(xué)習(xí)任務(wù)分析理論，分析獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的步驟及認知所需要的必要條件和支持性條件．必要條件是學(xué)習(xí)中不可缺少的條件——學(xué)習(xí)新知識必須具備的先決條件；支持性條件是對學(xué)習(xí)起“催化劑”作用的條件——數(shù)學(xué)認知策略、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、態(tài)度等．一般地，論證認知過程和認知條件可用逆向追問法——追問學(xué)生學(xué)習(xí)這一水平的知識或能力需要預(yù)先具備哪些知識和能力(使能目標),一直追問到學(xué)生已經(jīng)具有的知識和技能為止(學(xué)生的起點能力)．解析認知過程和認知條件就是說明認知過程和所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的價值及學(xué)生的認知障礙．

例如，獲得三角形概念的認知過程和認知所需要的條件可用圖2表示．

圖2

從圖2可以看出：獲得三角形概念的基本步驟是：(1)用適當?shù)姆椒óa(chǎn)生特定的三角形或有代表性的三角形；(2)觀察特定或有代表性三角形的特征；(3)歸納或演繹三角形的本質(zhì)特征；(4)用文字語言定義、用符號語言表示、說明組成要素等．獲得三角形概念的支持性條件是：(1)發(fā)現(xiàn)幾何圖形特征的經(jīng)驗；(2)歸納思想(或演繹思想)；(3)定義幾何圖形的經(jīng)驗．獲得三角形概念的必要條件是：3條線段拼接三角形的經(jīng)驗，或生活中三角形到數(shù)學(xué)中三角形的抽象經(jīng)驗．盡管三角形可以看成是從生活中的三角形抽象出來的，也可以看成是3條線段順次拼接的結(jié)果．但采用3條線段順次拼接的方式來產(chǎn)生三角形更能反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

事實上，盡管采用“生活中的三角形到數(shù)學(xué)中的三角形”的方法符合認知同化理論和幾何發(fā)展規(guī)律，并且暗示了數(shù)學(xué)中三角形與生活中三角形的關(guān)系，但“教師演示，學(xué)生觀察”的方法使得學(xué)生的思維含量不高，也容易導(dǎo)致學(xué)生將“生活中的三角形”與“數(shù)學(xué)中的三角形”相混淆．而采用3條線段順次拼接的方法來產(chǎn)生三角形，不但符合認知同化理論和幾何發(fā)展規(guī)律，也暗示了三角形的本質(zhì)特征，同時它也是畫三角形的基本方法．類似地分析獲得其他數(shù)學(xué)結(jié)果的認知過程和認知條件，可以析出“認識三角形(第1課時)”的認知價值有：產(chǎn)生三角形的過程、定義三角形的過程、生成三角形性質(zhì)的過程、用獲得的數(shù)學(xué)結(jié)果解決有代表性問題的過程等能力發(fā)展點、個性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點；其蘊含的拼圖經(jīng)驗、定義研究對象的步驟、生成三角形性質(zhì)的步驟、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、演繹思想等，對發(fā)展學(xué)生智力有著積極的影響．

因為三角形是學(xué)生在小學(xué)階段初步認識基礎(chǔ)上的再認識，所以大多數(shù)學(xué)生對三角形有豐富的感性認識．然而，盡管三角形的結(jié)構(gòu)比較簡單，但概括三角形本質(zhì)特征需要一定的能力，一部分學(xué)生會遇到困難；盡管學(xué)生有發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系和說明幾何關(guān)系成立的經(jīng)歷與經(jīng)驗，但發(fā)現(xiàn)三角形兩邊之差小于第三邊和3條線段構(gòu)成三角形的條件需要理性思維，一部分學(xué)生會遇到困難；盡管學(xué)生有定義幾何圖形和生成幾何關(guān)系的經(jīng)歷與經(jīng)驗，但定義三角形的步驟和蘊含的數(shù)學(xué)思想及研究三角形性質(zhì)的步驟和蘊含的數(shù)學(xué)思想具有過程性、內(nèi)隱性和個性化的特點，大部分學(xué)生需要合作反思才能認識或感悟；盡管學(xué)生有借助于有關(guān)知識解決問題的經(jīng)歷和經(jīng)驗，但解題后的反思(解題的依據(jù)是什么？解題的策略、方法和技巧分別是什么？)要求較高，大部分學(xué)生會遇到困難．

1.3 析出涉及的學(xué)習(xí)結(jié)果

學(xué)習(xí)結(jié)果是教學(xué)目標的基本成分，也是確定教學(xué)內(nèi)容的依據(jù)．學(xué)習(xí)結(jié)果有多種分類方法，《課標》把全部學(xué)習(xí)結(jié)果分為“結(jié)果性成果”和“過程性成果”2個維度．“結(jié)果性學(xué)習(xí)成果”包括4種類型的知識(事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認知知識)和4個層級的智慧技能(知識技能、理解概念、運用規(guī)則、解決問題)．“過程性學(xué)習(xí)成果”包括數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度——在數(shù)學(xué)結(jié)果形成與應(yīng)用過程中的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用等；從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)、提出問題及分析、解決問題等；在反思學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)結(jié)果中，體會認知過程和所蘊含的數(shù)學(xué)思想，體驗解決問題方法的多樣性，體會數(shù)學(xué)的特點和了解數(shù)學(xué)的價值等；在數(shù)學(xué)活動的過程中，積極參與數(shù)學(xué)活動，養(yǎng)成“認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑”的學(xué)習(xí)習(xí)慣等．析出涉及的學(xué)習(xí)結(jié)果就是按《課標》倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論，從涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的邏輯結(jié)構(gòu)和獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的認知結(jié)構(gòu)中析出涉及的學(xué)習(xí)結(jié)果．

例如，“認識三角形(第1課時)”的“結(jié)果性學(xué)習(xí)成果”有：事實性知識——三角形的名稱、組成要素、表示三角形的符號；概念性知識——三角形的概念、三角形3個內(nèi)角之和等于180°、三角形任意兩邊之和大于第三邊等性質(zhì)、3條線段能構(gòu)成三角形的條件；程序性知識——產(chǎn)生三角形的方法、定義三角形的步驟、研究三角形性質(zhì)的方法、用有關(guān)知識進行解題的策略和技巧等；元認知知識——研究三角形采用的具體到抽象、特殊到一般和一般到特殊的思維策略及所蘊含的歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想等，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系和判斷給定3條線段能否構(gòu)成三角形的經(jīng)驗等；知識技能——用符號和字母表示三角形、在具體情境中識別三角形、用三角形“角角關(guān)系”進行計算等；理解概念——三角形的分類表示、三角形與線段、三角形與生活中三角形的關(guān)系、用3條線段構(gòu)成三角形的條件判斷能否構(gòu)成三角形；運用規(guī)則——用定義幾何圖形的經(jīng)驗定義三角形、用三角形的“邊邊關(guān)系”進行大小比較；解決問題——觀察基礎(chǔ)上歸納三角形的特征、用合情推理發(fā)現(xiàn)三角形的性質(zhì)和用演繹推理說明三角形的性質(zhì)、從運算的角度發(fā)現(xiàn)并提出三角形兩邊之差小于第三邊、從逆命題的角度發(fā)現(xiàn)并提出3條線段能構(gòu)成三角形的條件、用三角形的有關(guān)性質(zhì)解決簡單的實際問題．其“過程性學(xué)習(xí)成果”可能有：發(fā)現(xiàn)三角形特征和生成三角形性質(zhì)中的個性化想法、反思三角形概念和性質(zhì)形成過程中的個性化體驗、參與定義三角形活動和探索三角形性質(zhì)中的個性化表現(xiàn)及對學(xué)習(xí)三角形意義的感觸等．

2 確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的決策方法

2..1 確定教學(xué)內(nèi)容——分析基礎(chǔ)上決策“教什么”

確定教學(xué)內(nèi)容就是依據(jù)析出的學(xué)習(xí)結(jié)果、涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的“生長點”和“延伸點”及全面、辯證的教學(xué)內(nèi)容觀決策“教什么”．“全面”指教學(xué)內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成、應(yīng)用的過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．“辯證”指在諸多的教學(xué)內(nèi)容中，要選擇最基本、最核心、最主要、最關(guān)鍵、有廣泛應(yīng)用的內(nèi)容，且要根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)實來確定能滿足學(xué)生需求的教學(xué)內(nèi)容．

2.2 構(gòu)思教學(xué)方法——分析基礎(chǔ)上決策“怎樣教”

(1)構(gòu)思教學(xué)理念．構(gòu)思教學(xué)理念就是思考教學(xué)的指導(dǎo)思想，引導(dǎo)的策略、方法與技巧，教學(xué)的手段等．

例如，“認識三角形(第1課時)”，依據(jù)涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用及其認知價值，其教學(xué)理念可以是：以全面、和諧的課程目標觀作為教學(xué)的指導(dǎo)思想；以關(guān)注“兩段”的認知過程觀作為教學(xué)的基本策略；以有導(dǎo)學(xué)味的問題引導(dǎo)、有啟發(fā)性的語言點撥、必要的講解與歸納等作為教學(xué)的指導(dǎo)方法；以行為過程中的“五練”：產(chǎn)生對象中練、定義對象中練、研究性質(zhì)中練、嘗試應(yīng)用中練、課堂小結(jié)中練作為教學(xué)的主要手段．

(2)構(gòu)思教學(xué)重、難點．構(gòu)思教學(xué)重、難點就是依據(jù)教學(xué)重點與難點的含義思考教學(xué)的重點與難點及突破難點的關(guān)鍵．

例如，“認識三角形(第1課時)”的教學(xué)重點是：三角形的幾何特征、三角形3條邊長之間的關(guān)系、3條線段能構(gòu)成三角形的條件，及這些知識的形成與應(yīng)用過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．其教學(xué)難點是：概括三角形的本質(zhì)特征、發(fā)現(xiàn)三角形3條邊長之間的關(guān)系、探索3條線段能構(gòu)成三角形的條件．突破難點的關(guān)鍵是：使探究性問題具有定向指導(dǎo)性．

(3)構(gòu)思教學(xué)結(jié)構(gòu)．構(gòu)思教學(xué)結(jié)構(gòu)就是思考如何將所析出的數(shù)學(xué)結(jié)果的邏輯結(jié)構(gòu)和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教學(xué)順序結(jié)構(gòu)．一般地，構(gòu)思教學(xué)結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)是：數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認知規(guī)律和教育規(guī)律．例如，“認識三角形(第1課時)”的教學(xué)結(jié)構(gòu)可用圖3表示．

圖3

這是一個以數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程為載體的學(xué)生的認知過程和以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動過程.這個“自然、簡單、動態(tài)、和諧”的數(shù)學(xué)教育過程，能滿足學(xué)生經(jīng)歷完整數(shù)學(xué)思考過程的需要，對促進學(xué)生認知與情感的變化、發(fā)展有積極的影響．

(4)構(gòu)思活動方式．《課標》根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點將數(shù)學(xué)活動概括成有層次的3種形式：①“經(jīng)歷……過程”．其活動的內(nèi)容是借助已有的知識與經(jīng)驗，從數(shù)學(xué)角度認識與研究有關(guān)的“生活題材”或“數(shù)學(xué)題材”；其活動的形式主要是有指導(dǎo)地“視”、“聽”、“讀”、“做”等；其活動的目的是：從“生活題材”或“數(shù)學(xué)題材”中抽象出研究對象，并獲得對象的一些感性認識．②“參與……活動”．其活動的內(nèi)容是借助認知同化理論認識或驗證對象的特征；其活動的形式主要是主動地“視”、“做”、“思”等；其活動的目的是：初步認識對象的特征及認識對象特征的一些經(jīng)驗．③“探索……關(guān)系”．其活動的內(nèi)容是運用推理方法研究對象的特征、性質(zhì)、規(guī)律、方法、問題、結(jié)論等；其活動的形式主要是獨立或與他人合作進行“視”、“做”、“思”、“議”等；其活動的目的是：理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識．構(gòu)思活動方式就是依據(jù)《課標》所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動觀、涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用、獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的認知過程和所蘊含數(shù)學(xué)思想方法的價值選擇合適的活動方式．

例如，因為三角形的“邊邊關(guān)系”是基礎(chǔ)知識，生成三角形“邊邊關(guān)系”的步驟和所蘊含的數(shù)學(xué)思想對認識其他幾何圖形的性質(zhì)有指導(dǎo)作用，生成三角形“邊邊關(guān)系”的過程有能力發(fā)展點、個性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點，所以生成三角形“邊邊關(guān)系”的教學(xué)應(yīng)選擇探索的活動方式．

(5)構(gòu)思教學(xué)方法．構(gòu)思教學(xué)方法就是思考“用什么素材教”和“用什么方法教”．依據(jù)“過程教育”的含義，教學(xué)載體要有助于實現(xiàn)教學(xué)目標、要符合“最近發(fā)展區(qū)理論”要求、要符合學(xué)生的認知規(guī)律、生活問題的情境能滿足學(xué)生豐富生活常識的需要及背景材料具有教育意義；數(shù)學(xué)活動不但有具體的操作性活動，也有理性的思維活動，同時有對認知過程進行反思的活動；教學(xué)方法不僅包括準確、清晰、富有啟發(fā)性的講解，也包括有助于學(xué)生經(jīng)歷實質(zhì)性思維過程的價值引導(dǎo)——問題暗示、設(shè)置認知提示語、積極的認知干預(yù)、必要的辨析與追問、適時的評價與激勵等．

例如，“認識三角形(第1課時)”的教學(xué)方法可以是：首先，引導(dǎo)學(xué)生依次經(jīng)歷“畫三角形、列舉三角形的生活實例及反思產(chǎn)生三角形有哪些方法和生活中為何采用三角形的結(jié)構(gòu)”的過程，并采用“先行組織者”引導(dǎo)下的匯報交流基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方法；其次，借助生成的三角形引導(dǎo)學(xué)生依次參與“觀察并歸納三角形的特征、定義與表示三角形及反思定義三角形的步驟、三角形與線段、三角形與生活中三角形的關(guān)系”等活動，并采用“有導(dǎo)學(xué)味問題”引導(dǎo)下的合作交流基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方法；第三，借助生成的三角形引導(dǎo)學(xué)生依次探索“三角形的角角關(guān)系及反思三角形最多有幾個鈍角、幾個直角，三角形的邊邊關(guān)系及3條線段能構(gòu)成三角形的條件”，并采用挑戰(zhàn)性問題引導(dǎo)下的合作研討基礎(chǔ)上的教師總結(jié)性講解的方法；第四，選擇4個有代表性的問題(用角角關(guān)系計算、用邊邊關(guān)系填空、用構(gòu)成三角形的條件進行判斷、用三角形概念和邊邊關(guān)系解決問題)，引導(dǎo)學(xué)生依次參與“嘗試有關(guān)知識應(yīng)用”的活動，并采用有代表性問題引導(dǎo)下的合作解答基礎(chǔ)上教師講解的方法；第五，借助問題清單，引導(dǎo)學(xué)生參與“回顧與思考”的活動，并采用問題清單引導(dǎo)下的交流合作基礎(chǔ)上的課后欣賞三角形自述的方法．

3 隨感隨想

盡管探索中形成的確定“教什么”和構(gòu)思“怎樣教”的操作方法對消除當前普遍存在的“只教不研”的現(xiàn)象和在課堂教學(xué)中落實“過程教育”有積極的影響，但高質(zhì)量的教學(xué)分析與決策仍需要教師具有一定的教學(xué)分析與決策的“實踐性智慧”．例如，厘清并解析涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果，需要教師具有析出并分解章節(jié)核心概念和解析涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的能力；論證并解析認知過程和認知條件，需要教師具有學(xué)習(xí)任務(wù)分析方法及明確認知過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的價值；估計學(xué)生的認知基礎(chǔ)與認知障礙，需要教師具有了解學(xué)生現(xiàn)實的方法；析出涉及的學(xué)習(xí)結(jié)果，需要教師明確學(xué)習(xí)結(jié)果的類型及其含義；確定教學(xué)內(nèi)容，需要教師明確涉及數(shù)學(xué)結(jié)果的“生長點”和“延伸點”等；構(gòu)思教學(xué)理念，需要教師知道《課標》倡導(dǎo)的有關(guān)理念；構(gòu)思教學(xué)重、難點，需要教師明確教學(xué)重、難點的含義；構(gòu)思教學(xué)結(jié)構(gòu)，需要教師知道數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認知規(guī)律和教育的規(guī)律；構(gòu)思活動方式，需要教師知道選擇活動方式的基本原則；構(gòu)思教學(xué)方法，需要教師明確課程內(nèi)容、教材內(nèi)容和教學(xué)內(nèi)容之間的區(qū)別和知道選擇教學(xué)載體的原則及有效指導(dǎo)的一些藝術(shù)．若教師能運用“邊學(xué)習(xí)、邊實踐、邊研究”的行為方式，則定能解決如何確定符合“過程教育”要求的“教什么”和“怎樣教”的難題．